1-3 파인만 해석적분

1-3 파인만 해석적분

\(C([a,\,b])\)를 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수들의 집합, \(C_{0}([a,\,b])=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(a)=0\}\)을 위너공간, \(\mathfrak{m}\)을 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 위너측도라 하자. 

\(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(x\)의 노름을 다음과 같이 정의하면$$\|x\|=\max_{t\in[a,\,b]}{|x(t)|}$$\((C_{0}([a,\,b]),\,\|\cdot\|)\)는 가분 바나흐공간이다.$$\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n}),\,a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$$를 구간 \([a,\,b]\)의 분할이라 하고, \(\displaystyle\|\vec{t}\|=\max_{1\leq i\leq n}{|t_{i}-t_{i-1}|}\)이라 하자. \(\vec{\xi}=(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})\)이 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 임의의 벡터일 때 \(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}(\tau)\)를 점 \(t_{i}\)에서 함숫값 \(\xi_{i}\)를 갖는 다각형 함수라 하자. 즉,

\(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}(t_{i})=\xi_{i},\,i=0,\,1,\,...,\,n\,(\xi_{0}=0)\)이고 구간 \([t_{i-1},\,t_{i}]\)에서는 직선이다.

정의 1.1 다음의 극한값이 존재할 때, 이 극한값을 함수 \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)의 매개변수 \(\sigma\)를 갖는 위너 수열적분(sequential Wiener integral)이라고 한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{sw}\,\sigma}{F(x)dx}=\lim_{\|\vec{t}\|\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})d\vec{\xi}}}$$여기서 \(W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})\)는 다음과 같다.$$W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})=\frac{1}{\sigma^{n}\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(\xi_{i}-\xi_{i-1})^{2}}{2\sigma^{2}(t_{i}-t_{i-1})}}}$$앞에서의 \(\sigma^{2}\)를 분산매개변수(variance parameter)라고 한다. \(\sigma=1\)이면, 위너측도가 된다.

\(p\)가 양의 실수일 때, \(W_{p\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})=p^{-n}W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi},\,p^{-1})\)이다.

\(\sigma^{2}\)이 순허수이면, 수열적분은 파인만이 정의한 함수공간 적분과 본질적으로 같고 따라서 파인만 수열적분(sequential Feynan integral)을 다음과 같이 정의한다.

정의 1.2 \(p\)와 \(\text{Re}\sqrt{i}\)가 양의 실수일 때, 함수 \(F\)의 매개변수 \(p\)를 갖는 파인만 수열적분은 매개변수 \(p\sqrt{i}\)를 갖는 위너 수열적분이다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{p}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w\,p\sqrt{i}}{F(x)dx}$$\(p\)가 양의 실수이면, 위너 수열적분의 정의로부터$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{p\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(px)dx}$$이고, 위의 두 식으로부터 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,_{p}}{F((x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{1}}{F(px)dx}$$다음의 정리는 위너 수열적분의 정의가 타당함을 보여준다.

정리 1.3 \(F(x)\)는 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 보렐 가측이고, \(\mathfrak{m}-a.e.\)연속이라 하자. \(\phi(u)>0\)는 단조증가 함수이고 \(\phi(\|x\|)\)는 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 위너적분 가능하다고 하자. 모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(|F(x)|\leq\phi(\|x\|)\)이면, \(\sigma=1\)일 때 \(F\)는 위너 수열적분 가능하고 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{1}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$증명: \(\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n})\)을 \([a,\,b]\)의 분할, \(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}\)를 다각형 함수라고 하자. \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해$$\vec{x}_{t}=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n})),\,G_{t}(x)=\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}$$라 하면 \(G_{t}(x)\)는 \(t_{i}\)에서 함숫값 \(x(t_{i})\)를 갖는 다각형 함수이다. \(f(\vec{\xi})=F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})\)라 하면 다음이 성립한다.$$(F\circ G_{t})(x)=f(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$위너 적분공식으로부터 다음의 식을 얻고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{(F\circ G_{t})(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})d\xi}$$여기서 \(W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})\)는 다음과 같다.$$W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(\xi_{i}-\xi_{i-1})^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}$$\(\|\vec{t}\|\,\rightarrow\,0\)일 때 \(G_{t}(x)\,\rightarrow\,x\)이므로, \((F\circ G_{t})(x)\,\rightarrow\,F(x)\)이다. 또한$$|(F\circ G_{t})(x)|\leq\phi(\|G_{t}(x)\|)\leq\phi(\|x\|)$$이므로 위의 식의 양변에 \(\|t\|\,\rightarrow\,0\)일 때의 극한을 취하면, 지배수렴정리로부터 원하는 결과를 얻는다.

정리 1.3 외에 위너 수열적분과 파인만 적분에 대한 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다. 함수 \(F\)가 적당한 조건을 만족하면,

(1) 복소수 \(\sigma\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}(x)}$$(2) (1)에서의 우변의 위너적분은 \(\sigma\)의 함수로서 어떤 주어진 영역 안에서 해석적이다. 따라서 (1)의 좌변의 위너 수열적분도 해석적이다. \(F(\sigma x)\)가 \(\sigma\)의 함수로서 해석적이지 않으나 위 식의 위너적분이 해석적인 경우도 있다.

(3) 슈뢰딩거 방정식의 해를 파인만 수열적분으로 나타낼 수 있다.

위 식의 위너적분이 \(\sigma\)의 함수로서 해석적이라는 사실은(\(F(\sigma x)\)가 해석적이지 않아도) 위너 수열적분의 정의의 적분을 해석접속(analytic continuation)의 개념(정칙함수의 정의역을 확장함)을 사용해 정의할 수 있는 근거가 된다. 이 경우, (1)의 위너적분의 해석접속이 \(\sigma\)가 복소수인 경우에도 (1)의 좌변 적분(위너 수열적분)을 정의하는 데 사용될 수 있다.

해석접속을 이용해 위너적분을 정의하는 경우, 수열을 이용하지 않기 때문에 기호 \(\text{sw}_{\sigma}\) 대신 \(\text{an}\,w_{q}\)를 사용해 나타내도 \(\lambda=\sigma^{-2}\)의 관계가 있다.  

정의 1.4 모든 \(\lambda>0\)에 대해 함수 \(F\)의 위너적분$$J(\lambda)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$가 존재한다고 하자. 반평면 \(\mathbb{C}_{+}=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}\lambda>0\}\)에서 함수 \(J^{*}(\lambda)\)가 해석적이고 모든 양의 실수 \(\lambda\)에 대해 \(J^{*}(\lambda)=J(\lambda)\)이면, \(J(\lambda)\)의 해석접속 \(J^{*}(\lambda)\)를 함수 \(F\)의 매개변수 \(\lambda\)를 갖는 위너 해석적분이라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$J^{*}(\lambda)=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$정의 1.5 \(q\in\mathbb{R}-\{0\}\)이고 함수 \(F\)의 위너 해석적분 \(J^{*}(\lambda)\)가 모든 \(\lambda\,(\text{Re}\lambda>0)\)에 대해 존재한다고 하자. 다음의 극한이 존재하면, 그 극한을 함수 \(F\)의 매개변수 \(q\)를 갖는 파인만 해석적분이라고 한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)dx}=\lim_{\lambda\,\rightarrow\,-iq}{\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}}$$카메룬은 다음과 같이 파인만 해석적분을 정의했고,$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{-iq}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$적당한 조건에서 다음의 관계를 얻었다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}\,(\lambda=\sigma^{-2})$$따라서 앞이 (1)에 의해 다음이 성립하고$$\begin{align*}(*)\,\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$\(q=p^{-2}\)일 때, 다음이 성립하므로$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{p}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{p\sqrt{i}}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{-iq}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$매개변수 \(p\)를 갖는 파인만 수열적분과 매개변수 \(q\)를 갖는 파인만 해석적분은 같게 된다. 따라서 카메룬의 파인만 해석적분의 정의는 타당석이 있고, 카메룬의 파인만 해석적분의 정의와 식 (*)에 의해 파인만 해석적분(정의 1.5)을 정의한 근거를 찾을 수 있다.  

측도론에서의 두 함수의 동치관계는 측도-a.e.의 개념을 사용하는데 측도-a.e.에서 같은 두 함수는 그 적분값이 같기 때문이다. 그러나 위너측도-a.e.의 개념을 사용한 동치관계는 파인만 적분에서는 적합한 동치관계가 아니다.

정의 1.4에서 모든 \(\lambda>0\)에 대해 위너적분 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}\)이 존재한다는 가정은 \(F\)가 \(s-a.e.\)(척도불변 영집합을 제외하고 성립)에서 정의되고 \(F\)의 척도불변 가측성을 요구하는 것이다.

예: 모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(G(x)=0\), \(F(x)=\chi_{\Omega_{\sigma_{0}}}(x)\,(\sigma_{0}\neq1)\)이라 하자. 여기서 \(\Omega_{\sigma_{0}}\)는 다음과 같다.$$\Omega_{\sigma_{0}}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{n}}(x)}=\sigma_{0}^{2}(b-a)\},\,S_{2^{n}}(x)=\sum_{j=1}^{2^{n}}{\{x(t{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}$$그러면 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=0\)이므로 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}=0\)이고, 따라서 모든 \(q\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}=0\)이다. 

반면에 \(\Omega_{1}\)에서 \(F=0\)이므로 \(G=F\,\mathfrak{m}-a.e.\)이고,$$int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=\begin{cases}1&\,(\lambda=\sigma_{0}^{-2})\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$이므로 위 식의 좌변의 적분은 \(\mathbb{C}_{+}\)에서 해석접속을 가지지 못한다. 따라서 \(F\)의 위너 해석적분과 파인만 적분은 존재하지 않는다.

* \(F\)가 보렐 가측함수로서 \(\mathfrak{m}-a.e.\)에서 \(F=0\)이고, 모든 \(\lambda>0\)와 \(q\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해 적분 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}\)와 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}\)가 존재하지만 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{1}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}\neq0\)인 함수 \(F\)도 찾을 수 있다.

앞의 예는 위너측도-a.e.의 개념이 파인만 적분에서 적절한 동치관계를 주지 못하므로 이 적분에 적절한 새로운 동치관계를 정의하는 것이 필요하다.

정의 1.6 \(F\)와 \(G\)가 위너공간에서 정의된 함수라고 하자. 위너공간에서 \(F=G\,s-a.e.\)일 때, \(F\)는 \(G\)와 동치관계가 있다고 하고, 기호로 \(F\approx G\)로 나타낸다.

다음의 정리는 \(s-a.e.\)의 개념을 사용한 동치관계가 파인만 적분에서 적절한 동치관계임을 보여준다.

정리 1.7 \(F\)와 \(G\)가 위너공간에서 정의된 함수이고 \(F\approx G\)라 하자. 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 함수 \(G\)의 해석적분이 존재하면, 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 함수 \(F\)의 위너적분이 존재하고 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}$$또한 \(q\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해서 함수 \(G\)의 파인만 해석적분이 존재하면, 함수 \(F\)의 파인만 해석적분도 존재하고 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}$$증명: \(F\approx G\)이므로 각 \(\lambda>0\)에 대해$$F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)=G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)\,\mathfrak{m}-a.e.$$이다. 그러면 다음이 성립하고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$따라서 함수 \(F\)의 위너 해석적분과 파인만 해석적분은 존재하고 \(G\)의 적분과 같다.

위너 해석적분이 존재하면, 그 적분 \(J^{*}(\lambda)\)는 \(\mathbb{C}_{+}\)에서 해석함수이고 파인만 해석적분이 존재하면, 그 적분은 이 해석함수의 경계값이다. 다음의 정리는 임의의 해석함수와 그 경계값들이 위너 해석적분과 파인만 해석적분으로 나타낼 수 있음을 보여준다.

정리 1.8 \(g\)를 \(\mathbb{C}_{+}\)에서 임의의 해석함수라 하자. 그러면 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 척도불변 가측함수 \(F\)가 존재해서 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=g(\lambda)$$증명: \(\lambda>0\)에 대해$$F(x)=\begin{cases}g(\lambda)&\,(x\in\Omega_{\lambda^{-\frac{1}{2}}})\\0&\,\left(x\in C_{0}([a,\,b])-\bigcup_{\sigma>0}{\Omega_{\sigma}}\right)\end{cases}$$라 하면 \(F\)는 척도불변 가측함수이다. 또한 \(\lambda^{-\frac{1}{2}}\Omega_{1}=\Omega_{\lambda^{-\frac{1}{2}}}\)이므로 모든 \(\lambda>0\)에 대해$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F((\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\Omega_{1}}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\Omega_{1}}{g(\lambda)d\mathfrak{m}(x)}\\&=g(\lambda)\end{align*}$$이므로 원하는 결과를 얻는다.

위와 같은 방법으로 다음의 정리도 증명할 수 있다.

정리 1.9 \(f\)를 \((0,\,\infty)\)에서 정의된 임의의 함수라고 하자. 그러면 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 척도불변 가측함수 \(F\)가 존재해서 모든 \(\lambda>0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$증명: 생략

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

파인만 적분론, 장건수, 민음사