2-1 연산자의 반 군

2-1 연산자의 반 군

바나흐공간 $X$에서의 유계 선형연산자들의 강한 연속 1변수 반 군을 $(C_{0})$반 군(semigroup)이라고 한다. 

$X$를 바나흐공간, $A$를 정의역 $D(A)\subset X$로부터 $X$로의 선형사상이라 하자. 즉, $A:D(A)\,\rightarrow\,X$. 다음의 초기값을 갖는 성장방정식(evolution equation)을 고려하자. $$\frac{d}{dt}u(t)=Au(t),\,u(0)=f$$ $\displaystyle\frac{d}{dt}u(t)=Au(t)$는 모든 $t\geq0$에 대해 $u(t)\in D(A)$이고 다음이 성립함을 뜻한다. $$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\left\|\frac{u(t+h)-u(t)}{h}-Au(t)\right\|}=0$$ 보이는 대로 이 방정식을 풀면 다음의 해를 얻는다. $$u(t)=e^{tA}f(=e^{tA}u(0))$$ $A$는 연산자이기 때문에 위 식은 완전하지 않으나 올바르게 기술할 수는 있다.

앞의 성장방정식을 일반화할 수 있다. $X$를 선형 위상공간 또는 미분가능 다양체, 심지어 비선형 연산자들의 특정한 종류라고 할 수 있다. 

예: 다음의 열방정식(heat equation)에서 $$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,\,x)=(\Delta\phi)(t,\,x)-V(x)\phi(t,\,x),\,\phi(0,\,x)=\phi_{0}(x),\,t\geq0,\,x\in\mathbb{R}^{n}$$ $A=\Delta-V$, $u(t)=\phi(t,\,\cdot)$, $u(0)=\phi(0,\,\cdot)=\phi_{0}$, $V$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수라고 할 수 있고, 바나흐공간 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1\leq p<\infty)$ 또는 $BUC(\mathbb{R}^{n})$($\mathbb{R}^{n}$에서 유계 균등연속함수들의 공간)에서 정의할 수 있다.

그 다음으로 이 열방정식을 앞에서 다룬 성장방정식처럼 다룰 수 있고, 그 해는 다음과 같다. $$u(t)=e^{t(\Delta-V)}\phi_{0}=e^{-t(-\Delta+V)}\phi_{0}(=e^{-tH}\phi_{0})$$ 여기서 $H=-\Delta+V$를 에너지연산자(energy operator) 또는 해밀토니안(Hamiltonian)이라고 한다. 

예: 다음의 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)에서 $$\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,\,x)=i\{(\Delta\psi)(t,\,x)-V(x)\psi(t,\,x)\},\,\psi(0,\,x)=\psi_{0}(x),\,t\geq0,\,x\in\mathbb{R}^{n}$$ $A=i(\Delta-V)$, $u(t)=\psi(t,\,\cdot)$, $u(0)=\psi_{0}$, $X=L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이라고 할 수 있다. 이렇게 슈뢰딩거 방정식을 성장방정식과 같게 할 수 있고, 그 해를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(t)=e^{it(\Delta-V)}\psi_{0}(=e^{-itH}\psi_{0})$$ 여기서 열방정식에서처럼 $H=-\Delta+V$이다. 열방정식과는 달리 $t\in\mathbb{R}$이라고 할 수 있다.

앞에서의 열방정식과 슈뢰딩거 방정식을 간단한 1차원 문제로 변형시켰다. 

예: (혼합된 초기-경계값 문제, mixed initial-boundary value problem) $\Omega$를 $\mathbb{R}^{n}$에서의 유계 영역이고 경계 $\partial\Omega$를 갖는다고 하자. 앞에서 다루었던 성장방정식을 여기에 적용하는 것은 제한적일 것이다. 다음은 열방정식의 혼합된 초기-경계값 문제이고, 다음을 만족하는 $[0,\,\infty)\times\overline{\Omega}$에서 정의된 함수 $w=w(t,\,x)$를 찾으려고 한다. $$\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial t}&=\Delta w\,(t,\,x)\in[0,\,\infty)\times\Omega\\w(0,\,x)&=f(x)\,x\in\Omega\\w(t,\,x)&=0\,x\in\partial\Omega,\,t\geq0\end{align*}$$ (일관성을 위해 조건 '$x\in\partial\Omega$에서 $f(x)=0$'이 필요하다.) 

앞에서처럼 $u(t)=w(t,\,\cdot)$, $X=C(\overline{\Omega})$($X=L^{p}(\Omega),\,p\geq1$도 가능하다), $A=\Delta$, $$D(A)=\{v\in C(\overline{\Omega})\,|\,v''\,\text{exists},\,\Delta v\in C(\overline{\Omega}),\,v(x)=0,\,\forall x\in\partial\Omega\}$$ 라 하자. 이렇게 하면, 이 초기-경계값 문제는 성장방정식으로 바뀌게 된다. 여기서 경계조건은 연산자 $A$의 정의에서의 정의역에 흡수되었고, 모든 $t\geq0$에 대해 $u(t)\in D(A)$이다.  

예: (파동방정식, wave equation) 성장방정식은 시간에 대한 1계 미분방정식이다. 다음의 파동방정식도 성장방정식처럼 풀 수 있다. $$\begin{align*}\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}&=\Delta w\,(t,\,x)\in[0,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\\w(0,\,x)&=f_{1}(x)\,x\in\mathbb{R}^{n}\,(\text{initial position})\\ \frac{\partial w}{\partial}(0,\,x)&=f_{2}(x)\,x\in\mathbb{R}^{n}\,(\text{initial velocity})\end{align*}$$ 공간 $X$는 $\mathbb{R}^{n}$상의 함수들의 쌍들의 공간으로 선택할 수 있고, $$u(t)=\begin{pmatrix}w(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\end{pmatrix},\,f=\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix},\,A=\begin{pmatrix}0&1\\ \Delta&0\end{pmatrix}$$ 이라고 할 수 있다. 그러면 $$Au(t)=\begin{pmatrix}0&1\\  \Delta&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\\ \Delta w\end{pmatrix}$$ 로 나타낼 수 있고, 따라서 다음과 같이 성장방정식으로 나타낼 수 있다. $$\begin{pmatrix}\frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}(t,\,\cdot)(t,\,\cdot)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\end{pmatrix}$$ 성장방정식과 같은 다음의 초기값 문제 $$\frac{du}{dt}=Au(t),\,u(0)=f$$ 는 물리적 문제의 모델링에 사용되고, 이 수학적 모델이 다음의 성질들을 만족해야 한다.

1. 해가 존재한다.

2. 해는 유일하다.

3. 해는 초기값 $f$와 연산자 $A$와만 관련되어있다.

위의 세 조건들을 만족한다면, 그 문제를 타당(well posed)하다고 한다.

바나흐공간 $X$에 대해 $\mathcal{L}(X)$는 $X$에서 유계인 선형연산자들의 공간이라고 정의한다. 앞에서 다루었던 성장방정식의 해는 $u(t)=e^{tA}f$이고, $e^{tA}\,(t\geq0)$대신 $T(t)$로 나타낸다. 

정의 2.1 $\mathcal{L}(X)$상의 연산자들의 집합족 $\{T(t)\,|\,0\leq t<\infty\}$이 $X$에서 연산자들의 강한 연속 반 군(strongly continuous semigroup of operators), 간단히 $(C_{0})$ 반 군일 필요충분조건은 다음의 세 가지 조건들을 만족하는 것이다.

(1) 모든 $t,\,s\in[0,\,\infty)$에 대해 $T(t+s)=T(t)T(s)$ 

(2) $T(0)=I$

(3) 모든 $f\in X$에 대해 $T(\cdot)f\in C([0,\,\infty),\,X)$

여기서 $I$는 $X$에서의 항등연산자이고 $C([0,\,\infty),\,X)$는 $[0,\,\infty)$에서 $X$로의 연속함수들의 공간이다. (3)은 고정된 $f\in X$에 대해 사상 $t\,\mapsto\,T(t)f$가 $[0,\,\infty)$에서 $X$로의 ($X$에서의 노름에 대해) 연속함수임을 뜻한다. 이것을 반 군 $\{T(t)\}$의 강 (연산자) 연속성(strong (operator) continuity)이라고 한다. 

*군의 정의: 1. 항등원이 존재한다, 2. 결합법칙이 성립한다, 3. 모든 원소들은 역원을 갖는다.

*반 군의 정의: 1. 결합법칙이 성립한다.

정의 2.2 $X$에서 $(C_{0})$ 축소 반 군 $\{T(t)\}$는 모든 $t\in[0,\,\infty)$에 대해 $\|T(t)\|\leq1$을 만족하는 것이다.

정의 2.3 $T=\{T(t)\}$를 $X$에서의 $(C_{0})$ 반 군이라고 하자. $T$의 (무한소) 생성원((infinitesimal) generator) $A$는 다음과 같이 정의된다. $$Af=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}=\frac{d}{dt}T(t)f\mid_{t=0}$$ 여기서 정의역 $D(A)$는 위의 극한이 ($X$에서) 존재하게 하는 $f\in X$들의 집합이다.

정리 2.4 (타당성 정리, well posedness theorem) 성장방정식의 초기값 문제가 타당할 필요충분조건은 $A$가 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원인 것이다. 이 경우, 성장방정식의 유일해는 모든 $f\in D(A)$에 대해 $u(t)=T(t)f\,(T(t)=e^{tA})$로 주어진다.

정리 2.4에 따르면, 어떤 연산자 $A$가 $(C_{0})$ 반 군인지 궁금할 것이다. 어떤 연산자 $A$가 $(C_{0})$ 축소 반 군을 생성할까?

$a\in\mathbb{C}$에 대해 다음의 라플라스 변환 공식을 보자. $$\frac{1}{\lambda-a}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}e^{at}dt}$$ 위 식은 모든 $\lambda\in\mathbb{R}\,(\lambda>\text{Re}a)$에 대해 타당하고, 이 공식으로부터 다음의 식을 생각할 수 있다. $$(\lambda I-A)^{-1}f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}T(t)fdt}$$ 위 식은 모든 $\lambda>0$과 $f\in X$에 대해 타당하다.     

$R(\lambda)=R(\lambda,\,A)=(\lambda I-A)^{-1}$은 $A$의 역핵(resolvent) 연산자이다. 위에서 $(\lambda I-A)^{-1}f$에 대한 식은 $R(\lambda,\,A)$가 반 군 $\{T(t)\}$의 라플라스 변환임을 보여준다. 

$f\in X$와 $\lambda>0$에 대해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}\|R(\lambda,\,A)\|&=\left\|\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}T(t)fdt}\right\|\leq\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}\|T(t)f\|dt}\\&\leq\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}\|f\|dt}=\frac{1}{\lambda}\|f\|\end{align*}$$ 이것은 (*) 모든 $\lambda>0$에 대해 $(\lambda-A)^{-1}=(\lambda I-A)^{-1}$가 연산자 노름이 $\displaystyle\frac{1}{\lambda}$보다 작거나 같은 $X$상의 유계 연산자에 대해 정의됨을 보여주고 따라서, 모든 $\lambda>0$에 대해 $\lambda I-A$는 $D(A)$에서 $X$로 사상하고, 모든 $f\in X$에 대해 다음이 성립한다. $$\|(\lambda I-A)^{-1}f\|\leq\frac{1}{\lambda}\|f\|$$ 정리 2.5 (힐-요시다 생성정리, Hille-Yoshida generation theorem) 선형연산자 $A:D(A)(\subset X)\,\rightarrow\,X$가 $(C_{0})$ 축소 반 군을 생성할 필요충분조건은 $D(A)$가 $X$에서 조밀하고, 위의 성질 (*)이 성립하는 것이다.

정리 2.6 (섭동 정리, perturbation theorem) 선형연산자 $A:D(A)(\subset X)\,\rightarrow\,X$가 바나흐공간 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군을 생성하고, $B\in\mathcal{L}(X)$이면, $A+B$도 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군을 생성한다.

정리 2.7 (근사 정리(approximation theorem): 트롯터-가토-네브-체르노프(Trotter-Kato-Neveu-Chernoff)) $n=0,\,1,\...$에 대해 $A_{n}$이 바나흐공간 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군 $T_{n}$을 생성한다고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(1) 모든 $f\in X$와 $t\geq0$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f$ 

(2) 모든 $f\in X$와 $\lambda>0$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\lambda-A_{n})^{-1}f}=(\lambda-A_{0})^{-1}$

게다가 (1)에 대한 충분조건이 성립하기 위해서는 모든 $n\geq1$에 대해 $D(A_{0})\subset D(A_{n})$이 성립하고 모든 $f\in D(A_{0})$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A_{n}f}=A_{0}f$가 성립해야 한다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford