2-1 연산자의 반 군

2-1 연산자의 반 군

바나흐공간 \(X\)에서의 유계 선형연산자들의 강한 연속 1변수 반 군을 \((C_{0})\)반 군(semigroup)이라고 한다. 

\(X\)를 바나흐공간, \(A\)를 정의역 \(D(A)\subset X\)로부터 \(X\)로의 선형사상이라 하자. 즉, \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\). 다음의 초기값을 갖는 성장방정식(evolution equation)을 고려하자.$$\frac{d}{dt}u(t)=Au(t),\,u(0)=f$$\(\displaystyle\frac{d}{dt}u(t)=Au(t)\)는 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(u(t)\in D(A)\)이고 다음이 성립함을 뜻한다.$$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\left\|\frac{u(t+h)-u(t)}{h}-Au(t)\right\|}=0$$보이는 대로 이 방정식을 풀면 다음의 해를 얻는다.$$u(t)=e^{tA}f(=e^{tA}u(0))$$\(A\)는 연산자이기 때문에 위 식은 완전하지 않으나 올바르게 기술할 수는 있다.

앞의 성장방정식을 일반화할 수 있다. \(X\)를 선형 위상공간 또는 미분가능 다양체, 심지어 비선형 연산자들의 특정한 종류라고 할 수 있다. 

예: 다음의 열방정식(heat equation)에서$$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,\,x)=(\Delta\phi)(t,\,x)-V(x)\phi(t,\,x),\,\phi(0,\,x)=\phi_{0}(x),\,t\geq0,\,x\in\mathbb{R}^{n}$$\(A=\Delta-V\), \(u(t)=\phi(t,\,\cdot)\), \(u(0)=\phi(0,\,\cdot)=\phi_{0}\), \(V\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수라고 할 수 있고, 바나흐공간 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1\leq p<\infty)\) 또는 \(BUC(\mathbb{R}^{n})\)(\(\mathbb{R}^{n}\)에서 유계 균등연속함수들의 공간)에서 정의할 수 있다.

그 다음으로 이 열방정식을 앞에서 다룬 성장방정식처럼 다룰 수 있고, 그 해는 다음과 같다.$$u(t)=e^{t(\Delta-V)}\phi_{0}=e^{-t(-\Delta+V)}\phi_{0}(=e^{-tH}\phi_{0})$$여기서 \(H=-\Delta+V\)를 에너지연산자(energy operator) 또는 해밀토니안(Hamiltonian)이라고 한다. 

예: 다음의 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)에서$$\frac{\partial\psi}{\partial t}(t,\,x)=i\{(\Delta\psi)(t,\,x)-V(x)\psi(t,\,x)\},\,\psi(0,\,x)=\psi_{0}(x),\,t\geq0,\,x\in\mathbb{R}^{n}$$\(A=i(\Delta-V)\), \(u(t)=\psi(t,\,\cdot)\), \(u(0)=\psi_{0}\), \(X=L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이라고 할 수 있다. 이렇게 슈뢰딩거 방정식을 성장방정식과 같게 할 수 있고, 그 해를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(t)=e^{it(\Delta-V)}\psi_{0}(=e^{-itH}\psi_{0})$$여기서 열방정식에서처럼 \(H=-\Delta+V\)이다. 열방정식과는 달리 \(t\in\mathbb{R}\)이라고 할 수 있다.

앞에서의 열방정식과 슈뢰딩거 방정식을 간단한 1차원 문제로 변형시켰다. 

예: (혼합된 초기-경계값 문제, mixed initial-boundary value problem) \(\Omega\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 유계 영역이고 경계 \(\partial\Omega\)를 갖는다고 하자. 앞에서 다루었던 성장방정식을 여기에 적용하는 것은 제한적일 것이다. 다음은 열방정식의 혼합된 초기-경계값 문제이고, 다음을 만족하는 \([0,\,\infty)\times\overline{\Omega}\)에서 정의된 함수 \(w=w(t,\,x)\)를 찾으려고 한다.$$\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial t}&=\Delta w\,(t,\,x)\in[0,\,\infty)\times\Omega\\w(0,\,x)&=f(x)\,x\in\Omega\\w(t,\,x)&=0\,x\in\partial\Omega,\,t\geq0\end{align*}$$(일관성을 위해 조건 '\(x\in\partial\Omega\)에서 \(f(x)=0\)'이 필요하다.) 

앞에서처럼 \(u(t)=w(t,\,\cdot)\), \(X=C(\overline{\Omega})\)(\(X=L^{p}(\Omega),\,p\geq1\)도 가능하다), \(A=\Delta\),$$D(A)=\{v\in C(\overline{\Omega})\,|\,v''\,\text{exists},\,\Delta v\in C(\overline{\Omega}),\,v(x)=0,\,\forall x\in\partial\Omega\}$$라 하자. 이렇게 하면, 이 초기-경계값 문제는 성장방정식으로 바뀌게 된다. 여기서 경계조건은 연산자 \(A\)의 정의에서의 정의역에 흡수되었고, 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(u(t)\in D(A)\)이다.  

예: (파동방정식, wave equation) 성장방정식은 시간에 대한 1계 미분방정식이다. 다음의 파동방정식도 성장방정식처럼 풀 수 있다.$$\begin{align*}\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}&=\Delta w\,(t,\,x)\in[0,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\\w(0,\,x)&=f_{1}(x)\,x\in\mathbb{R}^{n}\,(\text{initial position})\\ \frac{\partial w}{\partial}(0,\,x)&=f_{2}(x)\,x\in\mathbb{R}^{n}\,(\text{initial velocity})\end{align*}$$공간 \(X\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 함수들의 쌍들의 공간으로 선택할 수 있고,$$u(t)=\begin{pmatrix}w(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\end{pmatrix},\,f=\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix},\,A=\begin{pmatrix}0&1\\ \Delta&0\end{pmatrix}$$이라고 할 수 있다. 그러면$$Au(t)=\begin{pmatrix}0&1\\  \Delta&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\\ \Delta w\end{pmatrix}$$로 나타낼 수 있고, 따라서 다음과 같이 성장방정식으로 나타낼 수 있다.$$\begin{pmatrix}\frac{\partial w}{\partial t}(t,\,\cdot)\\ \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}(t,\,\cdot)(t,\,\cdot)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\end{pmatrix}$$성장방정식과 같은 다음의 초기값 문제$$\frac{du}{dt}=Au(t),\,u(0)=f$$는 물리적 문제의 모델링에 사용되고, 이 수학적 모델이 다음의 성질들을 만족해야 한다.

1. 해가 존재한다.

2. 해는 유일하다.

3. 해는 초기값 \(f\)와 연산자 \(A\)와만 관련되어있다.

위의 세 조건들을 만족한다면, 그 문제를 타당(well posed)하다고 한다.

바나흐공간 \(X\)에 대해 \(\mathcal{L}(X)\)는 \(X\)에서 유계인 선형연산자들의 공간이라고 정의한다. 앞에서 다루었던 성장방정식의 해는 \(u(t)=e^{tA}f\)이고, \(e^{tA}\,(t\geq0)\)대신 \(T(t)\)로 나타낸다. 

정의 2.1 \(\mathcal{L}(X)\)상의 연산자들의 집합족 \(\{T(t)\,|\,0\leq t<\infty\}\)이 \(X\)에서 연산자들의 강한 연속 반 군(strongly continuous semigroup of operators), 간단히 \((C_{0})\) 반 군일 필요충분조건은 다음의 세 가지 조건들을 만족하는 것이다.

(1) 모든 \(t,\,s\in[0,\,\infty)\)에 대해 \(T(t+s)=T(t)T(s)\) 

(2) \(T(0)=I\)

(3) 모든 \(f\in X\)에 대해 \(T(\cdot)f\in C([0,\,\infty),\,X)\)

여기서 \(I\)는 \(X\)에서의 항등연산자이고 \(C([0,\,\infty),\,X)\)는 \([0,\,\infty)\)에서 \(X\)로의 연속함수들의 공간이다. (3)은 고정된 \(f\in X\)에 대해 사상 \(t\,\mapsto\,T(t)f\)가 \([0,\,\infty)\)에서 \(X\)로의 (\(X\)에서의 노름에 대해) 연속함수임을 뜻한다. 이것을 반 군 \(\{T(t)\}\)의 강 (연산자) 연속성(strong (operator) continuity)이라고 한다. 

*군의 정의: 1. 항등원이 존재한다, 2. 결합법칙이 성립한다, 3. 모든 원소들은 역원을 갖는다.

*반 군의 정의: 1. 결합법칙이 성립한다.

정의 2.2 \(X\)에서 \((C_{0})\) 축소 반 군 \(\{T(t)\}\)는 모든 \(t\in[0,\,\infty)\)에 대해 \(\|T(t)\|\leq1\)을 만족하는 것이다.

정의 2.3 \(T=\{T(t)\}\)를 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 반 군이라고 하자. \(T\)의 (무한소) 생성원((infinitesimal) generator) \(A\)는 다음과 같이 정의된다.$$Af=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}=\frac{d}{dt}T(t)f\mid_{t=0}$$여기서 정의역 \(D(A)\)는 위의 극한이 (\(X\)에서) 존재하게 하는 \(f\in X\)들의 집합이다.

정리 2.4 (타당성 정리, well posedness theorem) 성장방정식의 초기값 문제가 타당할 필요충분조건은 \(A\)가 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원인 것이다. 이 경우, 성장방정식의 유일해는 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \(u(t)=T(t)f\,(T(t)=e^{tA})\)로 주어진다.

정리 2.4에 따르면, 어떤 연산자 \(A\)가 \((C_{0})\) 반 군인지 궁금할 것이다. 어떤 연산자 \(A\)가 \((C_{0})\) 축소 반 군을 생성할까?

\(a\in\mathbb{C}\)에 대해 다음의 라플라스 변환 공식을 보자.$$\frac{1}{\lambda-a}=\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}e^{at}dt}$$위 식은 모든 \(\lambda\in\mathbb{R}\,(\lambda>\text{Re}a)\)에 대해 타당하고, 이 공식으로부터 다음의 식을 생각할 수 있다.$$(\lambda I-A)^{-1}f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}T(t)fdt}$$위 식은 모든 \(\lambda>0\)과 \(f\in X\)에 대해 타당하다.     

\(R(\lambda)=R(\lambda,\,A)=(\lambda I-A)^{-1}\)은 \(A\)의 역핵(resolvent) 연산자이다. 위에서 \((\lambda I-A)^{-1}f\)에 대한 식은 \(R(\lambda,\,A)\)가 반 군 \(\{T(t)\}\)의 라플라스 변환임을 보여준다. 

\(f\in X\)와 \(\lambda>0\)에 대해 다음이 성립하고$$\begin{align*}\|R(\lambda,\,A)\|&=\left\|\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}T(t)fdt}\right\|\leq\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}\|T(t)f\|dt}\\&\leq\int_{0}^{\infty}{e^{-\lambda t}\|f\|dt}=\frac{1}{\lambda}\|f\|\end{align*}$$이것은 (*) 모든 \(\lambda>0\)에 대해 \((\lambda-A)^{-1}=(\lambda I-A)^{-1}\)가 연산자 노름이 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)보다 작거나 같은 \(X\)상의 유계 연산자에 대해 정의됨을 보여주고 따라서, 모든 \(\lambda>0\)에 대해 \(\lambda I-A\)는 \(D(A)\)에서 \(X\)로 사상하고, 모든 \(f\in X\)에 대해 다음이 성립한다.$$\|(\lambda I-A)^{-1}f\|\leq\frac{1}{\lambda}\|f\|$$정리 2.5 (힐-요시다 생성정리, Hille-Yoshida generation theorem) 선형연산자 \(A:D(A)(\subset X)\,\rightarrow\,X\)가 \((C_{0})\) 축소 반 군을 생성할 필요충분조건은 \(D(A)\)가 \(X\)에서 조밀하고, 위의 성질 (*)이 성립하는 것이다.

정리 2.6 (섭동 정리, perturbation theorem) 선형연산자 \(A:D(A)(\subset X)\,\rightarrow\,X\)가 바나흐공간 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군을 생성하고, \(B\in\mathcal{L}(X)\)이면, \(A+B\)도 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군을 생성한다.

정리 2.7 (근사 정리(approximation theorem): 트롯터-가토-네브-체르노프(Trotter-Kato-Neveu-Chernoff)) \(n=0,\,1,\...\)에 대해 \(A_{n}\)이 바나흐공간 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군 \(T_{n}\)을 생성한다고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(1) 모든 \(f\in X\)와 \(t\geq0\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f\) 

(2) 모든 \(f\in X\)와 \(\lambda>0\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(\lambda-A_{n})^{-1}f}=(\lambda-A_{0})^{-1}\)

게다가 (1)에 대한 충분조건이 성립하기 위해서는 모든 \(n\geq1\)에 대해 \(D(A_{0})\subset D(A_{n})\)이 성립하고 모든 \(f\in D(A_{0})\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A_{n}f}=A_{0}f\)가 성립해야 한다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford