2-2 무한소 생성원

2-2 무한소 생성원

반 군 \(\{T(t)\}=\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)에 대해 무한소 생성원(infinitesimal generator) \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)는 다음과 같이 정의된다.$$Af=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}$$여기서 \(D(A)\)는 위의 극한이 정의되는 \(f\in X\)들의 집합이고, 다음의 명제는 자명하다.

명제 2.8 생성원 \(A\)와 관련된 \(X\)에서의 \((C_{0})\)(강한 연속 1변수) 반 군 \(\{T(t)\}\)에 대해 \(D(A)\)는 \(X\)의 선형 부분공간이고, \(A\)는 \(D(A)\)에서 \(X\)로의 선형사상이다.

적분가능한 함수 \(h:[a,\,b]\,\rightarrow\,X\)를 찾아야 할 것이다. 리만적분 가능하다면 충분할 것인데 쉽게 정의되고, 리만 적분으로부터 얻어지는 성질들은 친숙하다. 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{h(s)ds}\)는 리만합 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{h(s_{j})(s_{j}-s_{j-1})}\)에서 분할의 노름이 0으로 갈 때 바나흐공간 \(X\)에서의 극한을 취함으로써 정의된다. 다음은 기본적인 성질들이다. 

(i) 리만적분 가능한 함수들의 공간 \(\mathcal{R}=\mathbb{R}([a,\,b],\,X)\)는 벡터공간이고 \(\mathbb{R}\)에서의 리만적분은 선형이다.

(ii) \(h\in\mathcal{R}\)에 대해 \(\displaystyle\|\int_{a}^{b}{h(s)ds}\|\leq\int_{a}^{b}{\|h(s)\|ds}\)

(iii) \(h\in C([a,\,b],\,X)\)이면, \(h\in\mathcal{R}\)이다.

(iv) \(C^{(1)}([a,\,b],\,X)\)를 \([a,\,b]\)에서 연속도함수를 갖는 함수공간이라 하자. 그러면 \(h\in C^{(1)}([a,\,b],\,X)\)에 대해 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\frac{d}{ds}h(s)ds}=h(b)-h(a)\)이다.

(v) \(L\in\mathcal{L}(X)\)이고 \(h\in\mathcal{R}\)이면, \(L\circ h\in\mathcal{R}\)이고 \(\displaystyle L\left(\int_{a}^{b}{h(s)ds}\right)=\int_{a}^{b}{L(h(s))ds}\) 

마지막으로 이상 리만적분은 바나흐공간 \(X\)에서 극한이 존재하는 경우를 제외하고 실수함수에 대해 정의된다. 예를들어 \(h\)가 유계구간 \([0,\,b]\)에서 리만적분 가능하면, \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{h(s)ds}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{h(s)ds}}\)이고, 이 극한이 존재할 때 이상적분이 존재한다. 

명제 2.9 \(\{T(t)\}\)를 생성원이 \(A\)인 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군이라 하자. 그러면 \(D(A)\)는 \(X\)에서 조밀하고 \(T(t)\)에 대해 불변이다. 즉 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)D(A)\subset D(A)\)이다.

게다가 \(A\)는 \(T(t)\)와 교환법칙이 성립한다. 즉, 모든 \(f\in D(A)\)와 \(t\geq0\)에 대해 \(AT(t)f=T(t)Af\)이다. 

증명: \(f\in X\), \(\displaystyle f_{t}=\int_{0}^{t}{T(s)fds}\)라 하자. \(f_{t}\)는 잘 정의되는데 \(T(\cdot)f\in C([0,\,\infty],\,X)\)이고 따라서 국소 리만적분 가능하기 때문이다. 앞에서의 성질 (v)와 반 군의 성질(결합법칙만이 성립), 변수변환을 이용해 임의의 \(h>0\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}T(h)f_{t}&=T(h)\left(\int_{0}^{t}{T(s)fds}\right)=\int_{0}^{t}{T(h)T(s)fds}\\&=\int_{0}^{t}{T(h+s)fds}=\int_{h}^{t+h}{T(s)fds}\end{align*}$$위의 식을 이용해서 다음을 얻는다.$$\begin{align*}\frac{T(h)f_{t}-f_{t}}{t}&=\frac{1}{h}\left\{\int_{h}^{t+h}{T(s)fds}-\int_{0}^{t}{T(s)fds}\right\}\\&=\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)fds}-\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{T(s)fds}\\&\rightarrow T(t)f-T(0)f\,(h\,\rightarrow\,0)\end{align*}$$\(A\)와 \(D(A)\)의 정의로부터 \(f_{t}\in D(A)\)이고 \(Af_{t}=T(t)f-f\)이다. 

\(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(\displaystyle\frac{1}{t}f_{t}=\frac{1}{t}\int_{0}^{t}{T(s)fds}\,\rightarrow\,T(0)f=f\)이고 따라서 \(D(A)\)는 \(X\)에서 조밀하다. 

다음으로 \(f\in D(A)\), \(t\geq0\)이라 하자. 그러면 이 반 군의 원소들은 서로 교환법칙이 성립하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\left\{T(h)-I\right\}T(t)f}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{T(t)\left\{\frac{T(h)-I}{h}f\right\}}=T(t)Af$$그러면 \(T(f)f\in D(A)\)이고 \(AT(t)f=T(t)Af\)가 성립한다. 

정리 2.10 \(\{T(t)\}\)를 생성원이 \(A\)인 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군이라 하자. 그러면 \(f\in D(A)\)와 임의의 \(t\geq0\)에 대해 다음의 적분방정식이 성립한다.$$T(t)f-f=\int_{0}^{t}{T(s)Afds}$$증명: \(f\in D(A)\)라 하고$$G(t)=T(f)-f-\int_{0}^{t}{T(s)Afds}$$라 하자. 다음이 성립함을 보일 것이다.$$(*)\,\left\|\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\right\|\,\rightarrow\,0\,(h\,\rightarrow\,0+)$$다음의 등식이 성립하고$$\begin{align*}&\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\\&=\frac{1}{h}\left\{T(t+h)f-f-\int_{0}^{t+h}{T(s)Afds}-T(t)f+f+\int_{0}^{t}{T(s)Afds}\right\}\\&=\frac{1}{h}\left\{T(t+h)f-T(t)f-\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\right\}\\&=\frac{T(h)T(t)-T(t)f}{h}-\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\\&=\left(\frac{T(h)-I}{h}\right)T(h)f-\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\end{align*}$$위의 등식과 \(f\in D(A)\)이면 \(T(t)f\in D(A)\)라는 성질(명제 2.9)을 이용하면 다음이 성립한다.$$\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{G(t+h)-G(t)}{h}}=AT(t)f-T(t)Af=0$$위의 두 번째 등식은 명제 2.9의 교환법칙으로부터 성립한다. 따라서 식 (*)가 성립한다.

\(h\,\rightarrow\,0+\)일 때 \(\displaystyle\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\)는 \(0\)으로 노름수렴하므로 모든 \(x^{*}\in X^{*}\)(바나흐공간 \(X\)의 쌍대공간)에 대해 \(h\,\rightarrow\,0+\)일 때 \(\displaystyle x^{*}\left(\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\right)\,\rightarrow\,0\)이므로 모든 \(x^{*}\in X^{*}\)에 대해 스칼라 함수 \(x^{*}\circ G\)는 모든 \(t\geq0\)에 대해 값이 0인 우도함수를 갖는다. 또한$$(x^{*}\circ G)(0)=x^{*}\left(T(0)f-f-\int_{0}^{0}{T(s)Afds}\right)=x^{*}(0)=0$$이므로 평균값 정리에 의해 \([0,\,\infty)\)에서 \(x^{*}\circ G=0\)이다. 그러나 한-바나흐 정리에 의해 \([0,\,\infty)\)에서 \(G=0\)이고 따라서 원하는 결과를 얻는다.

정리 2.11 \(\{T(t)\}\)를 \(A\)가 생성원인 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군이라 하고 \(f\in D(A)\)라 하자. 그러면 \(u(t)=T(t)f\)는 \([0,\,\infty)\)에서 연속인 도함수를 갖고, 초기조건 \(u(0)=f\)를 만족하며, 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(\displaystyle\frac{du}{dt}=Au\)이다. 

증명: \(u(0)=T(0)f=f\)이므로 초기조건은 성립한다. 정리 2.10의 증명과정에서 \(\displaystyle G(t)=T(t)f-f-\int_{0}^{t}{T(s)Afds}\)에 우도함수를 구함으로써 모든 \(t\geq0\)에 대해 다음이 성립한다.$$D^{+}u(t)=D^{+}T(t)f=AT(t)f=Au(t)$$이제 임의의 \(t>0\)에 대해 좌도함수 \(D^{-}(t)\)를 구하자. 정리 2.10의 적분방정식과 정리 2.9의 교환법칙과 그 증명과정으로부터 다음이 성립하고$$\begin{align*}D^{-}u(t)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{u(t-h)-u(t)}{-h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{T(t)f-T(t-h)f}{h}}\\&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{1}{h}\int_{t}^{t-h}{T(s)Afds}}=T(t)Af\\&=AT(t)f\end{align*}$$\(D^{+}u(t)=Au(t)=D^{-}u(t)\)이므로 \(\displaystyle\frac{du}{dt}=Au\)이다.

마지막으로 \(\displaystyle\frac{du}{dt}=AT(t)f=T(f)Af\)이므로 \(\displaystyle\frac{du}{dt}\)는 \(t\)에 대해 연속이고 \(u(t)\)는 연속 도함수를 갖는다.

여기서부터 \(X\)는 바나흐공간, '연산자'는 '선형연산자', \(A\)의 정의역 \(D(A)\subset X\)는 \(X\)의 선형 부분공간이다. 

정의 2.12 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)를 연산자라고 하자. \(A\)가 닫혀있을(closed) 필요충분조건은 \(D(A)\)상의 수열 \(\{f_{n}\}\)이 \(\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\)이고 \(\|Af_{n}-g\|\,\rightarrow\,0\)이면 \(f\in D(A)\)이고 \(Af=g\)가 성립하는 것이다.

정의 2.13 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)를 연산자라고 하자.$$\mathcal{G}(A)=\{(x,\,Ax)\in X\times X\,|\,x\in D(A)\}$$를 \(A\)의 그래프(graph)라고 한다. 

\(\mathcal{G}(A)\)가 \(X\times X\)의 부분공간이 됨을 보이는 것은 쉬운데 \(X\times X\)는 노름 \(\|(f,\,g)\|=\|f\|+\|g\|\)에 대해 바나흐공간이기 때문이다. \(\mathcal{G}(A)\)는 분명히 이 노름에 대한 노름 선형공간이다.

명제 2.14 연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \(\mathcal{G}(A)\)가 \(X\times X\)의 닫힌 부분공간인 것이다.

함수 \(|\|f\||=\|f\|+\|Af\|\)는 \(D(A)\)에서의 노름이고, 이 노름을 \(A\)의 그래프 노름(graph norm)이라고 한다. \(D(A)\)가 이 그래프노름을 가진 노름공간일 때, \(A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)\)이다. 

명제 2.15 \(A\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \((D(A),\,|\|\cdot\||)\)가 완비공간이다.

*닫힌 그래프 정리에 의해 \(A\)가 닫혀있고 \(D(A)=X\)이면, \(A\in\mathcal{L}(X)\)이다. 

명제 2.16 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원 \(A\)는 닫혀있다.

보조정리 2.17 \(\{T(t)\}\)를 \((C_{0})\) 반 군, \([a,\,b]\)를 \([0,\,\infty)\)의 임의의 컴팩트 부분구간이라 하자. 그러면 상수 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 다음이 성립한다.$$\|T(t)\|\leq M$$증명: \(\{T(t)\}\)는 \((C_{0})\) 반 군이므로 모든 \(f\in X\)에 대해 함수 \(s\,\mapsto\,T(s)f\)는 \([0,\,\infty)\)에서 \(X\)로의 연속함수이다. 노름은 \(X\)에서 연속함수이므로 \(s\,\mapsto\,\|T(s)f\|\)는 연속 실함수이다. 따라서 상수 \(M_{f}\geq0\)가 존재해서 모든 \(s\in[a,\,b]\)에 대해 \(\|T(s)f\|\leq M_{f}\)이고, 이것은 \(\{T(s)\,|\,a\leq s\leq b\}\)가 강한 유계임을 뜻한다. 균등유계정리에 의해 \(\{T(s)\,|\,a\leq s\leq b\}\)는 노름 유계이고, 이것은 상수 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(s\in[a,\,b]\)에 대해 \(\|T(s)\|\leq M\)가 성립함을 뜻한다. 

명제 2.16의 증명: \(\{f_{n}\}\)을 \(D(A)\)상의 수열이고 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\), \(Af\,\rightarrow\,g\)라 하자. \(f\in D(A)\)이고 \(Af=g\)임을 보여야 한다. 임의의 \(t_{0}>0\)에 대해 보조정리 2.17에 의해 상수 \(M>0\)이 존재해서 모든 \(s\in[0,\,t_{0}]\)에 대해 \(\|T(s)\|\leq M\)이다. 

임의의 \(t\in[0,\,t_{0}]\)에 대해 \(T\)의 유계성과 정리 2.10의 적분방정식에 의해 다음이 성립하고$$\begin{align*}(\text{#})\,T(x)f-f&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{T(t)f_{n}-f_{n}\}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{t}{T(s)Af_{n}ds}}\\&=\int_{0}^{t}{T(s)gds}\end{align*}$$위의 마지막 등식은 다음에 의해 성립한다.$$\begin{align*}\left\|\int_{0}^{t}{T(s)Af_{n}ds}-\int_{0}^{t}{T(s)gds}\right\|&=\left\|\int_{0}^{t}{T(s)\{Af_{n}-g\}ds}\right\|\\&\leq\int_{0}^{t}{\|T(s)\{Af_{n}-g\}\|ds}\\&\leq\int_{0}^{t}{M\|Af_{n}-g\|ds}\\&=tM\|Af_{n}-g\|\\&\,\rightarrow\,0\,(n\,\rightarrow\,\infty)\end{align*}$$등식 (#)과 반 군의 강한 연속성에 의해 다음을 얻고$$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{t}\int_{0}^{t}{T(s)gds}}=g$$생성원의 정의에 의해 \(f\in D(A)\)이고 \(Af=g\)이다. 

명제 2.18 \(\{T(t)\}\)를 생성원이 \(A\)인 \((C_{0})\) 반 군이라고 하자. 그러면 공간 \((D(A),\,|\|\cdot\||)\)는 바나흐공간이고, \(T(t)\)의 \(D(A)\)로의 제한은 \((D(A),\,|\|\cdot\||)\)에서의 반 군이다. 

정리 2.19 \(\{T(t)\}\)와 \(\{S(t)\}\)가 동일한 생성원 \(A\)를 갖는 \((C_{0})\) 반 군이면, 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)=S(t)\)이다. 

정리 2.20 \(A\)를 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원, \(f\in D(A)\)라 하자. 그러면 초기값 문제(또는 코시 문제)$$u'(t)=Au(t),\,u(0)=f$$는 풀 수 있을 뿐만 아니라 유일하게 풀 수 있다. 게다가, 위의 방정식의 유일한 해는 \(t\in[0,\,\infty)\)에 대해 \(u(t)=T(t)\)로 주어진다. 

\((C_{0})\) 반 군의 정의역을 규정하는 것은 어렵고, 연산자의 "핵심(core)"이라고 불리는 작은 부분공간에 대해 다루는 것이 쉽다. 

정의 2.21 \(A\)를 닫힌 연산자라고 하자. 부분공간 \(D\subset D(A)\)가 \(A\)에 대한 핵심(core)일 필요충분조건은 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \(D\)상의 수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\)이고 \(\|Af_{n}-Af\|\,\rightarrow\,0\)이 성립하는 것이다.

명제 2.22 \(D(A)\)의 부분공간 \(D\)가 닫힌 연산자 \(A\)에 대한 핵심일 필요충분조건은 \(D\)가 바나흐공간 \((D(A),\,|\|\cdot\||)\)에서 조밀한 것이다.

정의 2.23 연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 닫힐 수 있을(closable) 필요충분조건은 \(D(A)\)에서의 수열 \(\{f_{n}\}\)에 대해 \(\|f_{n}\|\,\rightarrow\,0\)이고 \(\|Af_{n}-g\|\,\rightarrow\,0\)일 때 \(g=0\)이 성립하는 것이다.

연산자 \(B:D(B)(\subset X)\,\rightarrow\,X\)가 \(A\)의 확장(extension)이라는 것은 \(D(A)\subset D(B)\)이고, 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 \(Bf=Af\)가 성립하는 것이다. \(A\)와 \(B\)가 연산자이면, \(A\subset B\)일 필요충분조건은 \(\mathcal{G}(A)\subset\mathcal{G}(B)\)가 성립하는 것이다.

명제 2.24 연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 닫힐 수 있으면, \(A\)는 적어도 하나의 닫힌 확장 \(\overline{A}\)(\(A\)의 폐포)을 갖고, \(\mathcal{G}(\overline{A})=\overline{\mathcal{G}(A)}\)이다. 

명제 2.25 

(i) 연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)가 닫힐 수 있을 필요충분조건은 \(A\)가 닫힌 확장을 갖는 것이다.

(ii) \(A\)가 닫힐 수 있고, \(\overline{A}\)가 그 폐포이면, \(D(A)\)는 \(\overline{A}\)의 핵심이다.

명제 2.26 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)를 닫힌 연산자라고 하자. 

(i) \(B\in\mathcal{L}(X)\)이면, \(A+B\)는 닫혀있고, \(D(A+B)=D(A)\)이다.

(ii) \(A\)가 단사(일대일)이면, \(A^{-1}\)는 닫혀있다(\(A^{-1}\)가 존재하면, \(A^{-1}\)는 닫혀있다).    

(iii) \(D(A)\)가 \(X\)에서 닫혀있으면, \(A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)\)이고 여기서 \(D(A)\)는 바나흐공간 \(X\)의 노름을 가지고 있다(닫힌 그래프 정리로부터 성립한다).    

명제 2.27 \(A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)\)라 하자. 그러면 \(A\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \(D(A)\)가 닫혀있는 것이다. 

정리 2.28 \(A\)를 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원이라고 하자. 부분공간 \(D\subset (D(A))\)가 \(X\)의 원래 노름 하에서 \(X\)에서 조밀하고, \(D\)가 반 군에 대해 불변, 즉 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(T(t)D\subset D\)이면, \(D\)는 \(A\)의 핵심이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford