2-4 생성원 정리, 반 군의 균등연속과 약 연속, 자기수반 연산자, 유니타리 군, 스톤의 정리

2-4 생성원 정리, 반 군의 균등연속과 약 연속, 자기수반 연산자, 유니타리 군, 스톤의 정리

명제 2.35 \(\{T(t)\}\)를 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 반 군이라고 하자. 그러면 모든 \(t\geq0\)에 대해 상수 \(\omega\geq0\), \(M\geq1\)이 존재해서 다음이 성립한다.$$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$$증명: 보조정리 2.17에 의해 모든 \(s\in[0,\,1]\)에 대해 상수 \(M>0\)이 존재해서 \(\|T(s)\|\leq M\). \(\omega=\ln M\)이라 하고, \(t\geq0\)를 고정하고, \(n\)을 \(t\leq n\)이고 \(t>n-1\)인 정수 중 가장 큰 정수라 하자. 반 군의 성질에 의해$$T(t)=T\left(\frac{t}{n}\right)\cdot T\left(\frac{t}{n}\right)\cdots T\left(\frac{t}{n}\right)=\left\{T\left(\frac{t}{n}\right)\right\}^{n}$$이다. 그러면 \(\mathcal{L}(X)\)에서 부등식 \(\|AB\|\leq\|A\|\|B\|\)가 성립하므로 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\|T(t)\|&=\left\|\left\{T\left(\frac{t}{n}\right)\right\}^{n}\right\|\leq\left\|T\left(\frac{t}{n}\right)\right\|^{n}\leq M^{n}\\&=M\cdot M^{n-1}\leq M\cdot M^{t}=Me^{\omega t}\end{align*}$$정리 2.36(힐-요시다 정리, Hille-Yoshida theorem) 연산자 \(A\)가 \((C_{0})\) 축소 반 군의 생성원이 될 필요충분조건은 \(A\)가 닫혀있고, \(A\)의 정의역 \(D(A)\)가 조밀하고, 모든 \(\lambda(>0)\in\rho(A)\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\|\lambda R(\lambda,\,A)\|\leq1$$정리 2.37(생성 정리, generation theorem) 연산자 \(A\)가 \((C_{0})\) 축소 반 군의 생성원이 될 필요충분조건은 \(A\)가 닫혀있고, \(A\)의 정의역 \(D(A)\)가 조밀하고, 상수 \(M\geq1\), \(\omega\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(\lambda>\omega\)인 \(\lambda\in\rho(A)\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\|(\lambda-\omega)^{n}R(\lambda,\,A)^{n}\|\leq M\,(\lambda>\omega,\,n=1,\,2,\,...)$$이 경우 모든 \(t\geq0\)에 대해 다음의 부등식이 성립하고$$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$$게다가 \(X\)상의 동치노름 \(|\|\cdot\||\)이 존재해서 \(\{S(t)\,|\,t\geq0\}\)가 생성원인 \(A-\omega I\)인 \((X,\,|\|\cdot\||)\)에서의 \((C_{0})\) 축소 반 군이고 \(S(t)\)는 다음과 같다.$$S(t)=e^{-\omega t}T(t)$$정의 2.38 \(X\)를 바나흐공간, \(X^{*}\)를 \(X\)의 쌍대공간이라 하자. \(f\in X\)에 대해$$\mathcal{J}(f)=\{\phi\in X^{*}\,|\,\|\phi\|^{2}=\|f\|^{2}=\phi(f)\}$$라 하자. 모든 \(f\in X\)에 대해 한-바나흐 정리에 의해 \(\mathcal{J}(f)\neq\emptyset\)이다. 그러면 \(\mathcal{J}\)는 \(X\)의 쌍대사상(duality map)이라고 불리는 다가함수(multivalued function)이다. \(J:X\,\rightarrow\,X^{*}\)를 모든 \(f\in X\)에 대해 \(J(f)\in\mathcal{J}(f)\)인 함수(\(\mathcal{J}\)의 단면)라 하자. 이러한 \(J\)는 선택공리에 의해 존재하고, 이것을 쌍대단면(duality section)이라고 한다.

정의 2.39 연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 쌍대단면 \(J\)에 대해 흩어짐(dissipative) 함수일 필요충분조건은 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\text{Re}(J(f)(Af))\leq0$$위의 부등식을 \(X\)와 \(X^{*}\)의 쌍선형 작용(bilinear action)을 나타내기 위해 기호 \([\cdot,\,\cdot]\)를 이용해 나타내면 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\text{Re}\langle Af,\,Jf\rangle\leq0$$그러면 \(A\)가 흩어질 필요충분조건은 적당한 쌍대단면에 대해 흩어져있는 것이다. 흩어짐 연산자 \(A\)가 m-흩어질 필요충분조건은 \(\rho(A)\cap(0,\,\infty)\neq\emptyset\)이 성립하는 것이다. 

*\(X\)가 힐베르트공간이면, 쌍대단면을 고려할 필요가 없는데 그 이유는 모든 \(f\in X\)에 대해 \(\mathcal{J}(f)=J(f)=f\)이기 때문이다. 이 경우 쌍대작용(쌍대성 대괄호) \([\cdot,\,\cdot]\)는 내적 \(\langle\cdot,\,\cdot\rangle\)으로부터 유도된 것이고, 정의 2.39의 마지막 부등식은 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\text{Re}\langle Af,\,f\rangle\leq0$$\(J\)가 단일 값을 갖게 하는 힐베르트공간 이외의 바나흐공간이 존재하고, 그 예로 \(X=L^{p}(\mathbb{R}),\,p\in(1,\,\infty)-\{2\}\)이다. 

정리 2.40 (루머-필립스 정리) \(A\)가 \((C_{0})\)반 군의 생성원이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) \(D(A)\)는 \(X\)에서 조밀하다.

(ii) \(A\)는 모든 쌍대단면에 대해 흩어짐 함수이다.    

(iii) \((0,\,\infty)\subset\rho(A)\)

역으로 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 다음을 만족하면

(i') \(D(A)\)는 \(X\)에서 조밀하다.

(ii') \(A\)는 적당한 쌍대단면에 대해 흩어짐 함수이다.

(iii') \((0,\,\infty)\cap\rho(A)\neq\emptyset\)

그러면 \(A\)는 \(X\)에서 \((C_{0})\) 축소 반 군을 생성한다.

정의 2.41 흩어짐 연산자 \(A\)가 극대 흩어짐(maximal dissipative) 연산자일 필요충분조건은 \(A\)가 진부분 흩어짐 확장을 갖지 않는 것이다. 

명제 2.42

(i) \(A\)가 m-흩어짐 연산자이면, \(A\)는 극대 흩어짐 연산자이다. 

(ii) \(X\)가 힐베르트공간이면, \(A\)가 m-흩어짐 연산자일 필요충분조건은 \(A\)가 극대 흩어짐 연산자인 것이다.

\((C_{0})\) 반 군의 정의에 의해 모든 \(f\in X\)에 대해 \(T(t)f\)는 \(t\)에서 \(X\)상의 노름위상에 대해 연속이다. 이것은 \(T(t)\)가 \(t\)에서 \(\mathcal{L}(X)\)상의 강 연산자 위상에 대해 연속인 것이다. \(T(t)\)가 \(\mathcal{L}(X)\)상의 강 연산자 노름에서 연속(균등연속 반 군, uniformly continuous semigroup)이려면 어떻게 되어야 하는 지 궁금해 할 수 있다. 

주어진 \(A\in\mathcal{L}(X)\)와 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(tA)^{n}}{n!}}\)은 연산자노름에서 수렴한다. 

정의 2.43 \(A\in\mathcal{L}(X)\)라 하자. 임의의 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(e^{tA}\)를 다음과 같이 정의한다.$$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(tA)^{n}}{n!}}$$명제 2.44 \(A\in\mathcal{L}(X)\)와 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)=e^{tA}\)라 하자. 그러면 \(\{T(t)\}\)는 생성원이 \(A\)인 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 반 군이고, 또한 \(T(t)\)는 \(t\)에 대한 함수로서 연산자노름에서 연속이다. 특히 \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립한다.$$\|T(t)-I\|\,\rightarrow\,0$$명제 2.45 \(\{T(t)\}\)를 명제 2.44를 만족하는 \(X\)상의 \((C_{0})\) 반 군이라 하자. 그러면 \(\{T(t)\}\)의 생성원 \(A\)는 \(\mathcal{L}(X)\)의 원소이고 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)=e^{tA}\)이다. 

*정의 2.43에서 정의한 \(e^{tA}\)는 \(X\)에서 연산자 \(\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}\)들의 \((C_{0})\) 군의 연산자 노름연속을 정의한다. 

\((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 정의에서 강 연산자 노름에서의 연속성이 필요한데 만약 약 연산자 노름에서의 연속성으로 줄이면 어떻게 될까?

정리 2.46 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)를 다음을 만족하는 \(\mathcal{L}(X)\)상의 연산자들의 집합족이라 하자.

(i) 모든 \(t,\,s\in[0,\,\infty)\)에 대해 \(T(t+s)=T(t)T(s)\)

(ii) \(T(0)=I\)

(iii) 모든 \(f\in X\)와 \(\phi\in X^{*}\)에 대해 \(\phi(T(\cdot)f)\in C([0,\,\infty),\,\mathbb{C})\)

그러면 모든 \(f\in X\)에 대해 \(T(\cdot)f\in C([0,\,\infty),\,X)\)이고, 이것은 \(\{T(t)\}\)가 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군임을 뜻한다. 

*정리 2.46에서 조건 (iii)이 "모든 \(f\in X\)와 \(\phi\in X^{*}\)에 대해 \(\phi(T(\cdot)f)\)가 \(0\)에서 연속이다"로 축소되어도 성립한다. 즉, 가정 (i)과 (ii)하에서 \(T(\cdot)\)의 0에서 약 연산자 연속이면, \([0,\,\infty)\)에서의 강 연산자 연속이다. 

여기서 \(\mathcal{H}\)는 (복소)힐베르트 공간이다.

정의 2.47 \(A\)를 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)에서 정의된 연산자로 정의역 \(D(A)\)가 조밀하다고 하자. 벡터 \(g\in\mathcal{H}\)가 \(A^{*}\)의 정의역에 존재할 필요충분조건은 사상 \(f\,\mapsto\,\langle Af,\,g\rangle\)가 \(D(A)\)에서 연속 선형범함수이고 \(\overline{D(A)}=\mathcal{H}\)로 연속성을 확장할 수 있는 것이다. 이 경우 유일한 \(h\in\mathcal{H}\)가 존재해서 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \(\langle Af,\,g\rangle=\langle f,\,h\rangle\)이고, \(A^{*}g=h\)를 정의할 수 있고 따라서 \(f\in D(A)\)와 \(g\in D(A^{*})\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\langle Af,\,g\rangle=\langle f,\,A^{*}g\rangle$$연산자 \(A^{*}:D(A^{*})(\subset\mathcal{H})\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)는 \(A\)의 (힐베르트) 수반(adjoint)연산자이다. 

명제 2.48 

(i) \(A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)이면, \(A^{*}\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)이고 \(\|A^{*}\|=\|A\|\)이다.

(ii) \(A,\,B\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)이면, \((AB)^{*}=B^{*}A^{*}\)이고 \((A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\)이다. 

(iii) \(\overline{D(A)\cap D(B)}=\mathcal{H}\)이면, \(A^{*}+B^{*}\subset(A+B)^{*}\)이다.

(iv) 모든 \(\alpha\in\mathbb{C}\)에 대해 \((\alpha A)^{*}=\overline{\alpha}A^{*}\)이다.

(v) \(A^{*}\)는 닫혀있다.

(vi) \(A\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \(\overline{D(A^{*})}=\mathcal{H}\)이고, 이 경우 \(A^{**}=(A^{*})^{*}\)는 잘 정의되고 \(\overline{A}=A^{**}\), \((\overline{A})^{*}=A^{*}\)이다.

(vii) \(A\subset B\)이면, \(B^{*}\subset A\)이다.

정리 2.49 \(A\)를 \(\mathcal{H}\)상의 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)의 생성원이라고 하자. 그러면 \(\{T(t)*\,|\,t\geq0\}\)은 생성원이 \(A^{*}\)인 \(\mathcal{H}\)에서의 \((C_{0})\) 반 군(수반 반 군(adjoint semigroup)이라고 부른다)이다. 

정의 2.50 \(B\)를 \(\mathcal{H}\)에서 정의역이 조밀한 연산자라고 하자. 

(i) \(B\)가 대칭(symmetric)일 필요충분조건은 \(B\subset B^{*}\)즉, 모든 \(g\in D(B)\)에 대해 사상 \(f\,\mapsto\,\langle Bf,\,g\rangle\)가 \(D(B)\)에서 연속 선형 범함수여서 \(g\in D(B^{*})\), \(B^{*}g=Bg\)이고 따라서 \(B\)가 대칭일 때 모든 \(f,\,g\in D(B)\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\langle Bf,\,g\rangle=\langle f,\,Bg\rangle$$(ii) \(B\)가 비대칭(skew-symmetric)일 필요충분조건은 \(B\subset-B^{*}\)이다.

(iii) \(B\)가 자기수반(self-adjoint)일 필요충분조건은 \(B^{*}=B\)이다.

(iv) \(B\)가 꼬인수반(skew-adjoint)일 필요충분조건은 \(B^{*}=-B\)이다.

(v) \(B\)가 본질적으로 자기수반(essentially self-adjoint)일 필요충분조건은 \(B\)가 유일한 자기수반 확장을 갖는 것이고, 여기에는 그 폐포 \(\overline{B}\)도 포함된다. 

명제 2.51 \(B\)를 \(\mathcal{H}\)에서 정의역이 조밀한 연산자라고 하자. 그러면 \(B\)가 꼬인수반일 필요충분조건은 \(iB\)가 자기수반인 것이다.

증명:

(\(\Rightarrow\)): \(B\)를 꼬인수반, 즉 \(B^{*}=-B\)라 하자. 그러면 \((iB)^{*}=\overline{i}B^{*}=-iB^{*}=-i(-B)=iB\)이고 따라서 \(iB\)는 자기수반이다.

정리 2.52 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)를 \(\mathcal{H}\)에서 자기수반 \((C_{0})\) 반 군일 필요충분조건은 그 생성원 \(-A\)가 자기수반이고, \(A\)는 아래로 유계이다. 이 경우, \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)=e^{-tA}\)이다.

특히 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)이 자기수반 수축 반 군일 필요충분조건은 \(A\)가 자기수반이고 음이 아닌(모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \(\langle Af,\,f\rangle\geq0\)) 것이다.

명제 2.53 \(B\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)이고 \(B\)가 대칭이면, \(B\)는 자기수반이다. 

정의 2.54

(i) \(U\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)라 하자. 그러면 \(U\)가 유니타리(unitary)일 필요충분조건은 \(U^{-1}\)가 \(\mathcal{L}(\mathcal{H})\)의 원소로서 존재하고 \(U^{*}=U^{-1}\)인 것이다.

(ii) \((C_{0})\) 유니타리 군 \(\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}\)는 유니타리 연산자들의 \((C_{0})\) 군이고 따라서 특히 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)과 \(\{T(-t)\,|\,t\geq0\}\)들은 \((C_{0})\) 반 군이고, 이들의 생성원은 \(B\)와 \(-B\)이다. 이 연산자 \(B\)를 유니타리 군의 생성원이라고 한다. 

명제 2.55 \(U\)가 유니타리일 필요충분조건은 \(U\)가 등거리이고 전사(surjective)인 것이다.

정리 2.56(스톤의 정리, Stone's theorem) \(\mathcal{H}\)에서 \((C_{0})\) 유니타리 군 \(\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}\)의 생성원이 연산자 \(B\)일 필요충분조건은 \(B\)가 꼬인수반인 것이고, 이 경우, 명제 2.51에 의해 \(B=-iA\)(\(A\)는 자기수반)이고, \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(T(t)=e^{-itA}\)로 나타낼 수 있다.

정의 2.57 \(A\)를 바나흐공간 \(X\)에서 정의역이 조밀한 연산자라고 하자. \(A'\)을 쌍대공간 \(X^{*}\)(\(X\)에서 연속 선형 범함수들의 공간)에서의 (바나흐) 수반 연산자라고 하자. \(\phi\)가 \(A'\)의 정의역에 존재할 필요충분조건은 \(\psi\in X^{*}\)가 존재해서 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \([Af,\,\phi]=[f,\,\psi]\)인 것이다. 이 경우, \(A'\phi=\psi\)이고 따라서 \(\phi\in D(A')\)이고 \(f\in D(A)\)이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$[Af,\,\phi]=[f,\,A'\phi]$$정리 2.58 \(A\)를 반사적 바나흐공간 \(X\)상의 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)의 생성원이라 하자. 그러면 수반 반 군 \(\{T'(t)\,|\,t\geq0\}\)는 \(X^{*}\)에서의 \((C_{0})\) 반 군이고, 그 생성원은 \(A'\)이다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford