1-3 파인만 해석적분

1-3 파인만 해석적분

$C([a,\,b])$를 $[a,\,b]$에서 정의된 연속함수들의 집합, $C_{0}([a,\,b])=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(a)=0\}$을 위너공간, $\mathfrak{m}$을 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너측도라 하자. 

$x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $x$의 노름을 다음과 같이 정의하면 $$\|x\|=\max_{t\in[a,\,b]}{|x(t)|}$$ $(C_{0}([a,\,b]),\,\|\cdot\|)$는 가분 바나흐공간이다. $$\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n}),\,a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$$ 를 구간 $[a,\,b]$의 분할이라 하고, $\displaystyle\|\vec{t}\|=\max_{1\leq i\leq n}{|t_{i}-t_{i-1}|}$이라 하자. $\vec{\xi}=(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})$이 $\mathbb{R}^{n}$에서의 임의의 벡터일 때 $\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}(\tau)$를 점 $t_{i}$에서 함숫값 $\xi_{i}$를 갖는 다각형 함수라 하자. 즉,

$\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}(t_{i})=\xi_{i},\,i=0,\,1,\,...,\,n\,(\xi_{0}=0)$이고 구간 $[t_{i-1},\,t_{i}]$에서는 직선이다.

정의 1.1 다음의 극한값이 존재할 때, 이 극한값을 함수 $F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$의 매개변수 $\sigma$를 갖는 위너 수열적분(sequential Wiener integral)이라고 한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{sw}\,\sigma}{F(x)dx}=\lim_{\|\vec{t}\|\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})d\vec{\xi}}}$$ 여기서 $W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})$는 다음과 같다. $$W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})=\frac{1}{\sigma^{n}\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(\xi_{i}-\xi_{i-1})^{2}}{2\sigma^{2}(t_{i}-t_{i-1})}}}$$ 앞에서의 $\sigma^{2}$를 분산매개변수(variance parameter)라고 한다. $\sigma=1$이면, 위너측도가 된다.

$p$가 양의 실수일 때, $W_{p\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi})=p^{-n}W_{\sigma}(\vec{t},\,\vec{\xi},\,p^{-1})$이다.

$\sigma^{2}$이 순허수이면, 수열적분은 파인만이 정의한 함수공간 적분과 본질적으로 같고 따라서 파인만 수열적분(sequential Feynan integral)을 다음과 같이 정의한다.

정의 1.2 $p$와 $\text{Re}\sqrt{i}$가 양의 실수일 때, 함수 $F$의 매개변수 $p$를 갖는 파인만 수열적분은 매개변수 $p\sqrt{i}$를 갖는 위너 수열적분이다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{p}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w\,p\sqrt{i}}{F(x)dx}$$ $p$가 양의 실수이면, 위너 수열적분의 정의로부터 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{p\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(px)dx}$$ 이고, 위의 두 식으로부터 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,_{p}}{F((x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{1}}{F(px)dx}$$ 다음의 정리는 위너 수열적분의 정의가 타당함을 보여준다.

정리 1.3 $F(x)$는 $C_{0}([a,\,b])$에서 보렐 가측이고, $\mathfrak{m}-a.e.$연속이라 하자. $\phi(u)>0$는 단조증가 함수이고 $\phi(\|x\|)$는 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너적분 가능하다고 하자. 모든 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $|F(x)|\leq\phi(\|x\|)$이면, $\sigma=1$일 때 $F$는 위너 수열적분 가능하고 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{1}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명: $\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n})$을 $[a,\,b]$의 분할, $\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}$를 다각형 함수라고 하자. $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $$\vec{x}_{t}=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n})),\,G_{t}(x)=\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}}$$ 라 하면 $G_{t}(x)$는 $t_{i}$에서 함숫값 $x(t_{i})$를 갖는 다각형 함수이다. $f(\vec{\xi})=F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})$라 하면 다음이 성립한다. $$(F\circ G_{t})(x)=f(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$ 위너 적분공식으로부터 다음의 식을 얻고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{(F\circ G_{t})(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})F(\psi_{\vec{t},\,\vec{\xi}})d\xi}$$ 여기서 $W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})$는 다음과 같다. $$W_{n}(\vec{t},\,\vec{\xi})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(\xi_{i}-\xi_{i-1})^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}$$ $\|\vec{t}\|\,\rightarrow\,0$일 때 $G_{t}(x)\,\rightarrow\,x$이므로, $(F\circ G_{t})(x)\,\rightarrow\,F(x)$이다. 또한 $$|(F\circ G_{t})(x)|\leq\phi(\|G_{t}(x)\|)\leq\phi(\|x\|)$$ 이므로 위의 식의 양변에 $\|t\|\,\rightarrow\,0$일 때의 극한을 취하면, 지배수렴정리로부터 원하는 결과를 얻는다.

