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혜강 최한기의 수학 공부 장려글

skywalker222 — Sun, 14 Jan 2024 20:08:41 +0900

혜강 최한기의 수학 공부 장려글

다음 글은 조선 후기의 실학자인 혜강 최한기가 수학의 장점을 주장한 글이다.

출처: https://www.usjournal.kr/news/newsview.php?ncode=1065570678031995&fbclid=IwAR1KtuhYoF3A2m6mQOOp89Abs8n95G0VKm-95jj0XoH3AIbdHlcA9XqkmMk

수학 공부

백태명의 고전 성독

www.usjournal.kr

數學之效(수학지효)는 : 수학의 효과는
不獨在於計數而驗其合不合(불독재어계수이험기합불합)이요 : 다만 수를 계산하여 그것이 맞는가 맞지 않는가 확인하는 데 있지 않고,
其實在於測量而裁制過不及(기실재어측량이재제과불급)이라 : 그 실상은 생각의 헤아림이 지나친가 미치지 못하는가 맞추는 데 있다.
人之平生功夫(인지평생공부)에 : 사람이 평생을 두고 공부를 하는데
養得分開條理(양득분개조리)하고 : 체계적인 논리력을 기르고
慣熟計較量度(관숙계교량탁)할때 : 계산, 비교, 짐작, 헤아림의 능력을 익히는 데
莫過於此(막과어차)라 : 이 수학보다 더 나은 것이 없다.
他書之各有見解(타서지각유견해)는 : 다른 과목에서 말하는 각각의 견해는
不可立卞優劣(불가립변우열)이나 : 어느 것이 나은 지 우열의 판단을 내릴 수 없으나
此學之微有差誤(차학지미유차오)라도 : 이 수학은 조금이라도 착오가 있으면
可以頃刻綻露(가이경각탄로)라 : 금방 과오가 드러난다.
若於此有見得之實效(약어차유견득지실효)하면 : 만약에 수학에 알맹이 있는 공부 효과를 얻으면

非但有益於經史講論(비단유익어경사강론)이요 : 경전과 역사를 공부하고 의론할 때 유익할 뿐만 아니라
凡於事物裁度取捨有準(범어사물재도취사유준)이요 : 모든 사물을 헤아리고 취사선택하는 데 기준이 서고
對人多發明白之言論(대인다발명백지언론)하여 : 다른 사람을 대할 때마다 명백하게 말하고 토론하여
平生爲有方向之丈夫(평생위유방향지장부)라 : 평생에 삶의 방향과 지조가 뚜렷한 대장부가 되리라.
蓋此學尙未大明于世(개차학상미대명우세)하여 : 대체로 수학이 아직 세상에 크게 밝혀지지 않아
蒸民之知覺(증민지지각)이 : 백성들의 수학에 대한 지각이
未得啓蒙(미득계몽)하여 : 활짝 열리지 않아
聞善言而不知者(문선언이부지자)는 : 좋은 말을 듣고도 그것을 알아차리지 못하는 것은
未嘗不由於此(미상불유어차)라 : 이 수학에 밝지 못하기 때문에 그렇지 않은 경우가 없다.
苟得人人講習(구득인인강습)하여 : 진실로 사람마다 수학을 익히고 연습하여
以廣其分開條理(이광기분개조리)하고 : 말의 조리를 나누고 여는 논리력을 확대하고
以養其裁度事勢(이양기재도사세)하면 : 일의 형세를 헤아리고 결정하는 힘을 기르면
善惡虛實辨別最易(선악허실변별최이)하고 : 선악과 허실을 판별하는 능력을 쉽게 갖추고
運化交接踐履趍正(운화교접천리추정)하고 : 천지만물과 인간만사를 이해하고 실천하는 바른 길을 가고
爭鬨之端庶幾浸息(쟁홍지단서기침식)하고 : 분쟁의 실마리가 거의 사라지고
渾濁之俗可以淸明(혼탁지속가이청명)이라 : 혼탁한 세상 풍속이 맑고 밝게 정화될 것이다.
<인정> 제8권 / 교인문 1(敎人門一), 수학(數學), 최한기

대한민국의 저출산 주범은 베이비붐

skywalker222 — Mon, 20 Nov 2023 22:34:31 +0900

대한민국의 저출산 주범은 베이비붐

일반적으로 한 국가의 인구가 곧 국력이라는 말이 있다. 그러나 지나치게 많으면 국익에 해가 된다. 그 대표적인 나라가 바로 현재(2023년)의 대한민국과 이집트이다.

왜 저출산의 원인이 베이비붐인가? 차근차근 설명하겠다.

우선 아기가 많이 태어난다면 그만큼 일꾼, 그리고 군복무할 인력이 많아지는 것은 사실이다. 그러나 일자리는 한정되어있고, 우리나라의 대다수의 중소기업들은 블랙 기업들이었다.

만약 냉전 기간 안에 인구감소가 일어났다면 대다수의 중소기업들은 노동자들의 불만을 해결하는 방향을 선택했을 것이다. 그러나 불행히도 많은 인구는 인간 가치를 하락시켰고, 중소기업들로 하여금 "너 말고도 일할 사람 많아"라는 답만을 가져왔다.

만약 저출산 현상이 냉전 기간(소련이 붕괴되기 전)에 일어났다면 우리나라 기업들은 사람 귀한 줄 알고 노동 환경을 개선하는 방향을 선택했을 것이고, 공무원, 화이트칼라 직종의 직업을 선택하겠다고 대학을 입학하기 위해 과열 경쟁을 할 필요가 없게 되었을 것이다. 그러나 우리나라의 인구는 공산주의가 붕괴한 뒤로도 인구가 많았고, 그 상태에서 (앞서 말했듯이) 공무원, 화이트칼라 직종을 위한 대입경쟁이 치열해졌고, 중소기업들은 외국인 노동자들로 일자리 문제를 해결했다.

이게 지속되다 보니 대입을 위해 대다수의 중학교 3학년들이 인문계고 진학을 했고, 특별히 특성화고(실업계고) 진학을 원하는 사람도 부모 때문에 인문계고 진학을 하게 되었다.

그렇게 경쟁이 치열해졌고, 참여정부(노무현 정부) 시기인 2004년에 '저출산고령사회위원회'가 출범했다. 저출산고령사회위원회는 2004년부터 현재까지 존속되었고, 문재인 정부 시기인 2018년부터 출산율이 0점대로 하락했으나 해결책을 제시하지 못했다.

출산율 관련 기사의 댓글을 보면 "나는 이 지옥같은 경쟁사회를 물려주지 않겠다", "이 지옥같은 경쟁사회는 나의 대에서 끝내겠다", "저출산은 기득권들에 대한 최후의 저항이다" 같은 글들이 있다.

그렇다. 경쟁이 치열해지면서 중고등학생의 경우 학부모들에게 채찍질을 당해야 했기 때문에 이런 글을 쓰는 지경에 이르렀다.

현재 정부에서는 출산율을 높이려고 하는데 현재 있는 사람들도 건사하지 못하는 마당에 출산율을 높이려는 것은 순서가 잘못되었다. 그러므로 출산율을 높일 생각은 접고, 인간 가치가 높아질 때 까지 인구가 줄어야 하는 것이 맞다.

요약하자면 베이비붐은 인간을 과잉공급하여 인간의 가치를 떨어뜨려 기업의 환경이 개선되지 않게 해서 공무원, 화이트칼라 직장에 들어가기 위한 대입 경쟁을 과열시켰고, 출산율 하락이라는 결과를 가져왔다.

곽가의 유언과 표창원 의원의 포르노 합법화 발언

skywalker222 — Thu, 19 Oct 2023 20:34:21 +0900

곽가의 유언과 표창원 의원의 포르노 합법화 발언

삼국지에서 조조의 참모였던 곽가는 원소와의 전쟁 도중 오환 땅에서 풍토병을 얻어 요절하는데 죽기 전, 조조에게 유언을 남겼고, 당시 조조는 원희, 원상 형제가 요동 태수 공손강에게 도망갔다고 해서 추격하려 했으나 곽가의 병을 이유로 돌아왔고, 곽가의 집에 도착했을 때 곽가는 이미 죽어 유언을 남긴 상태였다.

어떤 유언이냐 하면 "원희, 원상 형제를 추격하면 공손강은 그 둘과 함께 저항하려 할 것이나, 추격하지 않는다면 공손강은 그 둘의 목을 베어 승상(조조)에게 바칠 것이다"라는 유언이었다.

조조는 곽가의 유언을 보고 추격을 하지 않고 기다렸고, 그 결과 공손강은 원상, 원희 형제의 목을 베어 그 목을 조조에게 보냈고, 조조는 공손강에게 좌장군 직을 수여했다.

2016년의 우리나라로 와서 2016년 총선 전 표창원 의원(당시 민주당 의원 후보)이 '포르노를 합법화하자'라고 주장하자 새누리당 중앙여성위원회에서 표창원 의원을 규탄했다. 그러자 표창원 의원은 자신의 주장을 철회했고, 그 결과 2016년 총선에서 새누리당은 과반석을 차지하지 못했다.

표창원 의원의 '포르노 합법화 발언'을 두고 새누리당이 가만히 있었다면 표창원 의원은 새누리당이 아닌 민주당 내의 남페미 의원, 여성단체들의 비난을 받았을 것이고, '자유대한민국'을 추구하는 새누리당에 어느 정도 이득이 되었을 것이다.

그러나 새누리당이 이 일에 나서는 바람에 (내 생각인데) 새누리당은 모순덩어리로 낙인 찍혔고, 민주당이 '포르노 합법화'를 지지하겠다 라는 기대를 주게 되어 민주당에 유리한 결과가 나왔다. 이 일을 삼국지에 빗대자면 조조가 곽가의 유언을 무시하고 원희, 원상 형제를 쫒다가 공손강의 협공을 당하게 된 것과 같다.

이 글을 쓰게 된 이유는 갑자기 삼국지의 한 부분인 공손강과 원희, 원상 형제의 이야기와 표창원 (전)의원의 포르노 합법화가 떠올라서 이 글을 쓰게 되었다.

Gravity-종호(Ateez)[재벌집 막내아들 OST]

skywalker222 — Mon, 16 Oct 2023 23:48:04 +0900

Gravity-종호(Ateez)[재벌집 막내아들 OST]

https://www.youtube.com/watch?v=8DPx9mp5IoY

가사:

Remember who you are
여긴 나의 Battle field 숨을 곳도 없는 길
피하려 해봐도 드러나는 모든게 unreal things
말하지마 어느 곳이 길인지
언젠가는 널 찾게 될거야
어서 다 깨어나 운명을 데려와
Boy can't you see deny your gravity
나는 날아가 굴레를 벗어나
Boy can't you see deny your gravity
Remember who you are
떠오르는 기억이 다시 너를 찾지만
아무리 애써도 보여지는 모든게 unreal things
떠나지마 모든 것이 변해도
언젠가는 내곁에 올꺼야
어서 다 깨어나 운명을 데려와
Boy can't you see deny your gravity
나는 날아가 굴레를 벗어나
Boy can't you see deny your gravity
숨막힐 어둠도 막지 못해
혼자선 한 걸음도 걷지 못해
내 곁에 니가 있어 난 이겨내
비로소 운명도 넘어설 수 있게
이제는 나에게 말해줘 두려움 따윈 없으니까
너와 다른 길을 걷고 있는 것 같아
아무리 내 길을 막아도 아무도 겁나지 않는걸
지금 내겐 네가 필요해
어서 다 깨어나 운명을 데려와
Boy can't you see deny your gravity
나는 날아가 굴레를 벗어나
Boy can't you see deny your gravity

740을 위한 행진곡(원곡: 임을 위한 행진곡)

skywalker222 — Tue, 10 Oct 2023 20:30:16 +0900

740을 위한 행진곡(원곡: 임을 위한 행진곡)

유튜브 알고리즘으로부터 740을 위한 행진곡을 알게 되었다. 이 노래는 '임을 위한 행진곡'을 BMW 740에 대한 가사로 개사해 부른 노래다.

https://www.youtube.com/watch?v=VhaPts9zLQY

가사:

키로수도 연식도 연비도 상관없이

한 평생 달리자던 뜨거운 맹세

냉각수는 떨어졌고, 경고등만 번쩍여

렉카가 올 때 까지 조금만 버티자

디테일링을 해도 세월은 안다

터져나와 멈추는 뜨거운 엔진

앞서서 폐차하니 박스터여 따르라

앞서서 폐차하니 아반떼여 따르라

언론에서 초등학교 교사들 힘들다고 징징대지만 실제로는 그렇지 않다

skywalker222 — Wed, 26 Jul 2023 07:02:26 +0900

이 글은 네이버 카페 '안티페미카페'에 있는 펌글로 '여교사들의 교권이 무너져야 하는 이유'라는 제목의 글(디시 펌글)에서 가져온 것이다.

https://cafe.naver.com/manpowers/107813

여교사들의 교권이 무너져야 하는 이유

자기 할일도 제대로 안하는 여교사들이 누굴 가르치겠다는건지 ㅋ

cafe.naver.com

https://gall.dcinside.com/board/view/?id=neostock&no=4200815

다음은 그 내용이다.

1. 5시퇴근에서 유연근무제로 4시반 퇴근으로 바뀜

2. 조퇴낼때 사유없이 조퇴가능 + 상급자에게 구두보고 없음 ㅋㅋㅋ 이런분위기 만든게 전교조의 공 ㅋㅋ 덕분에 금요일 2 3시이후에 학교에서 교새 얼굴보기 힘듬

3. 육아휴직 뿐만 아니라 육아시간까지 따로 있어서 애있는 교새면 일년내내 무한 조퇴 가능

4. 자기들이 수업해야하는 체육수업들도 수업권 없는 스포츠강사에게 다 토스함 ㅋㅋㅋ 교새는 자기 교실에 박혀서 안나옴

5. 교장이 업무지시를 해도 말투만 기분나빠도 갑질신고 한다고 지랄함 ㅋㅋㅋ 지들이 애들 학부모한테 당하는거 지들도 똑같이 함

6. 초임 4천 가까운 연봉 ㅋㅋ 7 8년차만 되도 연봉 5천 넘어감

7. 자기들이 응당 해야하는 부진아 지도 하고도 기초학력반 만들어서 시간당 3만원 넘는 수당 가져감

8. 자기들 학교 근무시간중 출장 등으로 빈 교실 보결 들어가도 보결수당 받음

9. 수요일에 문화체험의날 같은거 만들어서 출장내고 놀러나감

10. 업무 많다고 징징대지만 실상은 교육계획 평가 다 스쿨마스터 돌림 ㅋㅋㅋ 그외 업무도 인디스쿨에서 다운받아와서 해결

11. 근무공간이 다른사람없고 학생들과 자기만 있는 교실이라 거기서 뭔짓해도 모름 ㅋㅋ

12. 코로나 시국 원격수업때 과제제시형으로 다운받은 문제지 몇장 인터넷에 올려놓고 하루종일 놈

13. 간단한 공문처리 및 지출품의는 교무행정사가 해줌

14. 아동학대가 무섭다지만 50만이 넘는 교사들 중 실제로 아동학대 유죄판결 받은 교사는 얼마 되지도 않음 ㅋㅋ 실제 아동학대 고소당해도 경찰 검찰이 진짜 심각한 사안만 기소하지 지들이 말하는 일상적인 상황은 그냥 넘어감

15. 학부모 민원이 무섭다지만 국가에서 세금으로 퇴근이후 연락 못받게 안심번호까지 운영해줌 ㅋㅋ

16. 원래 방학때는 한명씩 돌아가면서 당직이라도 섰는데 요즘은 그것도 안하고 풀로 놈

17. 애들 돌보기 힘들다고 상담교사 배치해줬더니 이제 그사람들 일없다고 욕함 ㅋㅋ 이제는 생활지도전문 교사 배치해주라고 함

18. 지들이 애들 돌보지도 않을거면서 늘봄학교 들어온다고 나라 욕함 ㅋㅋㅋ 이유는 돌봄선생이 정교사 취급 받는게 싫어서

19. 여초답게 회식은 매우 적으며 카페회식같은것도 많이 함 ㅋㅋ 학교 친목회도 그런거 필요없다고 없애는데 많음 ㅋㅋ

20. 그 외 각종 학교 잡역들은 행정실에서 해주거나 용역맡김

21. 중간 기말고사도 안봐서 애들 학력 쌩까고 지들 편한대로 수업 가능

이상 교캉스 즐기는 현직 초등남교새의 내부고발임 ㅋㅋ 방학인데 애들 운동부 지도땜시 출근중이다 ㅎㅎ

이 글은 현직 초등학교 남교사가 작성한 글이고 이 글 대로라면 그동안 초등학교 교사들의 고충 토로는 침소봉대이니 신경 쓸 필요가 없다는 것이다.

수학사 46-과도기(2)

skywalker222 — Wed, 28 Jun 2023 20:00:27 +0900

수학사 46-과도기(2)

10. 월리스
스호텐은 1660년에 죽었고, 그 해에 영국에는 왕립협회가 설립되었고(칙령은 1662년에 정식으로 내려졌다), 세계 수학의 중심에 새로운 변화가 생기기도 했다
영국 국교회와 목사 오트레드는 수학을 무료로 가르쳤고, 그 제자 월리스도 성직자의 길을 걸었으나 대부분을 수학자로서 시간을 보냈다. 그(월리스)는 케임브리지에서 교육받고 1649년에 옥스퍼드 기하학의 새벌 교수직에 임명되었다. 크롬웰 정권 때는 암호해독을 했고, 찰스 2세의 복위 후에 국왕의 사제가 되었고, 왕립협회의 창립위원으로서 성립에도 이바지했다. 1655년에는 중요한 책 두 권 (해석기하학, 무한소 해석에 관한 책)을 출판했다.

11. 월리스의 원뿔곡선
월리스의 원뿔곡선이 영국 해석기하학에 한 일은 비트의 곡선의 원리가 유럽대륙의 해석기하학에서 한 일이나 마찬가지였다. 월리스는 비트의 연구가 자신의 '원뿔곡선'을 모방했다고 불만을 가졌으나 실제로 비트의 논문은 1655년 이전에 쓰였다. 월리스는 기하학 개념을 수치 개념으로 완전히 대체했고, 월리스의 연구는 수학사에서 종종 보듯이 논리적 엄밀함은 무시하는 것이 진보에 효과적인 경우가 있다는 좋은 본보기이다. 월리스의 원뿔곡선은 원뿔의 절단면이 곡선을 만든다는 형식적인 언급으로 시작했으나 평면좌표를 사용하여 원뿔곡선의 잘 알려진 모든 성질로부터 세 개의 표준형 $\displaystyle e^{2}=ld-\frac{ld^{2}}{t}$, $p^{2}=ld$, $\displaystyle h^{2}=ld+\frac{ld^{2}}{t}$을 이끌어냈다. 여기서 $e,\,p,\,h$는 각 원점에 위치하는 꼭짓점에서 측정한 가로좌표 $d$에 대응하는 타원, 포물선, 쌍곡선의 좌표이다. 또 $l$과 $t$는 각각 동경과 지름/축이다.
이후 그는 이 방정식을 원뿔곡선의 독립적인 정의로 사용했는데 이것으로 원뿔곡선은 원뿔을 이용한 정의에서 벗어났다. 이 점에서 월리스의 정의는 현대적 정의에 더 가깝고, 오늘날 원뿔곡선을 평면좌표계에서 그 좌표값이 두 변수 이차방정식을 만족하는 점의 자취로 정의한다.

11. 월리스의 '무한 산술'
월리스의 '원뿔곡선'은 비트의 저작으로 대체 가능하나 1655년에 출발된 '무관산술'은 대체 가능하지 않았다. 윌리스는 여기서 아폴로니우스의 '원뿔곡선'을 산술화했듯이 카발리에리의 '불가분량의 기하학'을 산술화했다.
카발리에리는 평행사변형을 대각선으로 나누어 생기는 두 개의 삼각형 가운데 하나와 평행사변형의 기하학적
불가분량을 각각 비교하여 결과 식 $\displaystyle\int_{0}^{a}{x^{m}dx}=\frac{a^{m+1}}{m+1}$을 얻었다.
월리스는 그런 도형에서 무한히 많은 불가분량과 주치를 연결해 기하학적 배경을 버렸다. 보기를 들면 삼각형의 불가분량의 제공과 평행사변형의 불가분량의 제곱을 비교할 때, 삼각형에 $n$개의 불가분량이 있다면 첫번째 것의 길이를 0, 두 번째 것을 1, 세번째 것은 2로, 마지막 것을 $n-1$로 한다.
따라서 삼각형과 평행사변형에서 불가분량의 제곱의 비는 불가분량이 $n+1$개라면 다음과 같다.$$\frac{0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}+n^{2}}{n^{2}+n^{2}+n^{2}+\cdots+n^{2}+n^{2}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}$$ $n$이 한없이 커지면 그 비는 $\displaystyle\frac{1}{3}$이고 이것은 $\displaystyle\int_{0}^{1}{x^{2}dx}=\frac{1}{3}$에 해당한다. 윌리스는 이 방법을 더 놓은 차수로 확장했고, 불완전귀납법(특수 사실로부터 일반적 원리를 추리해내는 것)을 이용해 모든 정수 $m$에 대해 식 $\displaystyle\int_{0}^{1}{x^{m}dx}=\frac{1}{m+1}$이 성립한다는 결론을 얻었다.
당연하지만 페르마는 월리스의 이런 귀납에 의한 일반화를 비판했다. 게다가 월리스는 더욱 문제가 있는 보간법을 유도하고 사용해 그의 공식은 $m$이 분수인 경우와 음수($m=-1$은 제외)인 경우에도 성립한다고 생각했고, 대담하게도 $m$이 무리수인 경우에도 성립한다고 생각했다. 이것은 오늘날 '고차 초월함수'라는 것에 관한 최초의 미적분적 언급이다. 프랑스 수학자들이 지적한대로 월리스의 발견에는 대단했지만 엄밀함은 형편없었다.
월리스는 맹목적 애국주의자로 1685년에 '대수론, 그 역사의 응용'을 출판했을 때 데카르트의 연구를 비방하고 그의 연구 내용 대부분이 해리엇의 '해석술 연습'의 모방이라고 주장했다. 파스칼의 경연문제에 제출한 해답이 상을 받지 못한 사실도 그의 반프랑스 감정을 악화시켰다. 월리스는 다른 사람들이 자신에 대해 악의가 있다고 의심하고 '대수론'에서 다음과 같이 썼다.

대수가 그리스인 사이에서 옛날부터 사용되었던 사실은 의심할 여지가 없다. 그러나 (그들은) 대수를 중대한 비밀로 여기고 고의적으로 감췄다. 대수의 보기는 유클리드나 적어도 유클리드를 이은 테온에게서 보인다. 테온은 대수 발명의 공을 플라톤에게 돌리고 있다.

12. 렌
1668년 런던 대화재가 없었더라면 렌은 건축가가 아닌 수학자로서 알려졌을 것이다. 렌과 월리스가 속한 수학 연구회는(1657~1658간 소속) 호의 길이를 구하는 $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$과 같은 관계를 여러 종류의 곡선에 응용해 훌륭한 성공을 거두었다. 렌이 20살 때 곡선의 구장에 성공했고 한 해 뒤에 사이클로이드의 구장에도 성공 했다. 이 두 발견은 윌리스가 1659년에 사이클로이드와 시노이드에 관한 무한소 문제를 다룬 두 논문에 넣었다.
그는 일엽쌍곡면을 결정하는 두 가지 방법을 발견했고, 물리학에 있어서 물체의 충돌법칙, 광학과 관련된 주제, 유체의 저항, 그밖의 수리물리학과 천체역학 논문을 썼다. 그는 죽어서 다음이 비문을 새겼다.

"기념비를 찾으려 한다면 네 주위를 둘러보라(Si monumentorm requiri's circumspice)"

13. 월리스의 공식
월리스는 무한소 해석에서 몇 가지 매우 중요한 공헌을 했다. 그 중 하나는 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\sqrt{x-x^{2}}dx}$를 계산하면서 감마함수(계승, Factalal)에 대해 오일러보다 앞서 연구했다. 이 적분은 반원 $y=\sqrt{x-x^{2}}$아래의 넓이이고, 그 넓이는 $\displaystyle\frac{\pi}{8}$임을 알고 있었다. 그러나 월리스는 이 적분을 무한소 방법으로 직접 계산하지 못했으나 그의 귀납법과 보간법은 흥미 있는 결과를 가져왔다.
$n$에 자연수 몇 개를 대입하여 $\displaystyle\int_{0}^{1}{(x-x^{2})^{n}dx}$를 구하고, 그 적분 값이 $\displaystyle\frac{(n!)^{2}}{(2n+1)!}$이라는 결론을 내리고, 이 공식이 $n$이 분수인 경우에도 성립한다고 가정했다. 따라서 다음의 결론이 나온다.$$\int_{0}^{1}{\sqrt{x-x^{2}}dx}=\left\{\left(\frac{1}{2}\right)!\right\}^{2}\cdot\frac{1}{2!}$$ 그러므로 $\displaystyle\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}!\right)^{2}$, 곧 $\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$가 된다. 이것은 오일러의 베타함수 $\displaystyle B(m,\,n)=\int_{0}^{1}{x^{n-1}(1-x)^{m-1}dx}$에서 $m$과 $n$이 모두 $\displaystyle\frac{3}{2}$인 특수한 경우이다.
홉스는 월리스의 기하학의 산술화로 비판했고, 윌리스의 '무한산술'을 '기호로 만든 부스럼 딱지'라고 비난했으나 정작 자신은 원적 문제와 그 밖의 고대 기타학 문제를 풀었다고 주장했다.
월리스는 홉스를 무시하고 다른 발견을 계속했다. 그의 잘 알려진 성과로 다음의 무한곱이 있다.$$\frac{2}{\pi}=\frac{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdots}{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdots}$$ 위 식은 다음에 나타난 오늘날 정리와 공식에서 쉽게 유도된다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}xdx}}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n+1}xdx}}}=1,\,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{m}xdx}=\frac{(m-1)!!}{m!!}\,(m:\,\text{odd}),\,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{m}xdx}=\frac{(m-1)!!}{m!!}\cdot\frac{\pi}{2}\,(m:\,\text{even})$$($m!!$은 $m$에서 숫자를 하나씩 건너뛰면서 곱하여 1또는 2로 끝나는 곱, $m!!=m(m-2)(m-4)\cdots$을 나타낸다.)

따라서 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{m}xdx}$에 대한 위의 식을 윌리스 공식이라고 한다. $\displaystyle\frac{2}{\pi}$를 구하기 위해 사용한 방법은 귀납법과 보간법의 원리에 바탕을 둔 것으로 이방법을 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^{2}}dx}$에도 적용했으나 이항정리를 몰라 식의 값을 구할 수 없었다.

14.그레고리
정수 지수를 갖는 이항정리는 1527년 이후 유럽에 알려졌으나 월리스는 보간법을 그 정리에 적용하지 못했다. 그러나 스코틀랜드인 그레고리는 이항정리의 응용을 잘 알고 있었다. 그는 여러 나라에서 수학을 공부했고 그의 후원자에 의해 콜린스에게 소개되어 영국의 수학계에서 한 세기전 메르센과 같은 일을 했고, 그 다음 1663년에 이탈리아로 갔고, 그의 후원자에 의해 토리첼리의 후계자 앙젤리(토리첼리 친구 리치의 제자)를 소개받았다. 그레고리는 1664~1668년 동안 앙젤리와 함께 연구 행동을 한 뒤 런던으로 귀국했고, 따라서 그레고리가 함수의 무한급수 전개와 일반적인 무한과정의 위력을 바르게 인식하게 된 것은 이탈리아에서 였다고 할 수 있다. 그 결과로 1667년에 파두아에서 '원과 쌍곡선의 바른 구적'을 출판했고, 이 책에는 무한소 해석의 중요한 성과가 있다.
그레고리는 아르키메데스의 계산법(원뿔곡선에 대해 넓이가 $a_{0}$인 내접삼각형, $A_{0}$인 외접사각형을 그리고 $a_{n}$: 앞 두 항의 기하평균, $A_{n}$: 앞 두 항의 조화평균이라 하여 수열 $a_{0},\,A_{0},\,a_{1},\,A_{1},\,a_{2},\,A_{2},...$을 만들었다)을 이용해 타원과 쌍곡선의 구적으로 확대했다. 이 과정을 무한히 반복하면 모두 원뿔곡선의 넓이에 수렴한다. 이 무한과정은 원적문제에 적용하려 했으나 성공하지 못했고, 당시 호이겐스는 $\pi$를 다른 대수적으로 표현할 수 있다고 주장해 논란이 있었다. 이 문제가 해결되기까지 다시 두 세기가 필요했다.

15. 그레고리 급수
1668년에 그레고리는 두 권의 책을 출판했고, 그 중 하나는 '보편기하학'으로 파두아에서, 다른 하나는 '기하학 연습'으로 런던에서 출판했다. 그의 연구는 본질적으로 기하학적 겉모습을 띄고 있으나 그 겉모습을 따르는 것은 쉬운 일이 아니었다.

만약 그의 연구가 해석적으로 표현되었다면 미적분학의 발견에서 뉴턴을 앞섰을 것인데 그는 미적분학의 기본적 사항 전부를 1668년말까지 알고 있었기 때문이다. 그는 구적법과 구장법에 정통하고, 그것들의 접선문제의 역 이라는 사실과 식 $\displaystyle\int{\sec xdx}=\ln(\sec x+\tan x)$도 알고있었다. 또한 분수 거듭제곱에 대한 이항정리를 발견했고, 테일러 급수를 테일러가 발표하기 40년 전에 테일러 급수를 발표했고, 삼각함수의 매클로린 전개 중 $\text{arctan} x$만 '그레고리급수'라는 별명이 붙었다.

이탈리아에서 배운 $t=0$에서 $t=x$까지의 구간에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{1+t^{2}}$의 아래 넓이가 $\text{arctan} x$라는 사실과 $\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-x^{10}+\cdots$가 성립함을 배웠고, 이 것들로 다음의 그레고리 급수를 유도할 수 있다.$$\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t^{2}}dt}=\text{arctan}x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots$$16 메르카토르와 브룬커
그레고리 급수와 비슷한 급수를 거의 같은 시기인 1668년에 왕립협회 회원(본명 카우프만) 페로카도로가 '로그손'의 내용으로 발표했다. 로그술의 첫 부분에는 네이피어와 브리그스에게 유래하는 방법으로 로그를 계산하는 것에 대해 쓰여 있다. 그 중 하나가 메르카토르 급수라고 알려진 것이다. 그레고리는 $t=0$에서 $t=x$까지 $y=\frac{1}{1+t}$아래의 넓이는 $\ln(1+x)$라는 사실이 알려져 있고, 앞의 그레고리 급수처럼 급수로 나타낼 수 있다.$$\ln(1+x)=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t}dt}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots$$ 메르카토르는 위 급수를 '자연로그'라고 이름을 붙였고, 메르카토로의 이름이 붙어있다. 이 급수는 후데와 뉴턴도 알고 있었으나 발표하지 않았다.
1650년대와 1660년대를 통해 넓은 범위에 걸친 여러가지 무관산법이 발표되었다.
왕립협회 초대 회장 브룬커는 연분수에 관한 연구를 하였다. 연분수는 이전에 이탈리아에서 쓰이기 시작했다.
$\sqrt{2}$를 구하려면 $x+1=\sqrt{2}$로 둔다. 그러면 $(x+1)^{2}=2$가 되고 $x^{2}+2x=1$, 곧 $\displaystyle x=\frac{1}{2+x}$이 된다.
그래서 우변에 $x$가 나타날 때마다 그것을 $\displaystyle\frac{1}{2+x}$로 계속 바꾸어 놓으면 다음 식을 얻는다.$$x=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}=\sqrt{2}-1$$ 브룬커는 $\displaystyle\frac{2}{\pi}$에 대한 월리스곱을 조작해 다음과 같이 연분수로 나타냈다.$$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\cdots}}}}$$ 또 브룬커와 그레고리는 로그의 무한급수 표현을 몇 개 발견했으나 이것보다 간단한 메르카토르 급수의 그늘에 가렸다. 그레고리는 다시 곡선 $y=\ln x$를 연구했는데 등각나선 $r=e^{\theta}$에서 동경 $r$을 가로축, 호 $\theta$를 세로축으로 잡는 기하학적 변환을 통해 이 곡선을 끌어냈다. 이것은 이탈리아에서 잘 알려진 포물선과 아르키메데스 나선을 견주면서 힌트를 얻었을 수 있다. 그레고리는 성과를 출판하지 않아 그의 성과는 다른 사람들이 다시 발견해야 했다.

17. 배로의 접선법
뉴턴은 그레고리를 알지 못했지만 옥스퍼드에 있던 월리스와 케임브리지에 있던 배로의 영향을 받았다. 배로는 월리스처럼 성직에 있으면서 수학을 가르쳤다.
수학적으로 보수적이었던 배로든 대수의 형식주의를 좋아하지 않아 월리스의 연구와 대조적이었고, 대수가 수학의 일부이기보다 논리학의 일부라고 생각했는데 그 견해는 해석학적 발견에 방해가 되었다.
배로는 자신의 '광학강의(1669년)'와 '기하학강의(1670년)'을 출판했고, 이때 뉴턴이 편집을 도왔다. 또한 동시에 유클리드와 아폴로니우스의 책도 편집했다. 그런데 1668년이라는 해는 중요하다. 이 해에 그레고리의 '보편기하학', 메르카토르의 '로그술', 슬루즈의 '방법에 대하여'의 개정판의 출간과 동시에 배로가 기하학 강의를 시작했기 때문이다. 그 당시에 접선문제와 구적법이 크게 유행하고 있었고, 배로의 기하학 강의는 토리첼리의 운동학적 관점을 취하고 있고 따라서 기하학적 양을 점의 끊임없는 흐름에 의해 생기는 양으로 보는 쪽을 좋아했다. 그는 시간이 선과 비슷하다고 말했으며 동시에 양쪽 다 불가분량으로 이루어진 것 이라고 생각했다. 다만 대수적 해석이 강조된 곳이 한 군데 있었는데 기하학 강의 10장의 끝에 배로는 다음의 글을 남겼다.

많은 유명한 방법과 진부한 방법 뒤에 이것이 유익한지 어떤지 모르지만 우리가 자주 접선을 구할 때 쓰는 잘 알려진 방법을 부족의 형태로 덧붙여둔다. 그러나 내가 그렇게 하는 것은 친구의 충고에 따른 것이다(친구: 뉴턴). 더욱이 기꺼이 그렇게 하기로 한 것은 그 방법이 내가 말한 방법보다도 더 유익하고 더욱 일반적이라고 생각되기 때문이다. 배로는 미분에서 이용되는 방법과 실질적으로 같은 접선을 구하는 방법을 사용하고 있다. 페르마의 방법과 거의 같으나 $E$ 대신 오늘날 쓰이는 $\Delta x,\,\Delta y$를 사용했다. 배로는 그 방법을 다음과 같이 설명한다.

다항식 $f(x,\,y)=0$(현대식 표기)으로 주어진 곡선 위의 점을 $M$, 이 점에서 그는 정신은 $MT$라하자($T$: 접선과 $x$축의 교점), 다음으로 그 곡선 위에 한없이 작은 호 $MN$을 잡는다. 다음에 $M$과 $N$에서 세로선을 긋고 또 $M$을 지나서 $x$축에 평행한 직선 $MR$을 긋는다. 그리고 이미 알고 있던 $M$의 세로좌표를 $m$, 구하는 접선영 $PT$를 $t$라 하고 삼각형 $MRN$의 높이와 밑변을 각각 $a$와 $e$라고 한다. 이 사실에서 배로는 $a:e=m:t$를 지적했다.
오늘날에는 두 점이 한없이 가까운 때 $a$와 $e$의 비는 곡선의 기울기가 된다고 한다. 이 비를 찾기 위해 배로는 페르마와 거의 같은 방법을 썼다. $f(x,\,y)=0$의 $x$와 $y$를 각각 $x+e$, $y+a$로 바꾸어 놓고 그 결과로 생긴 방정식에서 $a$또는 $e$를 갖지 않는 모든 항과(그것들은 모두 0과 같다) $a$와 $e$의 1차보다 높은 차수의 모든 항을 무시하고, 마지막으로 $a$를 $m$으로, 또 $e$를 $t$로 바꿔놓는다. 따라서 그 접선영은 $x$와 $m$으로 나타나고 이미 $x$와 $m$을 알고 있다면 접선영 $t$의 값이 결정된다.
배로는 페르마의 연구를 직접 접하지 않았으나 카발리에리, 호이겐스, 그레고리(성빈센트), 그레고리(제임스, 스코틀랜드), 월리스로부터 제로와의 방법을 알고 있었을 것이다.

수학사 45-과도기(1)

skywalker222 — Wed, 28 Jun 2023 08:00:19 +0900

수학사 45-과도기(1)

-수학은 과학의 흔들리지 않는 기초이며 인간사회에 이익을 가져다주는 마르지 않는 샘물이다. 아이작배론-

1. 라일
1661년 데자르그, 1662년 파스칼, 1665년 페르마가 죽음으로써 프랑스 수학의 위대한 시대는 막을 내렸고, 로베르발은 그 뒤 약 10년 동안 살았으나 활동을 하지 않아 그의 영향력은 제한되었다.
필립 드 라일은 데자르그의 제자로 그와 같은 건축가였다. 그는 순수기하학에 흥미가 있었고, 1673년 원뿔곡선을 처음으로 연구했을 때 종합적인 방법을 썼으며 미래의 해석적인 풍조와 관계를 끊지않고 있었다.
라일은 후원자 콜베르를 위해 연구했고, '원뿔곡선에 관한 새 원리'를써서 바쳤다. 이 책에서는 데카르트의 방법이 중요한 구실을 하고 있고, 데카르트의 방법은 계량적이면서 이차원적인 것으로 타원, 쌍곡선의 경우 두 초점에서 거리의 합과 차에 의한 정의에서, 또 포물선의 경우에는 초점과 준선으로써 거리의 상등관계에서 출발하고 있다. 그러나 자신은 데자르그의 용어의 일부로 해석기하학에 이용하여 가로 좌표축을 줄기, 그 축 위의 점을 마디(knots), 세로 좌표축을 가지(branch)라고 했다.(원점만 후세에 전해졌다)
라일은 페르마나 데카르트와 마찬가지로 원점을 잡았으나 자신의 저서 '새 원리'에 따르면 미지랑이 3개인 방정식에 의해 해석적으로 주어진 곡면을 처음으로 제시하고, 여기에 기준면, 곧 좌표면 $OBA$를 더했다.

그리고 라일은 그의 좌표계에 관해 축 OB에서 수직거리 $PB$($B(x,\,0,\,0),\,P(x,\,y,\,v)$라 하면 $\sqrt{y^{2}+v^{2}}$)가 거리 $OB$보다 거리 $a$만큼 긴 점 $P$의 자취는 $a^{2}+2ax+x^{2}=y^{2}+v^{2}$($v$는 오늘날 $z$로 쓰인다)인 사실을 발견했고, 그 자취는 원뿔이다.
라일은 종합기하학과 해석기하학 양쪽에서 근대적인 최초의 전문가가 되었으나 그 분야의 논문에서 라일의 이름을 찾을 수 없고, 이름이 붙어도 그가 처음으로 발견한 정리가 아닌 다른 정리에 이름이 붙었다. 게다가 기하학은 쇠퇴의 길을 계속 걸었고, 이후 한세기 동안은 부활하지 못했다.

2. 모어
진가를 인정받지 못한 당시의 기하학자는 라일만이 아니었다. 1672년 덴마크 수학자 모어는 '덴마크의 유클리드'에서 컴파스와 자를 이용해 점과 점을 연결하는 어떤 작도도 컴파스만으로 가능함을 보였다.
파푸스, 데카르트와 그 밖의 사람들이 최소한의 도구를 사용한다는 극도의 절약원칙을 강조했음에도 대부분의 고전적 작도 문제에서 이 원칙을 위반했다는 점을 모어가 지적했다. 그러나 당시 수학자들은 이 발전에 관심이 없었고, 125년 뒤에 이 원리를 다시 발견한 마스케로니의 공으로 돌아가 그의 이름이 붙게 되었다. 모어의 책은 한때 완전히 사라졌으나 1928년 코펜하겐의 한 서점에서 수학자가 발견했다.

3. 멘골리
모어의 '덴마크의 유클리드'가 출판된 1672년에 원적 문제와 관련된 책 '원적 문제'는 목사 피에트로 멘골리에 의해 이탈리아에서 출판되었다. 멘골리는 목사지만 카발리에리(블로냐에 있을 때 그의 제자였다), 토리첼리, 그레고리의 영향을 받았다. 그는 불가분량과 쌍곡선 아래의 넓이에 관한 연구를 했고, 이런 종류의 문제에 무한급수를 이용해 다루는 것을 배웠고, 이 때는 무한급수의 유용성이 분명해지던 시기였다.
보기를 들어 멘골리는 교대조화급수 $\displaystyle\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n}+\cdots$의 합이 $\ln2$라는 것과, 1689년에 베르누이가 발견한 교대급수가 아닌 조화급수가 발산함을, 호이겐스(하위헌스)의 업적이라는 삼각수의 역수가 수렴함을 보였다. 더 나아가 멘골리는 제곱수 및 다른 거듭제곱수의 역수의 합을 구하는 것도 시도했으나 성공하지 못했다(한 세기 뒤의 오일러가 해냈다). '원적문제'에는 윌리스가 구한 $\pi$에 대한 무한곱도 기술하고 있었다.
무한합과 무한곱에 관한 멘골리의 선진적 업적은 수학에서 이후 발전에 중요한 걸음이었다.

4.스호텐
1670년대 진가를 인정받지 못한 세 사람의 수학자를 살펴보았는데 그들이 정당한 평가를 받지 못한 이유는 그들이 살던 나라가 수학의 중심지가 아니었기 때문이었다. 일찍이 지도적 지위에 있던 프랑스,이탈리아에서 수학은 쇠퇴의 길을 걸었고 덴마크는 주류에서 벗어나 있었다. 여기서는 데카르트, 페르마와 뉴턴, 라이프니츠의 두 시대 사이 시기에 영국, 네덜란드, 벨기에, 룩셈부르크 지역의 수락이 번성했다.
데카르트는 네덜란드에서 20년간 지냈고, 해석기하학이 유럽의 다른 어떤 곳보다도 빨리 자리를 잡았다. 1646년 라이덴 대학에서 스호텐과 그의 제자들에 의해 데카르트 기하학이 급속하게 발전했다.
데카르트의 기하학은 학자 사이의 공통어인 라틴어로 출판되지 않았고, 그 설명 또한 불분명했다. 이 두 결점을 보완한 것이 스호텐이 1649년에 보조자료를 덧붙여 출판한 라틴어 번역이었다. 스호텐의 '데카르트에 의한 기하학'은 그 후 크게 증보되어 1659~1661년에 두 권으로 나왔고, 또 1683년과 1695년에 증보판이 출판되었다. 이 상황을 살펴보면 해석기하학은 데카르트가 도입했으나 스호텐에 의해 자리잡았다고 해도 과언은 아니다.

5. 비트
해석기하학에 대한 더욱 중요한 공헌은 1658년에 스호텐의 동료이자 네덜란드의 국무장관 비트에 의해 이루어졌다. 비트는 법률을 공부했으나 스호텐의 집에서 사는동안 수학에 관심을 갖게 되었다. 그는 젊은 시기에 틈을 내어 '곡선의 원리'라는 책을 썼고, 1권에는 원뿔곡선에 관한 여러 종류의 운동학적 정의와 넓이의 측정법 정의가 쓰여 있다. 그 정의에는 초점-준선 비에 의한 정의가 있고, 여기서 '준선'이라는 불어가 유래되었다고 본다. 그가 제시한 타원에 관한 또하나의 작도법은 이심각을 매개변수로 하면서 두개의 동심원을 사용하는 잘 알려진 방법이다. 1권의 방법은 종합적이나 그 권은 좌표가 체계적으로 사용되고 있고, 해석기하학에 대한 최초의 교과서라고 전해져 왔다. 그 이유는 데카르트의 '기하학'은 실제 교과서가 아니었고, 페르마의 해설서도 1679년까지 출판되지 않았으며 비트의 '곡선의원리'는 스호텐의 '데카르트의 기하학'의 1659-1661년판에 정리되어 있었기 때문이다.
비트의 연구목적은 $x,\,y$에 대한 모든 이차방정식을 평행이동, 회전으로 표준형으로 변환하는것 이었다. 그는 이차방정식의 판별식이 음수, 0, 양수 냐에 따라 각각 타원, 포물선, 쌍곡선이 된다는 사실을 알고 있었다.
1671년에 정치가의 목표와 수학자의 관점을 연결, 결합해 '종신 연금론'이라는 논문을 연구해 연금문제를 고찰했고, 1972년에 프랑스의 네덜란드 침공 때 오렌지공의 군대에 의해 공직에서 쫓겨나고, 화난 군중들에게 살해되었다.

6. 후데
1656-1657년에 스호텐은 '수학 연습'을 출판했고, 이 책에는 그는 대수를 기하학에 응용하는데 새로운 성과를 보였다. 또 이것은 유능한 제자들이 발견한 것도 있는데 그 가운데 귀족으로 30년동안 암스테르담 시장을 지냈던 후데도 있었다. 그는 호이겐스(하위헌스)와 비트에게 문화관리의 문제와 확률 및 평균수명의 문제에 관해 편지를 썼고, 1656년 쌍곡선의 주석법에 관한 논문을 썼고, 멘골리처럼 무한급수를 사용했으나 이 원고는 없어졌다. 스호텐의 '연습'에는 후데의 사차곡면 좌표의 연구에 관한 절이 하나 있고, 덜 명확하나 라일보다 앞선 입체 해석기하학의 선구적인 연구였다. 게다가 후데는 방정식의 문자 계수를 양, 음에 관계없이 모든 실수를 나타내는 것으로 쓴 최초의 수학자로 보인다. 방정식의 이론에서 비에트의 기호법을 일반화하는 마지막 단계는 후데의 저작 '방정식의 변형에 대하여'에 나오고, 이 역시 스호텐의 1659-1661년판 '데카르트의 기하학'의 일부를 이룬다. 후데의 시대에 가장 인기가 있었던 연구 영역은 해석기하학과 수학적 해석학이었고, 시장이 되기 전에 양쪽 모두에 이바지했다. 1657-1658년 후데는 미적분의 계산법에 관한 명확한 지침을 주는 두 개의 법칙을 발견했다.

1. $r$이 다항방정식 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0$의 중근이고, $b_{0},\,b_{1},\,...,\,b_{n-1},\,b_{n}$이 등차수열을 이루면 $r$은 방정식 $a_{0}b_{0}x^{n}+a_{1}b_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_{n-1}x+a_{n}b_{n}=0$의 근이다.
2. $x=a$일 때 다항식 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}$이 극대 또는 극소가 되면 $a$는 방정식 $na_{0}x^{n}+(n-1)a_{1}x^{n-1}+\cdots+2a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x=0$의 근이다.
1은 $r$이 $f(x)=0$의 중근이면, $r$은 동시에 $f'(x)=0$의 근이 된다는 정리를 돌려 표현한 형태이다.
2는 페르마 정리에 약간의 수정을 가한 것으로 오늘날 표현으로는 $f(x)$가 다항식 $f(x)$의 극댓값 또는 극솟값이면 $f'(a)=0$이라는 증거이다

7. 슬루즈

후데의 법칙은 스호텐의 '데카르트의 기하학' 1권에 인용되어 1859년에 출판되었기 때문에 널리 알려져 있었다. 또한 이 보다 몇해 전에는 낮은 지대나라 출신의 슬루즈가 접선에 대한 비슷한 법칙을 썼다. 그는 리옹과 로마에서 공부했고 토리첼리의 영향 또는 독립적으로 1652년 $f$가 다항식일때 $f(x,\,y)=0$(음함수) 형태의 방정식으로 표현되는 곡선에 대한 접선을 찾는 방법을 1673년에 처음으로 왕립협회보에 실었다. 구하는 접선의 접선영은 $f(x,\,y)=0$에서 $y$를 포함하는 모든항을 뽑아내어 각 항 $x$의 지수를 자신의 항에 곱한 다음, $x$로 나눈 것을 분모에 놓아 얻은 몫이다 (예) $x^{3}+y^{3}-3xy=0$의 경우, $3y^{3}-3xy$를 분자에, $(3x^{3}-3xy)/x=3x^{2}-3y$를 분모에 놓은 $\displaystyle\frac{3y^{3}-3xy}{3x^{2}-3y}$가 된다). 이것은 오늘날 표기로 몫 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$를 구하는 것과 같고, 1659년 무렵 후데에게도 알려졌다. 이런 예는 뉴턴의 연구 이전에 미적분학에서 여러 발견이 차례로 이루어졌다는 것을 말한다. 슬루즈는 낮은 지대 나라의 전통을 이어받아서 데카르트의 $x,\,y$보다 비에트와 페르마의 $A,\,E$ 기호를 더 좋아했다고 해도 데카르트 기하학을 적극적으로 추진했던 사람이었다. 1659년 슬루즈는 일반인을 대상으로 한 '방법에 대하여'라는 책을 출판했고, 이 책에서 방정식의 근을 기하학적으로 작도하는 법을 다루었다. 그는 임의의 원뿔곡선이 주어졌을 때 어떤 삼차/사차방정식의 근도 원본곡선과 원의 교점을 통해 작도할 수 있다는 사실을 밝히고 있다.

또 슬루즈의 이론이 1657~1658년에 걸쳐 호이겐스(라위원소), 파스칼과 주고받은 편지에서 그가 소개한 곡선족에 붙어있다.
파스칼이 이름을 붙인 슬루즈의 진주곡선은 $y^{m}=kx^{m}(a-x)^{b}$꼴의 방정식으로 주어진 곡선이다. 그런데 슬루즈는 $y=x^{2}(a-x)$도 진주형이 된다고 잘못 생각했는데 이는 당시 음의 좌표가 이해되지 않아 그 곡선이 축(가로축)에 대해 대칭이라고 생각했기 때문이다. 그러나 스호텐의 가장 뛰어난 제자 호이겐스는 극대, 극소, 변곡점을 발견했고 양과 음의 양쪽 좌표에 대해 그 곡선을 바르게 그릴 수 있었다. 변곡점은 이미 페르마와 로베르발도 발견했다.

8. 신개선과 축폐선(수학사 참고)
1685년 호이겐스는 루이 14세의 연금을 받기 위해 파리로 이사했고, 1673년 파리에서 호이겐스의 가장 위대한 저술 '진자시계' 가 나왔다. 1장은 1656년 저자가 발명한 추시계에 관한 것이고, 2장은 진공상태에서 자유낙하하거나 평탄한 경사면 위를 미끄러지거나 또는 매끈한 곡선을 따라 미끄러지는 물체에 대한 고찰에 할애되었다. 3장은 신개선과 축폐선을 다루는데 평면곡선의 축폐선(evolute)은 그 곡선에 대한 법선의 포락선, 신개선(involute)은 주어진 곡선을 축폐선으로 갖는 임의의 곡선이다. 호이겐스는 그의 일반적인 이론의 응용으로서 포물선과 사이클로이드의 축폐선을 구했다. 전자의 경우 3차 포물선을, 후자의 경우 같은 크기의 다른사이클로이드를 얻었다.
4장은 진동의 중심과 매다는 점은 바꿀 수 있다는 것의 증명과 함께 복합추를 다루었고, 마지막 장은 시계이론에 관한 것이다. 여기에 사이클로이드의 후에 관한 설명이 있다.
해석기하학은 원래 이론적 고찰의 산물이었으나 호이겐스의 곡률 개념은 실용적 관심에 의해 개발이 촉진되었다. 사이클로이드 진자는 이전에 로베르발이 발견했지만 출판하지 않았기 때문에 사이클로이드의 확실한 구장법(곡선의 길이를 구하는 법)은 호이겐스의 업적이 되었다.

(왼쪽: 호이겐스의 진자시계)

위 오른쪽 그림에서 아직 $QS$가 진자의 실이 곡선 $QP$(한 아치의 반)에 감기면서 생긴다는 사실에서 직선 $PS$의 길이가 아치 $QP$의 길이와 같다는 사실을 알 수 있다. 그런데 직선 $PS$는 사이클로이드의 한 아치인 $QSR$의 생성을 (턱을 이루는 아치의 생성원과 같음)의 지름의 두 배 이므로 사이클로이드 의한 아치의 길이는 지금의 4배라는 사실을 알 수 있다. 신개선과 축폐선의 성질은 다른 많은 곡선의 길이를 구할 수 있었고, 대수곡선의 길이를 구할 수 없다는 아리스토텔레스, 데카르트의 믿음에 의문이 제기되었다. 여기에 1658년 호이겐스의 동료이고 스호텐의 제자인 호이라트가 반삼차 포물선 $ay^{2}=x^{3}$의 길이는 유클리드적 방법으로 구할 수 있음을 발견하면서 이 논의에 종지부를 찍었다. 1659년에 스호텐은 이 발견은 '데카르트 기하학'의 중요사항으로 발표했는데, 조금 앞서 영국인 닐과, 프랑스의 페르마도 발표했다.
페르마가 수학에서 발견한 모든 것을 스스로 출판한 것은 닐의 포물선으로 알려진 반삼차 포물선의 구장법 뿐이었다. 페르마의 구장법은 곡선의 작은 호와 그 호의 끝점에서 접선으로 만들어지는 외접도형의 비교에서 유도된 것이다. 호이라트의 방법은 그 호의 변화율에 바탕을 두고 있고, 오늘날 기호로 $\displaystyle\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^{2}}$로 나타낸다.
'무한산술'에서 윌리스가 주목한 닐의 주장법은 그 작은 호가 가로축, 세로축의 증분을 두 번으로 하는 직각삼각형의 빗변 이하는 사실, 곧 오늘날 표현으로 $ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}$라는 점에 바탕을 두었다.
닐의 구장법은 1659년에 월리스가 두 논문: '앞은 사이클로이드, 다음은 시소이드'에서 발표했다.
이 논문에 이어 몇 달 뒤 파스칼이 사이클로이드에 관한 저작을 발표했다. 이처럼 미적분학의 발명에 바로 앞서 수학자들 사이에는 사이클로이드 열풍이 불었다.
호이렌스의 진자시계는 10년 남짓 뒤에 나오는 프린키피아의 입문서 역할을 했다. '진자시계'에는 원운동에서 구심력의 법칙, 진자운동에 관한 호이겐스의 법칙, 운동에너지 보존법칙, 그 밖의 역학과 관련된 중요한 결과가 담겨있다.

수학사 44-페르마와 데카르트의 시대(3)

skywalker222 — Tue, 27 Jun 2023 20:00:12 +0900

수학사 44-페르마와 데카르트의 시대(3)

18. 로베르발
페르마는 아직 겸손한 사람이어서 자신의 연구를 어느것 하나 출판하지 않고 메르센에게 편지를 보내는 데에 만족해서 그의 업적의 대부분에 대해 마땅히 받아야할 명예의 우선권을 잃었다.
이것은 페르마의 친구인 로베르발도 마찬가지였다. 로베르발은 카발리에리의 방법과 비슷한 불가분량의 방법을 전개해서 시험에 합격했고, 메르센으로부터 사이클로이드의 연구를 권유받아 이 곡선의 아치 한 개의 밑부분의 넓이, 임의의 점에서 이 곡선에 접선을 긋는 방법, 아치의 아래부분이 밑부분의 선을 중심으로 회전할 때 생기는 부피, 또 대칭축이나 꼭지점에서 그은 접선 주위를 회전해서 생기는 부피도 구했다. 그러나 이 방법을 다른 사람에게 알리지 않아 모든 업적에 대한 영예를 얻지 못하고 우선권에 관한 수많은 싸움에 휘말렸다(가장 치열했던 것이 사이클로이드에 관한 논쟁이다).

19. 토리첼리
로베르발이 사이클로이드를 연구할 무렵 토리첼리도 사이클로이드에 흥미가 있었다. 1643년에 토리첼리는 이 곡선의 구적법을 메르센에게 써 보냈고, 또 1644년에는 '포물선의 측정에 대하여'라는 책을 출판하면서 이에 사이클로이드의 구적법과 접선의 작도법을 부록으로 덧붙였다. 1646년에 로베르발은 토리첼리가 자기와 (극대/극소에 관해) 페르마를 표절했다는 비난 편지를 썼는데 토리첼리가 로베르발이 그 이전에 같은 결론에 도달했다는 사실에 대해 아무런 언급을 하지 않았기 때문이다.) 현재는 최초로 사이클로이드를 발견한 사람은 로베르발, 최초로 발표한 사람은 토리첼리라는 사실이 분명해졌다.
로베르발은 사이클로이드의 넓이를 구할 때 불가분량을 이용했으나 토리첼리는 두 종류의 구적법 (1. 카발리에리의 불가분량 방법, 2. 착출법)을 이용했다. 사이클로이드의 접선에 대해서 두 사람 모두 나선의 접선을 긋는 아르키메데스의 방법을 상기시키는 운동의 합성을 사용했다.

로베르발은 사이클로이드의 점 $P$는 크기가 같은 두 운동, 곧 평행운동과 회전운동에 의해 결정된다고 생각했다. 생성원이 밑선 $AB$를 따라 회전할 때 $P$는 수평방향으로 움직이면서 동시에 원의 중심 $O$의 주위를 회전한다(위그림), 따라서 평행운동에 대해 $P$를 지나는 수평선 $PS$가, 회전성분에 대해서 생성원의 접선 $PR$이 그려진다. 그리고 평행운동과 회전운동의 크기가 같기 때문에 각 $SRP$의 2등분선 $PT$는 구하는 사이클로이드의 접선이 된다.
운동의 합성에 관한 생각은 이미 아르키메데스, 갈릴레이, 데카르트와 다른 사람들이 그 방법을 이용했고, 토리첼리는 이들 중 누군가에게 방법을 배웠을 수 있어서 로베르발을 표절했다고 할 수 없다. 더욱이 토리첼리와 로베르발은 모두 위에 언급한 운동학적 방법을 다른 곡선에도 응용했다. 토리첼리는 고차의 포물선의 접선을 구하는 페르마의 방법을 이용했으나 그 지식은 당시 이탈리아에 이미 알려진 것이었다.

20. 새로운 곡선
로베로발과 토리첼리의 연구에는 그 밖에도 뛰어난 수 많은 성과가 있었다. 로베르받은 그의 불가분량의 방법을 이용하여 식 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\sin xdx}=\cos a-\cos b$가 성립함을 보였다. 로베르발과 토리첼리는 각각 독립적으로 그러나 아주 비슷한 방법으로 카발리에리의 포물선과 나선의 비교를 넓이 뿐만 아니라 호의 길이에도 적용해 더욱 발전시켰다.
1690년에 그들은 나선 $r=a\theta$의 처음 1회전의 길이가 포물선 $x^{2}=2ay$의 $x=0$에서 $x=2\pi a$까지의 길이와 같다는 것을 밝혔다. 1630년부터 1650년에 걸친 시대는 수학적 관심에서 놀랄 만한 일치를 보였는데 여기에는 메르센의 공이 컸다. 무한소와 관련된 문제는 당시에 인기가 있었는데 특히 토리첼리는 그 문제에 열중했다. 보기를 들면 '포물선의 측정에 대하여'에서 토리첼리는 포물선의 구적을 21가지의 다른 방법으로 증명했고, 크게 불가분량의 방법과 착출법(소거법)으로 나뉜다. 그러나 카믈리에리의 기하학의 강한 영향에서 빠져나오지 못했다. 다만 새로운 발견들 덕분에 불가분량을 유연하게 구사하는데 그의 스승을 훨씬 능가했다. 1641년에 토리첼리는 쌍곡선 $xy=a^{2}$과 가로축 사이의 부분 가운데
세로축 $x=b$의 오른쪽에 있는 넓이가 무한한 부분을 $x$축 둘레로 회전시킬때 생기는 입제의 부피가 유한할 수 있다는 것을 발견했다$\displaystyle\left(\int_{b}^{\infty}{\frac{a^{4}}{x^{2}}dx}=\frac{a^{4}}{b}\right)$. 그러나 이 부분은 로베르발이나 14세기의 오렘이 앞서 발견할을 수 있다. 토리첼리는 1647년에 젊은 나이로 죽기 직전 다루었던 문제 중 $x=\log y$에 해당하는 곡선의 형태를 그려놓은 것이 있었다.
토리첼리는 1641~42년에 갈릴레오와 만나 물리학에 흥미를 가졌고, 수학자보다 기압계의 발명자로서 더 잘 알려져 있다. 그가 오래 살았다면 아마 미적분학의 발명자가 될 수 있었으나 요절했다.

21, 데자르그
데카르트와 페르마의 시대에는 해석기하학과 무한소해석의 분야에서 큰 진보가 이루어졌다. 이 두 분야의 빛나는 성공이 당시 사람들에게 수학의 다른 분야를 상대적으로 잊게 하는 결과를 초래한 듯하다.
수론은 페르마 외에 열중한 인물이 없었고, 순수기하학은 그 당시 전체적으로 무시되었다. 아폴로니우스의 '원뿔곡선'도 한 때는 페르마가 좋아하는 연구였으나 해석적 방법이 그의 견해를 바꾸었다. 그 사이에 원불곡선이 건축가이고 군대 기술자인 매우 비실용적인 상상력을 가진 데자르그의 주의를 끌기 시작했다. 그는 고심 끝에 거의 새로운 종류의 수학을 혼자 고안해냈고, 그 성과를 정리한 책 '원본과 평면이 만남으로써 생기는 결과를 다루는 시도에 관한 초고'는 제목이 길어 혐오감을 유발했다.

데자르그의 연구의 바탕이 된 생각은 단순 그자체였고, 이것은 르네상스 회화의 투시화법과 케플러의 연속성의 원리에서 나왔다.
원을 버스들이 보면 타원처럼 보이고, 전등갓의 그림자가 천장이나 벽에 비칠 때 원 또는 쌍곡선이 되는데, 어떤 종류의 성질은 그린 변화가 어떠하든지 그대로 유지되기도 하는데 데자르그는 이 성질들을 연구했다. 원뿔곡선은 몇 번 사영되어도 그대로 원뿔곡선이다. 원뿔곡선은 하나의 긴밀한 집합족을 형성했다. 데자르그는 케플러처럼 포물선은 '무한원'에 초점을 갖고, 평행선은 '무한 원점'에서 만난다는 것을 가정해야 했다. 그런 생각은 투시화법의 이론에 의해 가장 그럴듯하게 설명된다. 데자르그는 유한 또는 무한원점을 지나는 평민들은 연구했다.

22. 사영기하학
데자르그의 용어는 전통적인 것이 아니었으나 원뿔곡선에 대해 다른 내용은 훌륭한 것이었다. 그는 원뿔곡선을 coup de rouleav(반죽을 미는 밀대의 사영)이라고 불렀고, 그의 새로운 용어 중 지금까지 전해지는 유일한 말은 대합(involution), 고정된 한 점에서 거리의 공이 일정한 값이 되는 같은 직선 위의 점들의 쌍이다. 그는 조화분할된 점을 네 점 대합이라고 하고, 그 배열은 사영했을 때 변함이 없음을 보였다.

이 사실은 다른 관점에서 파푸스도 알고 있었다. 완전사변형은 조화적 특성이 있기 때문에 데자르그가 원뿔곡선을 다루는데에 중요한 역할을 했다

왜냐하면 그런 사각형(위 그림의 $ABCD$)이 원뿔곡선에 내접하고 있을 때, 대각점(위 그림의 $E,\,F,\,G$) 가운데 두 개를 지나는 선은 그 원뿔곡선에 대해 다른 하나의 대각점의 극선이 된다는 것을 알고 있었기 때문이다. 물론 그는 어떤 점의 원뿔곡선에 대한 극선과 원뿔곡선의 교점은 처음 점에서 원뿔곡선에 그은 접선의 접점이 된다는 사실도 알고 있었다. 또한 무한원에 있는 점의 극선으로 보는 생각을 도입했다. 이런 방법에 의해 데자르그가 원뿔곡선을 다루는 데에는 통일성이 있었으나 그것은 과거와 철저히 단절되었기 때문에 받아들여지지 않았다.
데자르그의 사영기하학은 훌륭한 이점이 있었다. 왜냐하면 하나의 정리에 관한 수많은 특수한 예가 하나의 총괄적인 명제로 합쳐지기 때문이다. 그러나 당시 수학자는 이 기하학적 방법을 받아들이지 않았을 뿐만 아니라 위험하고 불완전한 것이라고 적극적으로 반대했다.
데자르그는 주로 장인과 실용수학자들을 위해 글을 썼으나 이들은 이 연구의 의미를 이해하지 못했다. 사영적 방법은 대수와 해석 분야만이 성공을 거두었던 그 시대에는 맞지 않았다.(거의 두 세기 동안 사영기하학의 장점은 거의 주목받지 못했다). 오늘날에 이르기까지 데자르그의 이름은 다음의 유명한 데자르그의 정리로 유명해졌다.

두 개의 삼각형이 대응하는 꼭짓점의 쌍을 연결하는 직선이 한 점에서 만나도록 놓인 경우, 대응하는 변의 연장선끼리 만나는 세 점은 한 직선위에 있다. 또 그 역도 성립한다.

23. 블레즈 파스칼
데자르그는 사영기하학을 제창했으나 일상동안 영예를 얻지 못했는데 주된 이유는 유망한 제자 파스칼이 수학을 버리고 신학을 공부했기 때문이다
파스칼이 14살 때 아버지와 함께 파리의 '메르센 아카데미'의 비공식적 모임에 참가했고 거기서 데자르그의 생각을 알게 되었다. 그로부터 2년 혹은 1640년 16세 어린 나이에 '원뿔곡선시론'을 출판했다. 이 논문은 한 페이지 뿐이었으나 역사상 가장 내용이 풍부한 것이었다.
다음은 '신비의 육각형(형파스칼의 정리로 알려진)' 이라고 표현된 명제이다. 파스칼은 데자르그식 용어를 이용하여 원뿔곡선에 내접하는 육각형의 꼭짓점을 차례로 $A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F$라 했을때 $P$가 $AB$와 $DE$의 교정이고 $Q$가 $BC$와 $EF$의 교정이라면 $PQ$와 $CD$와 $FA$는 '같은 종류의선'이다(바꿔말하면 그런 선은 한 점으로부터 나오는 직선족 또는 하나의 무한원점에서 나오는 평행선족의 구성요소이다)

청년 파스칼은 이 정리로부터 원뿔곡선 위의 한 점에서 긋는 접선의 작도를 포함하는 많은 결론을 유도했다고 말하고 있다. 그리고 이 공헌을 스승 데자로그에게 돌렸다.
원뿔곡선시론은 파스칼의 수학 연구경력에 좋은 출발이었고, 18세에 계산기 50대를 팔았다. 그 뒤 1648년에는 유체역학의 역설을 해명한 유체의 압력에 관한 실험을 했고, 1654년에는 '원뿔곡선에 관한 완전한 연구'를 했는데 인쇄되지 않아 오늘날 전해지지 않는다. 파스칼은 기호대수에 익숙해지려하지 않았거나 적절한 기초체계가 수학의 발견에 대하여 하는 역할을 인정하지 않아 이정에 관해서는 시대에 훨씬 뒤떨어졌었다.

24. 확률
1654년 파스칼의 원뿔곡선을 연구할 때 친구인 드 메레가 다음의 문제를 냈다

주사위를 8번 던져 1의 눈이 나오면 이기는 놀이가 있다. 그러나 세번 실패한 뒤 그 놀이는 중단되었고, 이때 놀이자가 받아야할 포상은?

파스칼은 이 문제에 관해 페르마에게 편지를 썼고, 두 사람의 편지 교환이 현대 확률론의 실질적인 출발점이 되었다. 파스칼도 페로마도 그 결과를 자세하게 쓰지 않았으나 1657년에 호이겐스(하위헌스)가 이들의 편지에 고무되어 소논은 '주사위 놀이에서 추론에 대하여'를 출판했다. 그사이에 파스칼은 확률의 연구를 산술삼각형 (파스칼의 삼각형으로 불림)에 연결해 카르다노의 성과를 뛰어넘을 정도로 발전시켰다. 파스칼의 삼각형이라고 불리는 산술삼각형은 소위 '이항계수'라고 불리는 수들로 구성된 삼각형이다.

이항계수 삼각형(오른쪽은 일본에서 만든 이항계수 삼각형)

(파스칼은 개념을 명확히 하는데 재능이 뛰어나 페르마와 그의 다른 사람들과 함께 귀납적 추론의 발전에 기여했다.)
파스칼은 이 문제를 열심히 좇지는 않았으나 당시 활발하게 논의됐던 수론 문제, 곧 1에서 $n$까지 연속된 정수의 $m$제곱의 합을 식으로 나타내는 문제를 생각했다.
여기서 그(파스칼)는 산술삼각형, 귀납적 추론, 무한소해석에 관심을 갖게 되었고, 위 문제를 다음과 같이 나타냈다.$$_{m+1}\text{C}_{1}\sum_{i=1}^{n}{i^{m}}+_{m+1}\text{C}_{2}\sum_{i=1}^{n}{i^{m-1}}+\cdots+_{m+1}\text{C}_{m}\sum_{i=1}^{n}{i}=(n+1)^{m+1}-(n+1)$$이 공식에서 파스칼은 다음의 적분공식을 유도했다.$$\int_{0}^{a}{x^{n}dx}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$$25. 사이클로이드
1654년 11월 23일 밤에 파스칼은 종교적 무아의 경지를 경험하고는, 과학과 수학을 버리고 신학에 전념할 결심을 했다. 그 결과 '시골 사람에게 보내는 편지'라는 작품이 나왔다.
그런데 1658-1659년 사이 통증이 생겨 이를 잊기위해 수학 연구로 돌아왔고, 사이클로이드와 관련된 넓이, 부피와 무게 중심을 구한 뒤, 파스칼은 당시 수학자들에게 그와 비슷한 6개 문제를 제시하고 정답자 중 1,2번째에게 상을 줄 것을 공고하고 심사위원으로 로베르발을 지명했다. "그런데 해답이라고 할 만한 것은 단 두개 뿐(라로베로, 월리스)이었고, 여기에도 몇 개의 계산착오가 있었다. 따라서 파스칼은 상을 주지 않았으나 자기자신의 해당을 다른 결과와 함께 출판했다(데톤비유의 편지). 그런데 이 문제와 '데톤비유의 편지'에 의해 사이클로이드를 관심의 대상이 되었으나 해답에 가까운 답을 쓴 라로베르와 윌리스는 상을 받지 못한 사실에 불만을 풀었고 이탈리아 수학자들은 파스칼이 '사이클로이드의 역사'가 발견의 우선권을 로베르발에게만 주고 토리첼리에게는 어떤 명예도 주지 않은 사실에 분개했다.

새롭게 얻은 성과 가운데는 일반화된 사이클로이드 $x=ak\phi-a\sin\phi$, $y=a-a\cos\phi$의 아치 하나의 길이와 타원 $ㅌ=2a(1+k)\cos\phi$, $y=2a(1-k)\sin\phi$의 둘레의 반이 같다는 사실이 들어있었다. 이 정리는 본질적으로 아르키메데스의 방법으로 증명되었다. 1658~1659년까지 파스칼의 증명은 대부분 아르키메데스의 방법으로 이루어졌다.
1658년 '사분원의 사인에 관한 논문'에 나오는 사인함수의 적분을 보면 파스칼은 미적분학의 발견에 놀랄 만큼 가까이 다가가 있었다. 그러나 파스칼은 39세의 나이로 요절했다.
파스칼은 적어도 수학의 진보에서 중요한 연결고리 역할을 한 사람이다

수학사 43-페르마와 데카르트의 시대(2)

skywalker222 — Tue, 27 Jun 2023 08:00:18 +0900

수학사 43-페르마와 데카르트의 시대(2)

9. 법선과 접선
데카르토는 고대 기하학에 대한 자신의 연구가 아이들의 초보적인 읽고 쓰기에 대한 키케로의 수사학의 구실만큼이나 중요하다고 생각했다. 우리 눈으로 본 데카르트의 잘못은 확정방정식에만 역점을 두고 부정방정식을 소홀히 한 점이었다.

데카르트는 곡선의 성질(예: 넓이, 접선의 방향)은 미지량이 두개인 방정식이 주어지면 완전히 결정된다는 것을 알았으나 그 사실을 충분히 활용하지 않았다.

데카르트는 곡선에 대한 법선(접선에 수직)/접선을 구하는 문제를 중요시했으나 '기하학'에서 발표한 방법은 페르마의
방법에 비하면 번거로운 것이었다.
또 기하학 2권에는 '데카르트의 타원형 (달걀모양)'에 관한 문제가 많이 실려있다. 이것은 광학에서 중요한 곡선인데 실을 이용한 타원의 작도로 알려진 '정원사의 방법'의 일반화로 얻는다.
점 $F_{1},\,F_{2}$에서 동점까지의 거리를 $D_{1},\,D_{2}$, $m,\,n$은 양의 정수, $K$를 양의 상수라 하면 $mD_{1}+nD_{2}=k$인 $P$의 자취는 오늘날 데카르트의 타원형으로 알려져 있으나 데카르트는 이 방정식을 쓰지 않았다.
기하학 3권, 곧 마지막 책은 1권의 주제인 방정식의 근의 작도 문제로 이어서 다룬다. 여기서 데카르트는 작도할 때 "우리는 항상 문제의 풀이에 이용할 수 있는 가장 간단한 곡선을 주의 깊게 선택해야 한다"고 경고하고 있다. 이것은 풀어야 할 방정식의 근의 성질을 충분히 알아야 한다는 것과 특히 그방정식이 가약인지 어떤지를 알아야 한다.
마지막으로 데카르트는 기술한 여러 종류의 문제에 대해 각각 적용 가능한 가장 간단한 작도를 제시했다는 점을 독자들에게 다시 한번 강조하고 있다. 특히 각의 3등분과 정육면체 배적은 제2종의 문제에 속하고 그런 작도에는 원과 직선 이상의 것이 필요함을 지적한다.

10. 데카르트의 기하학적 개념
데카르트의 해석기하학에 대해 말할 때 그의 생각이 오늘날 좌표계의 이용과 관련된 실용적인 사항과 얼마나 동떨어진 것이었는가를 명확하게 해둘 필요가 있다. 이런 점에서 오늘날 자주 이용하는 데카르트곱(Cartesian product)이라는 말도 시대착오적인 것이다. 데카르트의 기하학도 당시 비실용적 이론의 뛰어난 성과였다. 데카르트는 당시 가장 뛰어난 수학적 재능이 있었으나 실제로는 수학자가 아니었고 그의 기하학은 과학과 철학에 바친 삶에 견주면 한 때의 일에 지나지 않는다.

11. 페르마의자취
데카르트의 경쟁자로 페르마가 있는데 그도 전문적인 수학자가 아닌 변호사로서 수학과 과학을 즐겼다. 1629년에 수학에서 중요한 발견을 하기 시작했고, 파푸스의 수작집성에 인용된 내용에서 아폴로니우스의 평면의 자취를 복원하는 일을 맡았다. 이 노력의 부산물로 1636년까지 해석기하학에 관한 기본원리를 발견했다.
마지막으로 나오는 방정식에 미지량이 두개인 경우 우리는 직선이나 곡선인 자취를 얻는다. 이 심오한 명제는 데카르트의 '기하학'이 나타나기 한해 앞서 쓰였고, 페로마가 비에트의 해석을 아폴로니우스의 자취의 연구에 응용하면서 생긴 것으로 보인다.
페르마는 먼저 비에트의 기호를 이용하여 일차방정식의 가장 간단한 형태- 지금 기호로는 $Dx=By$-를 그렸다. 이것은 원점을 지나는 직선이 아니고 원점에서 시작되는 반직선인데 페르마도 데카르트처럼 음의 좌표를 사용하지 않은데다가 일반적인 일차방정식 $ax+by=c^{2}$을 두 좌표축에 의해 잘린 1사분면의 선분으로 그렸다. 그리고 자신의 방법이 자취를 다루는데 뛰어나다는 것을 보이기 위해 새로운 방법으로 발견한 문제를 다음과 같이 발표했다.

평면 위에 고정된 직선 몇 개가 주어질 때 한 점에서 주어진 선들에 각각 주어진 각도로 그어진 선분을 몇 배 한 것의 합이 일정하게 되는 점의 자취는 직선이다.

위 명제는 선분이 그 좌표계에서 일차함수라는 사실과 모든 일차방정식이 직선을 나타낸다는 페르마의 명제에 관한 간단한 따름정리이다.
다음으로 $xy=k^{2}$이 쌍곡선이고 $xy+a^{2}=bx+cy$형태의 방정식이 좌표축 평행이동으로 $xy=k^{2}$로 바꿀수
있음을 밝혔고, $x^{2}=y^{2}$를 직선/반직선 (1사분면만 생각), $a^{2}\pm x^{2}=by$는 포물선, $x^{2}+y^{2}+2ax+2by^{2}=c^{2}$는 원, $a^{2}-x^{2}=ky^{2}$는 타원, $a^{2}+x^{2}=ky^{2}$이 쌍곡선임을 밝혔다.
그의 논문의 절정으로서 페르마는 다른 명제를 생각했다.

고정된 직선 몇개가 주어질 때, 이 직선에 각각 주어진 각도로 그어진 선물의 길이를 제공한 것의 합이 일정하게 되는 점의 자취는 입체 자취(solid locus)이다.

페르마는 '확정' 대수방정식의 근을 기하학적으로 작도하는 대신에 '부정'방정식의 해를 그리는데 역점을 두었다. 데카르트는 파푸스의 어려운 문제를 가지고 기하학을 세운 반면, 페르마는 '평면과 입체의 자취 입문'이라는 소논문에서 가장 단순한 자취에만 증명을 한정했다.

12. 고차원 해석기하학
페르마의 소논문 '평면과 입체형의 자취 입문'은 페르마가 살아 있는 동안 출판되지 않아 많은 사람들은 해석기하학을 오로지 데카르트의 발명으로 생각했다. 페르마의 증명은 데카르트에 비해 체계적, 계몽적이고 그의 해석기하학이 어느 정도까지는 세로축을 가로에 대해 수적으로 잡는 현대 해석기하학에 더욱 가까웠기 때문이다. 또 데카르트처럼 페로마도 3차원 이상의 해석기하학의 존재를 깨달았다. 실제 삼차원의 기하학에서 실질적인 진전은 18세기가 되어서야 가능했다.

13. 페르마의 미분
페르마는 일찍이 1627년에 그의 해석기하학에 도달했다고 생각되는데 자취의 연구와 관계 깊은 중요한 두 가지 발견을 했기 때문이다. 이들 가운데 더욱 중요한 발견은 2,3년뒤 '극대와 극소를 구하는 방법'이라는 논문에 기록되어 있으나 이 논문도 살아있는 동안에는 출판되지 않았다.
페르마는 $y=x^{n}$형의 방정식으로 주어진 자취에 대해 연구했고, $n$이 양수이면 '페르마의 포물선', $n$이 음수이면 '페르마의 쌍곡선'이라고 한다.
페르마는 $y=f(x)$형태의 다항식의 곡선에서 그 함수의 국내/국소점을 발견하는 방법에 주목했다. 그는 어떤 점에서 $f(x)$의 값과 그 근방의 점에서 $f(x+E)$의 값을 비교했다. 이 두 값은 다르나 매끄러운 곡선의 꼭대기(극대) 또는 맨 밑(극소)에서 이 두 값의 차이는 아주 작아 $f(x)=f(x+E)$로 놓았다. 두 점 사이의 간격 E가 작아질 수록 식 $f(x)=f(x+E)$는 참에 가까워진다. 그래서 페르마는 두 점 사이의 함숫값 간격 $f(x+E)-f(x)$를 $E$로 나눈 뒤, $E=0$이라고 해서 다항식의 극대점, 극소점 좌표를 얻었다. 본질적으로 이것은 오늘날 미분이라고 하는 과정이다.
페르마의 방법은 식 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+E)-f(x)}{E}}$의 값을 구하여 0으로 놓는 것과 같다. 라플라스는 페르마로 해석기하학의 공동발전자이며 미분학의 발견자로서 칭송한다.
페르마 극한의 개념을 갖지 않았으나. 극대, 국소의 방법은 기호의 사용 ($E$ 대신 $h$ 또는 $\Delta x$)을 제외하면 현대 미분학의 방법과 아주 비슷하고, 이러한 페르마의 방법은 무한소 해석의 근본적 본으로 자리잡아 왔다.
해석기하학을 전개하던 시기에 접선을 구하기 위해 페르마는 위의 과정을 $y=f(x)$형태의 대수곡선에 응용하는 방법도 발견했다.

보기를 들어 왼쪽 곡선 $y=f(x)$위의 점 $P(a,\,b)$에서 접선을 구한다고 하자. 삼각형 $TPQ$와 $TP'Q'$는 닮음이므로 $TQ=C$라 하면 다음의 비를 얻는다.$$\frac{b}{c}=\frac{f(a+E)}{c+E}$$ 위 식의 양변에 분모를 모두 곱하고 $b=f(a)$인 사실을 이용해 $c$에 대해 풀고$$bc+bE=cf(a+E)\,\Rightarrow\,c\{f(a+E)-f(a)\}=bE\,\Rightarrow\,\frac{f(a+E)-f(a)}{E}=\frac{b}{c}$$ 마지막에 $E=0$으로 놓으면 $c$(접선영)를 구할 수 있다.
페르마의 과정은 식 $\displaystyle\lim_{E\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+E)-f(a)}{E}}$이 $x=a$에서 곡선 $y=f(x)$의 기울기라는 사실을 말한다. 그러나 페르마는 이 과정을 충분히 설명하지 않았고 다만 극대/극소점을 구하는 방법과 비슷하다고 서술했다.
데카르트는 페르마의 방법이 옳지 않다고 공격했고(메르센을 통해 알게됨), 페르마에 대한 도전으로 '데카르트의 엽선' 이라고 알려진 곡선 $x^{3}+y^{3}=3axy$를 제시했다. 결국 데카르트는 페르마의 접선 방법의 타당성을 인정했으나 페르마는 그가 받았어야 할 존경을 받지 못했다.

14. 페르마의 적분
페르마는 1629년에 $y=x^{m}$형태의 곡선 아래의 넓이에 관한 정리-카발리에리가 1635년과 1647년에 출판한 정리- 도 발견했다. 이 넓이를 구할 때 페르마는 $m$이 임의의 양의 정수인 경우에 대한 결과를 이끌어내기 위해 다음의 부등식을 이용했다.$$1^{m}+2^{m}+3^{m}+\cdots+n^{m}>\frac{n^{m+1}}{m+1}>1^{m}+2^{m}+3^{m}+\cdots+(n-1)^{m}$$ 이 공식 자체도 카발리에리의 공식보다 발전된 공식인데 카발리에리는 $m=1$에서 $m=9$인 경우로 한정했기 때문이다. 이 방법은 $m$이 정수 일 때 뿐만이 아니라 분수 일 때도 쓸 수 있다.

페르마는 $y=x^{n}$의 $x=0$에서 $x=a$, $x$축 사이의 넓이를 구할 때 $x=0$에서 $x=a$까지의 구간에 점$$a,\,aE,\,aE^{2},\,aE^{3},\,...\,(0<E<1)$$을 차례로 잡아 무한히 많은 작은 구간으로 나누었다. 이것을 이용하여 직사각형의 합을 이용해 넓이를 근사적으로 계산했다. 이 직사각형들의 넓이는$$a^{n}(a-aE),\,a^{n}E^{n}(aE-aE^{2}),\,a^{n}E^{2n}(aE^{2}-aE^{3}),\,...$$으로 등비수열을 이루며 이들의 합은 다음과 같다.$$\frac{a^{n+1}(1-E)}{1-E^{n+1}}=\frac{a^{n+1}}{1+E+E^{2}+\cdots+E^{n}}$$ $E$가 1에 가까워지면 각 직사각형 넓이들의 합은 곡선 아래의 넓이에 가까워지고 $E=1$이라 하면 $\displaystyle\frac{a^{n+1}}{n+1}$이고 이 값은 $x=0$에서 $x=a$까지 $y=x^{n}$아래의 넓이이다.

분수지수, 즉 $\displaystyle n=\frac{p}{q}$일 때도 성립함을 보이자. 이 경우$$a^{\frac{p+q}{q}}\left(\frac{1-E^{q}}{1-E^{p+q}}\right)=a^{\frac{p+q}{q}}\left(\frac{1+E+E^{2}+\cdots+E^{q-1}}{1+E+E^{2}+\cdots+E^{p+q+1}}\right)$$이고, $E=1$일 때 $\displaystyle\frac{q}{p+q}a^{\frac{p+q}{q}}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$이 된다.

즉, $\displaystyle\int_{0}^{a}{x^{n}dx}=\frac{a^{n+1}}{n+1}$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{x^{n}dx}$를 구하고 싶으면 다음의 식을 이용하면 된다.$$\int_{a}^{b}{x^{n}dx}=\int_{0}^{b}{x^{n}dx}-\int_{0}^{a}{x^{n}dx}$$ -1을 제외한 음의 정수 $n$에 대해서도 페르마는 비슷한 방법을 사용했다.
다만 이 경우는 $E>1$로 택하여 1에 가까이 가져갔다. 그렇게 해서 얻은 넓이는 $x=a$에서 양의 무한대 까지의 구간에서 주어진 곡선 아래의 넓이, $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{x^{-n}dx}$($n$은 양의 정수)'에 해당된다. 따라서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{x^{-n}dx}$를 구하고싶으면 다음의 식을 이용하면 된다.$$\int_{a}^{b}{x^{-n}dx}=\int_{a}^{\infty}{x^{-n}dx}-\int_{b}^{\infty}{x^{-n}dx}$$15. 성 빈센트의 그레고리
$n=-1$인 경우 위에 언급한 과정은 실패했다. 그러나 페르마보다 나이가 많은 동시대 수학자 그레고리가 원과 원뿔곡선 제곱화에 관한 기하학적 연구'에서 이 경우를 해결했다.
이 논문에서 그레고리는 $x$축을 따라 $x=a$에서 시작해 등비수열을 이루는 점들에서 쌍곡선 $xy=1$에 대하여 세로선을 세우면, 이웃한 세로선에 의해 나뉜 쌍곡선 아래의 넓이는 모두 같아지는 것을 보였다. 결국 가로좌표가 기하급수적으로 증가함에 따라 그 곡선 아래의 넓이는 산술적으로 증가하고 식$$\int_{a}^{b}{\frac{1}{x}dx}=\ln b-\ln a$$이 성립함을 알 수 있다. 그러나 불행히도 그레고리는 불가분량의 방법을 잘못 이용하여 원적 문제에 성공했다고 믿었는데 이 실수가 그의 명성을 떨어뜨렸다.
페르마는 무한소 해석의 여러 분야인 접선, 넓이, 부피, 곡선의 길이, 중력의 중심에 관침이 있었다. $y=kx^{n}$의 접선을 구할 때 계속에 지수를 곱하고 지수의 차수를 하나 내리면 되고($y'=knx^{n-1}$) 넓이를 구할 때는 지수의 차수를 올리고 그 차수로 나누면 됨을 알고 있었다$\displaystyle\left(\int{x^{n}dx}=k\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\right)$ 그러나 이 두 관계가 서로 역의 관계에 있다는 사실은 몰랐다. 연대순으로 보면 그의 연구중 적어도 양의 정수 $n$에 대해서는 적분이 미분보다 앞서고, 이것은 그레고리도 마찬가지였다(로그함수의 적분)

16. 수론
페르마가 해석기하학과 무한소 해석에 이바지한 점은 그의 업적 중 단 두가지 측면 뿐이었다. 디오판투스의 '산술'은 16세기에 번역본이 몇 개 나왔으나 디오판투스의 성과가 실용가들에게는 비실용적이었고, 사색가들에게는 기계적이었으나 현대적 수론의 창시자 페르마에게는 상당히 매력적인 것이었다. 완전수와 친화수, 삼각수, 마방진, 피타고라스수, 합성수, 특히 소수에 관한 다채로운 내용이 그의 흥미를 끌었다. 그리고 페르마는 그의 정리 가운데 몇개를 무한강하법 (infinit descent)이라고 이름을 붙이고 증명했다. 이것은 일종의 역방향의 수학적 귀납법이고 페르마가 처음으로 사용했다.
$\sqrt{3}$이 무리수임을 증명하는데 무한강하법을 이용했다.
먼저 $\displaystyle\sqrt{3}=\frac{a_{1}}{b_{1}}$($a_{1}>b_{1},\,a_{1},\,b_{1}$은 양의 정수) 이라 하자, 식 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$가 성립하므로 $\displaystyle\sqrt{3}=\frac{a_{1}}{b_{1}}$을 대입하면 식 $\sqrt{3}=\frac{3b_{1}-a_{1}}{a_{1}-b_{1}}$을 얻는다. 그리고 $3b_{1}-a_{1}=a_{2}$, $a_{1}-b_{1}=b_{2}$라 하면, 부등식 $\displaystyle\frac{3}{2}<\frac{a_{1}}{b_{1}}<2$에 의해 $a_{2},\,b_{2}$는 각각 $a_{1},\,b_{1}$보다 작은 양의 정수이고 $\displaystyle\sqrt{3}=\frac{a_{2}}{b_{2}}$이 된다.

이 과정을 무한히 반복할 수 있고 그결과 $\displaystyle\sqrt{3}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$을 만족하면서 감소하는 정수 an, bn의 무한감소수열을 얻을 수 있는데 이 사실은 최소의 양의 정수가 존재하지 않는다는 잘못된 결론을 이끈다. 따라서 $\sqrt{3}$이 정수의 몫 (유리수)이라는 전제는 틀린 것이다.
이 무한강하법을 이용하여 페르마는 $4n+1$꼴의 모든 소수는 두 제곱수의 합으로 유일하게 나타낼수 있음을 증명할 수 있었다.

(역방향의 귀납적 관계를 이용하면 $4n+1$중 최소의 정수 5는 두 개의 제곱수의 합이 아니라는 틀린 결론이 나온다($5=1^{2}+2^{2}$))

다음으로 $4n-1$형태의 정수는 두 제곱수의 합이 될 수 없다는 사실과 2를 제외한 모든 소수는 $4n+1$ 또는 $4n-1$의 형태 중 어느 하나가 된다는 사실은 쉽게 증명할 수 있으므로 페르마의 정리에 의해 소수는 두 제곱수의 합인 소수와 그렇지 않은 소수로 분류되는 것을 알 수 있다 (23은 그렇지 않고, $29=2^{2}+5^{2}$)

17. 페르마의 정리
페르마는 무한강하법을 이용해 두 세제곱수의 합으로 분해 가능한 세제곱수는 존재하지 않음을 보였다. ($x^{3}+y^{3}=z^{3}$을 만족하는 양의 정수가, $x,\,y,\,z$는 존재하지 않는다) 이것을 더욱 발전시켜 '2보다 큰 점수 $n$에 대해 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$이 되는 양의 정수 $x,\,y,\,z$ 존재하지 않는다는 일반적 문제를 서술했다.
이 정리는 페르마의 마지막 또는 대 정리로 알려졌으나 "여백이 좁아 증명을 쓸 수 없다"고만 써 놓았다. 이 정리는 영국의 앤드류 와일즈에 의해 증명되었고, 이 문제를 해결하려는 연구를 통해 3대 작도문제를 풀려는 노력이 가져다준 성과에 비해 뛰어난 수학적 성과를 얻었다.
페르와의 시대보다 2000년 전 1보다큰 정수 $n$이 소수일 필요충분조건은 $2^{n}-2$가 $n$으로 나누어 떨어질 것이라는 중국의 가설이 있는데 충분조건(⇒)은 맞고, 필요조건 ($\Leftarrow$)은 틀리다 ($2^{341}-1$은 341로 나누어 떨어지나 $341=11\times31$)

페르마의 '소정리'는 위의 충분조건을 일반화한 것이다. 즉 $p$가 소수이고 $a$와 $p$가 서로소일 때 $a^{p-1}-1$은 항상 $p$로 나누어 떨어진다는 정리이다. 다음으로 페로마는 $n=0,\,1,\,2,\,3,\,4$에서 귀납해 '페르마 수'라고 알려진 $2^{2^{n}}+1$형태의 수는 항상 소수라고 했으나 오일러가 $2^{2^{5}}+1$이 합성수임을 밝혔다.
페로마의 소정리의 증명은 라이프니츠의 원고에 담겼고, 1736년 오일러는 이 정리의 일반화된 정리를 증명했다