1-1 파인만 적분(1)

1-1 파인만 적분(1)

비상대성 한 양자입자가 짜임새 공간(configuration space) \(\mathbb{R}\)에서 움직인다고 하자. 시간 \(t\)에서의 이 양자입자의 상태는 확률진폭(probability amplitude)으로 주어지는 복소함수 \(\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R})\)로 주어지고 다음의 식을 만족한다.$$\|\psi(t,\,\cdot)\|_{2}^{2}=\int_{\mathbb{R}}{|\psi(t,\,\xi)|^{2}d\xi}=1$$\(A\subset\mathbb{R}\)에 대해 시간 \(t\)에서 입자가 \(A\)에 있을 확률은 다음과 같다.$$\int_{A}{|\psi(t,\,\xi)|^{2}d\xi}$$양자역학의 구조는 고전적 뉴턴역학과 다르다. 시간이 \(t\)일 때 \(\mathbb{R}\)에서 운동하고 있는 고전적 입자의 상태는 그 시간에서의 위치와 속도로 나타내어지지만 시간이 \(t\)일 때 양자역학적 상태는 힐베르트공간 \(L^{2}(\mathbb{R})\)의 단위 구\(\displaystyle\left(\int_{\mathbb{R}}{|\psi(t,\,\xi)|^{2}d\xi}=1\right)\) 상의 원소로 주어진다. 게다가 양자상태는 입자의 위치에 대한 확률적 정보를 제공하고 반면에 고전역학은 그 입자의 위치에 대한 정보를 제공한다.

양자역학에서 주된 문제는 에너지 함수("퍼텐셜"이라고 부름)\(V:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)와 입자의 초기위치 \(\phi(\xi)=\psi(0,\,\xi)\)에 대한 문제의 힘으로부터 시간에서의 상태의 변화를 찾는 것이다. 즉, 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\psi(t,\,\xi)\)를 찾는 것이다. 이 함수 \(\psi(t,\,\xi)\)는 다음의 슈뢰딩거 방정식을 만족해야 한다.$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hslash}\left\{-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\xi^{2}}+V(\xi)\psi\right\},\,\psi(0,\,\xi)=\phi(\xi)$$여기서 \(m\)은 입자의 질량이고 \(\hslash\)는 플랑크상수 \(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 값이다. 즉 \(\displaystyle\hslash=\frac{h}{2\pi}\). 

해밀토니안(Hamiltonian) 또는 에너지 연산자(energy operator) \(H\)는 다음과 같이 주어지고$$H=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial\xi^{2}}+V$$여기서 \(V\)는 퍼텐셜에너지 함수 \(V\)에 의한 곱 연산자이다. 즉 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R})\)에 대해 \((V\varphi)(\xi)=V(\xi)\varphi(\xi)\) 그러면 위의 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hslash}H\psi,\,\psi(0,\,\cdot)=\phi(\cdot)$$이 방정식의 해는 다음과 같다.$$\psi(t,\,\cdot)=\left(e^{-\frac{i}{\hslash}tH}\phi\right)(\cdot),\,t\in\mathbb{R}$$파인만(Feynman)은 진폭 \(\psi(t,\,\xi)\)보다 전이진폭(transition amplitudes) \(\psi(0,\,t;u,\,\xi)\)를 사용했다. 복소수 \(\psi(0,\,t;u,\,\xi)\)는 시간 \(t=0\)에서의 위치 \(u\)에서 시작한 진폭을 나타낸다. 전이진폭 \(\psi\)와 초기상태 \(\phi\)를 이용해 확률진폭(probability amplitude)에 대한 공식을 다음과 같이 얻을 수 있다.$$\psi(t,\,\xi)=\int_{\mathbb{R}}{\psi(0,\,t;u,\,\xi)\phi(u)du}$$시간 \(t\)일 때 \(\xi\)에서 시작된 진폭은 시간 \(0\)에서 시간 \(t\)동안 진폭의 천이가 시간 \(0\)에서 \(u\)까지의 진폭들의 합(정확히는 적분)이다. 

만약 \(0\)부터 \(t\)까지의 시간구간 위에서 위치를 측정할 수 없다면(파동함수의 붕괴가 없다면), 전이진폭을 다음과 같이 나타낸다.$$\psi(0,\,t;u,\,\xi)=\int_{\mathbb{R}}{\psi(0,\,s;u,\,v)\psi(s,\,t;v,\,\xi)dv}\,0<s<t$$확률들은 확률밀도함수 \(|\psi(t,\,\cdot)|^{2}\)를 이용해 계산된다. \(0\)부터 \(t\)까지의 시간구간 위에서 위치를 측정할 수 없다면, 다음의 공식은 거짓이다.$$|\psi(0,\,t;u,\,\xi)|^{2}=\int_{\mathbb{R}}{|\psi(0,\,s;u,\,v)|^{2}|\psi(s,\,t;v,\,\xi)|^{2}dv},\,0<s<t$$그러나 시간 \(s(0<s<t)\)에서 측정할 수 있다면 위의 식은 참이고, \(\psi(0,\,t;u,\,\xi)\)에 대한 적분공식은 거짓이다. 이것은 하이젠베르크의 불확정성 원리(Heisenberg uncertainty principle)이다. 운동량은 질량과 속도의 곱이라는 점을 상기하자. 하이젠베르크 불확정성 원리는 위치 측정에 대한 표준편차(불확정성) \(\Delta x\)와 운동량 측정에 대한 표준편차(불확정성) \(\Delta p\)의 곱이 \(\displaystyle\frac{\hslash}{2}\)보다 크거나 같다는 것이다. 즉$$\Delta x\Delta p\geq\frac{\hslash}{2}$$앞에서 언급했던 해밀토니안 \(H\)를 라플라시안 \(\Delta\)를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$H=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\Delta+V$$여기서 퍼텐셜 \(V\)는 3변수 함수이고, 각 \(t\)에 대한 상태 \(\psi(\cdot,\,t)\)는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{3})\)상의 단위구에 있다.

만약 \(\mathbb{R}^{3}\)에서 운동하는 \(N\)개의 입자들의 계에 대해 다룬다면, 짜임새 공간은 \(\mathbb{R}^{3N}\)이고, 해밀토니안은 다음과 같다.$$H=-\sum_{j=1}^{N}{\frac{\hslash^{2}}{2m_{j}}\Delta_{j}}+V$$여기서 \(m_{j}\)는 \(j\)번째 질량이고, \(\displaystyle\Delta_{j}=\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{3j-2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{3j-1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial\xi_{3j}^{2}}\), \(V\)는 \(\mathbb{R}^{3N}\)상의 함수, \(\psi(\cdot,\,t)\)는 양자계에서 시간 \(t\)에서의 상태로 \(L^{2}(\mathbb{R}^{3N})\)상의 단위구의 원소이다.   

파인만은 1948년에 자신의 논문 "비상대성 양자역학에 대한 시공간 접근(Space time approach to non-relativistic quantum mechanics)"에서 함수공간에서의 한 적분의 존재성을 가정하고 이 적분의 양자역학의 슈뢰딩거 방정식의 초기값 문제를 해결하는데 사용될 수 있음을 보였다. 이 적분을 파인만 적분(Feynman integral)이라고 한다. 

파인만 적분의 정의는 수학적으로 엄밀하지 않고 파인만이 사용한 수학용어도 정확한 것이 아니었다(파인만은 과거에 자신만의 수학 기호를 사용했었다). 지금까지 파인만 적분에 대한 많은 성질들이 발견되었으나 여전히 이 적분을 수학적으로 엄밀하게 다룰 수 없다. 르베그 적분이론은 극한의 순서를 바꿀 수 있는 강력한 수렴정리들을 포함하는 절대수렴 이론인 반면 파인만 적분에서는 일반적으로 극한의 순서를 바꿀 수 없다. 

일반적인 측도론이나 적분론에서는 거의 모든 점(almost everywhere, a.e.)의 개념이 이론전개의 중요한 개념이나 파인만 적분에서는 이 개념만으로는 충분하지 않다. 즉, 일반 적분에서 거의 모든 점(a.e.)에서 같은 두 함수의 적분은 같고, 따라서 이 두 함수는 같은 함수(동치류)로 취급하지만 파인만 적분의 경우, 위너측도-a.e.에서 같은 두 함수의 파인만 적분이 같지 않을 수 있다. 

또한 파인만 적분을 정의하는 방법도 여러가지가 있고, 파인만 적분을 연구하는 학자들 사이의 의사소통도 어려운데 그 이유는 이론물리학, 수리물리학, 확률론, 작용소론, 편미분방정식, 함수해석학 등 수학적 배경이 다른 여러 분야에서 이 적분에 접근하기 때문이고 서로 다른 기호를 사용하기 때문에 이 적분을 이해하기가 어렵다. 

1976년 알베브리오(Albeverio)와 휴크론(Hoegh-Krohn)의 논문 "파인만 경로적분의 수학적 이론(Mathematical theory of Feynman path integral)"이 발표된 이후 파인만 적분에 대한 대부분의 연구는 퍼텐셜과 초기 확률진폭에 대한 변환가정(transform assumphion)에 대한 것이다. 

파인만 적분을 수학적으로 정립하는 접근방법 중 가장 잘 알려진 것은 넬슨(Nelson)의 트롯터 곱공식(Trotter product formula)이고, 다른 하나의 접근방법은 칵(Kac)의 해석접속(analytic continuation)에 의한 방법이다. 다음은 해석접속에 의한 접근방법이다. 

구간 \([0,\,t]\)에서 정의된 연속함수들의 집합을 \(C([0,\,t])\)라 하고,$$C=C(0,\,t;u,\,v)=\left\{x\in C([0,\,t])\,|\,x(0)=u,\,x(t)=v\right\}$$전이진폭 \(\psi(0,\,t;u,\,v)\)를 다음과 같이 나타낸다.$$\psi(0,\,t;u,\,v)=\frac{1}{A}\int_{C}{e^{\frac{i}{\hslash}}S(x)\mathcal{D}(x)}$$로 나타낸다. 여기서 \(\hslash\)는 플랑크 상수 \(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 수이고, \(\mathcal{D}\)는 모든 경로를 균등하게 다루는 측도, \(A\)는 적당한 정규화 상수이다. \(S(x)\)는 다음과 같이 주어지는 경로 \(x\)에 관계되는 고전작용(classical action)이다.$$S(x)=\int_{0}^{t}{\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{ds}\right)^{2}-V(x(s))\right\}ds}$$여기서 \(m\)은 질량, \(V\)는 퍼텐셜에너지(위치에너지)이다. 

전이진폭에 대한 식에는 다음의 수학적인 문제점이 있다.

(a) 모든 점을 균등하게 취급하는 가산가법적인 측도는 \(C\)에서 존재하지 않는다.

(b) 파인만은 \(A\)에 특정한 값을 부여하지 않았다. 

(c) \(C\)의 원소인 대부분의 \(x\)들은 미분불가능하므로 \(S(x)\)는 \(C\)에서 거의 정의되지 않는다.

(d) 가산가법적인 측도 \(\mathcal{D}\)가 \(C\)위에 존재한다고 해도, \(C\)는 컴팩트가 아니므로 그 측도는 무한측도이고, 전이진폭의 적분은 적분가능하지 않다.  

파인만은 이러한 문제점을 알고 있었고, 전이진폭식을 유한차원 적분들의 극한으로 대체해서 이 문제를 해결하려고 시도했다.

구간 \([0,\,t]\)를 길이가 \(\displaystyle\frac{t}{n}\)인 \(n\)개의 소구간으로 나누고, 점 \(\displaystyle t_{j}=j\frac{t}{n}\,(j=1,\,...,\,n-1)\)에서만 꼭짓점을 갖고, \(x(0)=u\) , \(x(t)=v\)를 만족하는 다각형함수 \(x\)를 생각하자. \(\displaystyle x_{j}=x\left(j\frac{t}{n}\right)\)으로 놓으면 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}S(x)&=\int_{0}^{t}{\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{ds}\right)^{2}+V(x(s))\right\}ds}\\&=\sum_{j=1}^{n}{\int_{t_{j-1}}^{t_{j}}{\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{x_{j}-x_{j-1}}{tn}\right)^{2}-V(x(s))\right\}ds}}\\&=\sum_{j=1}^{n}{\left\{\frac{m}{2\frac{t}{n}}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\int_{t_{j-1}}^{t_{j}}{V(x(s))ds}\right\}}\\&\approx\sum_{j=1}^{n}{\left\{\frac{m}{2\frac{t}{n}}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\frac{t}{n}V(x_{j-1})\right\}}\end{align*}$$위 식의 마지막은 근사식이다. 파인만은 이 근사식을 이용해 전이진폭 \(\psi(0,\,t;u,\,v)\)를 다음과 같이 정의했다.$$\psi(0,\,t;u,\,v)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)}$$여기서 \(\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)\)는 다음과 같다.$$\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)=\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n-1}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\sum_{j=1}^{n}{\left\{\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\frac{t}{n}V(x_{j})\right\}}\right)dx_{1}\cdots dx_{n-1}}$$이제 문제점은 어느 정도 해결되었으나 \(\psi(0,\,t;u,\,v)\)와 \(\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)\)에 대한 식에는 아직도 다음의 문제점이 남아있다.

(a) \(V\)가 실함수이면, \(\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)\)의 피적분함수의 절댓값은 1이고, 그 적분은 절대수렴하는 르베그적분으로서 존재하지 않는다.

(b) 위의 문제점이 해결된다 해도 \(\psi(0,\,t;u,\,v)\)의 극한이 어떤 경우에, 그리고 어떤 의미로 존재하는지 불분명하다. 

확률진폭(probability amplitude) \(\psi(t,\,v)\)는 초기 확률진폭 \(\phi(u)\)와 전이 확률진폭 \(\psi(0,\,t;u,\,v)\)에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\psi(t,\,v)=\int_{\mathbb{R}}{\psi(0,\,t;u,\,v)\phi(u)du}$$이 공식으로부터 \(\psi(t,\,v)\)의 근사함수 \(\psi_{n}(t,\,v)\)를 \(\psi_{n}(0,\,t;u,\,v)\)에 대한 공식을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\psi_{n}(t,\,v)=\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R^{n}}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\sum_{j=1}^{n}{\left\{\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\frac{t}{n}V(x_{j})\right\}}\right)\phi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-1}}$$여기서 \(x_{n}=v\)이고, \(\psi(t,\,v)\)는 다음과 같이 극한으로 정의된다.$$\psi(t,\,v)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\psi_{n}(t,\,v)}$$\(\psi_{n}(t,\,v)\)의 피적분함수가 르베그적분 가능하지 않기 때문에 발생하는 문제점은 평균적분(integral in the mean)의 개념을 사용해 대부분의 경우 해결할 수 있다.  

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

파인만 적분론, 장건수, 민음사