정리 1.3 외에 위너 수열적분과 파인만 적분에 대한 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다. 함수 $F$가 적당한 조건을 만족하면,

(1) 복소수 $\sigma$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}(x)}$$ (2) (1)에서의 우변의 위너적분은 $\sigma$의 함수로서 어떤 주어진 영역 안에서 해석적이다. 따라서 (1)의 좌변의 위너 수열적분도 해석적이다. $F(\sigma x)$가 $\sigma$의 함수로서 해석적이지 않으나 위 식의 위너적분이 해석적인 경우도 있다.

(3) 슈뢰딩거 방정식의 해를 파인만 수열적분으로 나타낼 수 있다.

위 식의 위너적분이 $\sigma$의 함수로서 해석적이라는 사실은($F(\sigma x)$가 해석적이지 않아도) 위너 수열적분의 정의의 적분을 해석접속(analytic continuation)의 개념(정칙함수의 정의역을 확장함)을 사용해 정의할 수 있는 근거가 된다. 이 경우, (1)의 위너적분의 해석접속이 $\sigma$가 복소수인 경우에도 (1)의 좌변 적분(위너 수열적분)을 정의하는 데 사용될 수 있다.

해석접속을 이용해 위너적분을 정의하는 경우, 수열을 이용하지 않기 때문에 기호 $\text{sw}_{\sigma}$ 대신 $\text{an}\,w_{q}$를 사용해 나타내도 $\lambda=\sigma^{-2}$의 관계가 있다.  

정의 1.4 모든 $\lambda>0$에 대해 함수 $F$의 위너적분 $$J(\lambda)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 가 존재한다고 하자. 반평면 $\mathbb{C}_{+}=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}\lambda>0\}$에서 함수 $J^{*}(\lambda)$가 해석적이고 모든 양의 실수 $\lambda$에 대해 $J^{*}(\lambda)=J(\lambda)$이면, $J(\lambda)$의 해석접속 $J^{*}(\lambda)$를 함수 $F$의 매개변수 $\lambda$를 갖는 위너 해석적분이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$J^{*}(\lambda)=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 정의 1.5 $q\in\mathbb{R}-\{0\}$이고 함수 $F$의 위너 해석적분 $J^{*}(\lambda)$가 모든 $\lambda\,(\text{Re}\lambda>0)$에 대해 존재한다고 하자. 다음의 극한이 존재하면, 그 극한을 함수 $F$의 매개변수 $q$를 갖는 파인만 해석적분이라고 한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)dx}=\lim_{\lambda\,\rightarrow\,-iq}{\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}}$$ 카메룬은 다음과 같이 파인만 해석적분을 정의했고, $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{-iq}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 적당한 조건에서 다음의 관계를 얻었다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}\,(\lambda=\sigma^{-2})$$ 따라서 앞이 (1)에 의해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}(*)\,\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{\sigma}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ $q=p^{-2}$일 때, 다음이 성립하므로 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,f_{p}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{s}\,w_{p\sqrt{i}}}{F(x)dx}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{-iq}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 매개변수 $p$를 갖는 파인만 수열적분과 매개변수 $q$를 갖는 파인만 해석적분은 같게 된다. 따라서 카메룬의 파인만 해석적분의 정의는 타당석이 있고, 카메룬의 파인만 해석적분의 정의와 식 (*)에 의해 파인만 해석적분(정의 1.5)을 정의한 근거를 찾을 수 있다.  

측도론에서의 두 함수의 동치관계는 측도-a.e.의 개념을 사용하는데 측도-a.e.에서 같은 두 함수는 그 적분값이 같기 때문이다. 그러나 위너측도-a.e.의 개념을 사용한 동치관계는 파인만 적분에서는 적합한 동치관계가 아니다.

정의 1.4에서 모든 $\lambda>0$에 대해 위너적분 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$이 존재한다는 가정은 $F$가 $s-a.e.$(척도불변 영집합을 제외하고 성립)에서 정의되고 $F$의 척도불변 가측성을 요구하는 것이다.

예: 모든 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $G(x)=0$, $F(x)=\chi_{\Omega_{\sigma_{0}}}(x)\,(\sigma_{0}\neq1)$이라 하자. 여기서 $\Omega_{\sigma_{0}}$는 다음과 같다. $$\Omega_{\sigma_{0}}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{n}}(x)}=\sigma_{0}^{2}(b-a)\},\,S_{2^{n}}(x)=\sum_{j=1}^{2^{n}}{\{x(t{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}$$ 그러면 모든 $\lambda\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=0$이므로 모든 $\lambda\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}=0$이고, 따라서 모든 $q\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}=0$이다. 

반면에 $\Omega_{1}$에서 $F=0$이므로 $G=F\,\mathfrak{m}-a.e.$이고, $$int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=\begin{cases}1&\,(\lambda=\sigma_{0}^{-2})\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 이므로 위 식의 좌변의 적분은 $\mathbb{C}_{+}$에서 해석접속을 가지지 못한다. 따라서 $F$의 위너 해석적분과 파인만 적분은 존재하지 않는다.

* $F$가 보렐 가측함수로서 $\mathfrak{m}-a.e.$에서 $F=0$이고, 모든 $\lambda>0$와 $q\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해 적분 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$와 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$가 존재하지만 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{1}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}\neq0$인 함수 $F$도 찾을 수 있다.

앞의 예는 위너측도-a.e.의 개념이 파인만 적분에서 적절한 동치관계를 주지 못하므로 이 적분에 적절한 새로운 동치관계를 정의하는 것이 필요하다.

정의 1.6 $F$와 $G$가 위너공간에서 정의된 함수라고 하자. 위너공간에서 $F=G\,s-a.e.$일 때, $F$는 $G$와 동치관계가 있다고 하고, 기호로 $F\approx G$로 나타낸다.

다음의 정리는 $s-a.e.$의 개념을 사용한 동치관계가 파인만 적분에서 적절한 동치관계임을 보여준다.

정리 1.7 $F$와 $G$가 위너공간에서 정의된 함수이고 $F\approx G$라 하자. 모든 $\lambda\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 함수 $G$의 해석적분이 존재하면, 모든 $\lambda\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 함수 $F$의 위너적분이 존재하고 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 또한 $q\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해서 함수 $G$의 파인만 해석적분이 존재하면, 함수 $F$의 파인만 해석적분도 존재하고 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,f_{q}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명: $F\approx G$이므로 각 $\lambda>0$에 대해 $$F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)=G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)\,\mathfrak{m}-a.e.$$ 이다. 그러면 다음이 성립하고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 따라서 함수 $F$의 위너 해석적분과 파인만 해석적분은 존재하고 $G$의 적분과 같다.

위너 해석적분이 존재하면, 그 적분 $J^{*}(\lambda)$는 $\mathbb{C}_{+}$에서 해석함수이고 파인만 해석적분이 존재하면, 그 적분은 이 해석함수의 경계값이다. 다음의 정리는 임의의 해석함수와 그 경계값들이 위너 해석적분과 파인만 해석적분으로 나타낼 수 있음을 보여준다.

정리 1.8 $g$를 $\mathbb{C}_{+}$에서 임의의 해석함수라 하자. 그러면 $C_{0}([a,\,b])$에서 척도불변 가측함수 $F$가 존재해서 모든 $\lambda\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}^{\text{an}\,w_{\lambda}}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=g(\lambda)$$ 증명: $\lambda>0$에 대해 $$F(x)=\begin{cases}g(\lambda)&\,(x\in\Omega_{\lambda^{-\frac{1}{2}}})\\0&\,\left(x\in C_{0}([a,\,b])-\bigcup_{\sigma>0}{\Omega_{\sigma}}\right)\end{cases}$$ 라 하면 $F$는 척도불변 가측함수이다. 또한 $\lambda^{-\frac{1}{2}}\Omega_{1}=\Omega_{\lambda^{-\frac{1}{2}}}$이므로 모든 $\lambda>0$에 대해 $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F((\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\Omega_{1}}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\Omega_{1}}{g(\lambda)d\mathfrak{m}(x)}\\&=g(\lambda)\end{align*}$$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

위와 같은 방법으로 다음의 정리도 증명할 수 있다.

정리 1.9 $f$를 $(0,\,\infty)$에서 정의된 임의의 함수라고 하자. 그러면 $C_{0}([a,\,b])$에서 척도불변 가측함수 $F$가 존재해서 모든 $\lambda>0$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명: 생략

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

파인만 적분론, 장건수, 민음사