2-2 무한소 생성원

2-2 무한소 생성원

반 군 $\{T(t)\}=\{T(t)\,|\,t\geq0\}$에 대해 무한소 생성원(infinitesimal generator) $A:D(A)\,\rightarrow\,X$는 다음과 같이 정의된다. $$Af=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}$$ 여기서 $D(A)$는 위의 극한이 정의되는 $f\in X$들의 집합이고, 다음의 명제는 자명하다.

명제 2.8 생성원 $A$와 관련된 $X$에서의 $(C_{0})$(강한 연속 1변수) 반 군 $\{T(t)\}$에 대해 $D(A)$는 $X$의 선형 부분공간이고, $A$는 $D(A)$에서 $X$로의 선형사상이다.

적분가능한 함수 $h:[a,\,b]\,\rightarrow\,X$를 찾아야 할 것이다. 리만적분 가능하다면 충분할 것인데 쉽게 정의되고, 리만 적분으로부터 얻어지는 성질들은 친숙하다. 적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{h(s)ds}$는 리만합 $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{h(s_{j})(s_{j}-s_{j-1})}$에서 분할의 노름이 0으로 갈 때 바나흐공간 $X$에서의 극한을 취함으로써 정의된다. 다음은 기본적인 성질들이다. 

(i) 리만적분 가능한 함수들의 공간 $\mathcal{R}=\mathbb{R}([a,\,b],\,X)$는 벡터공간이고 $\mathbb{R}$에서의 리만적분은 선형이다.

(ii) $h\in\mathcal{R}$에 대해 $\displaystyle\|\int_{a}^{b}{h(s)ds}\|\leq\int_{a}^{b}{\|h(s)\|ds}$

(iii) $h\in C([a,\,b],\,X)$이면, $h\in\mathcal{R}$이다.

(iv) $C^{(1)}([a,\,b],\,X)$를 $[a,\,b]$에서 연속도함수를 갖는 함수공간이라 하자. 그러면 $h\in C^{(1)}([a,\,b],\,X)$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\frac{d}{ds}h(s)ds}=h(b)-h(a)$이다.

(v) $L\in\mathcal{L}(X)$이고 $h\in\mathcal{R}$이면, $L\circ h\in\mathcal{R}$이고 $\displaystyle L\left(\int_{a}^{b}{h(s)ds}\right)=\int_{a}^{b}{L(h(s))ds}$ 

마지막으로 이상 리만적분은 바나흐공간 $X$에서 극한이 존재하는 경우를 제외하고 실수함수에 대해 정의된다. 예를들어 $h$가 유계구간 $[0,\,b]$에서 리만적분 가능하면, $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{h(s)ds}=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{h(s)ds}}$이고, 이 극한이 존재할 때 이상적분이 존재한다. 

명제 2.9 $\{T(t)\}$를 생성원이 $A$인 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군이라 하자. 그러면 $D(A)$는 $X$에서 조밀하고 $T(t)$에 대해 불변이다. 즉 모든 $t\geq0$에 대해 $T(t)D(A)\subset D(A)$이다.

게다가 $A$는 $T(t)$와 교환법칙이 성립한다. 즉, 모든 $f\in D(A)$와 $t\geq0$에 대해 $AT(t)f=T(t)Af$이다. 

증명: $f\in X$, $\displaystyle f_{t}=\int_{0}^{t}{T(s)fds}$라 하자. $f_{t}$는 잘 정의되는데 $T(\cdot)f\in C([0,\,\infty],\,X)$이고 따라서 국소 리만적분 가능하기 때문이다. 앞에서의 성질 (v)와 반 군의 성질(결합법칙만이 성립), 변수변환을 이용해 임의의 $h>0$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}T(h)f_{t}&=T(h)\left(\int_{0}^{t}{T(s)fds}\right)=\int_{0}^{t}{T(h)T(s)fds}\\&=\int_{0}^{t}{T(h+s)fds}=\int_{h}^{t+h}{T(s)fds}\end{align*}$$ 위의 식을 이용해서 다음을 얻는다. $$\begin{align*}\frac{T(h)f_{t}-f_{t}}{t}&=\frac{1}{h}\left\{\int_{h}^{t+h}{T(s)fds}-\int_{0}^{t}{T(s)fds}\right\}\\&=\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)fds}-\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{T(s)fds}\\&\rightarrow T(t)f-T(0)f\,(h\,\rightarrow\,0)\end{align*}$$ $A$와 $D(A)$의 정의로부터 $f_{t}\in D(A)$이고 $Af_{t}=T(t)f-f$이다. 

$t\,\rightarrow\,0$일 때 $\displaystyle\frac{1}{t}f_{t}=\frac{1}{t}\int_{0}^{t}{T(s)fds}\,\rightarrow\,T(0)f=f$이고 따라서 $D(A)$는 $X$에서 조밀하다. 

다음으로 $f\in D(A)$, $t\geq0$이라 하자. 그러면 이 반 군의 원소들은 서로 교환법칙이 성립하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{h}\left\{T(h)-I\right\}T(t)f}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{T(t)\left\{\frac{T(h)-I}{h}f\right\}}=T(t)Af$$ 그러면 $T(f)f\in D(A)$이고 $AT(t)f=T(t)Af$가 성립한다. 

정리 2.10 $\{T(t)\}$를 생성원이 $A$인 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군이라 하자. 그러면 $f\in D(A)$와 임의의 $t\geq0$에 대해 다음의 적분방정식이 성립한다. $$T(t)f-f=\int_{0}^{t}{T(s)Afds}$$ 증명: $f\in D(A)$라 하고 $$G(t)=T(f)-f-\int_{0}^{t}{T(s)Afds}$$ 라 하자. 다음이 성립함을 보일 것이다. $$(*)\,\left\|\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\right\|\,\rightarrow\,0\,(h\,\rightarrow\,0+)$$ 다음의 등식이 성립하고 $$\begin{align*}&\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\\&=\frac{1}{h}\left\{T(t+h)f-f-\int_{0}^{t+h}{T(s)Afds}-T(t)f+f+\int_{0}^{t}{T(s)Afds}\right\}\\&=\frac{1}{h}\left\{T(t+h)f-T(t)f-\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\right\}\\&=\frac{T(h)T(t)-T(t)f}{h}-\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\\&=\left(\frac{T(h)-I}{h}\right)T(h)f-\frac{1}{h}\int_{t}^{t+h}{T(s)Afds}\end{align*}$$ 위의 등식과 $f\in D(A)$이면 $T(t)f\in D(A)$라는 성질(명제 2.9)을 이용하면 다음이 성립한다. $$\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{G(t+h)-G(t)}{h}}=AT(t)f-T(t)Af=0$$ 위의 두 번째 등식은 명제 2.9의 교환법칙으로부터 성립한다. 따라서 식 (*)가 성립한다.

$h\,\rightarrow\,0+$일 때 $\displaystyle\frac{G(t+h)-G(t)}{h}$는 $0$으로 노름수렴하므로 모든 $x^{*}\in X^{*}$(바나흐공간 $X$의 쌍대공간)에 대해 $h\,\rightarrow\,0+$일 때 $\displaystyle x^{*}\left(\frac{G(t+h)-G(t)}{h}\right)\,\rightarrow\,0$이므로 모든 $x^{*}\in X^{*}$에 대해 스칼라 함수 $x^{*}\circ G$는 모든 $t\geq0$에 대해 값이 0인 우도함수를 갖는다. 또한 $$(x^{*}\circ G)(0)=x^{*}\left(T(0)f-f-\int_{0}^{0}{T(s)Afds}\right)=x^{*}(0)=0$$ 이므로 평균값 정리에 의해 $[0,\,\infty)$에서 $x^{*}\circ G=0$이다. 그러나 한-바나흐 정리에 의해 $[0,\,\infty)$에서 $G=0$이고 따라서 원하는 결과를 얻는다.

정리 2.11 $\{T(t)\}$를 $A$가 생성원인 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군이라 하고 $f\in D(A)$라 하자. 그러면 $u(t)=T(t)f$는 $[0,\,\infty)$에서 연속인 도함수를 갖고, 초기조건 $u(0)=f$를 만족하며, 모든 $t\geq0$에 대해 $\displaystyle\frac{du}{dt}=Au$이다. 

증명: $u(0)=T(0)f=f$이므로 초기조건은 성립한다. 정리 2.10의 증명과정에서 $\displaystyle G(t)=T(t)f-f-\int_{0}^{t}{T(s)Afds}$에 우도함수를 구함으로써 모든 $t\geq0$에 대해 다음이 성립한다. $$D^{+}u(t)=D^{+}T(t)f=AT(t)f=Au(t)$$ 이제 임의의 $t>0$에 대해 좌도함수 $D^{-}(t)$를 구하자. 정리 2.10의 적분방정식과 정리 2.9의 교환법칙과 그 증명과정으로부터 다음이 성립하고 $$\begin{align*}D^{-}u(t)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{u(t-h)-u(t)}{-h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{T(t)f-T(t-h)f}{h}}\\&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{1}{h}\int_{t}^{t-h}{T(s)Afds}}=T(t)Af\\&=AT(t)f\end{align*}$$ $D^{+}u(t)=Au(t)=D^{-}u(t)$이므로 $\displaystyle\frac{du}{dt}=Au$이다.

마지막으로 $\displaystyle\frac{du}{dt}=AT(t)f=T(f)Af$이므로 $\displaystyle\frac{du}{dt}$는 $t$에 대해 연속이고 $u(t)$는 연속 도함수를 갖는다.

여기서부터 $X$는 바나흐공간, '연산자'는 '선형연산자', $A$의 정의역 $D(A)\subset X$는 $X$의 선형 부분공간이다. 

정의 2.12 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$를 연산자라고 하자. $A$가 닫혀있을(closed) 필요충분조건은 $D(A)$상의 수열 $\{f_{n}\}$이 $\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$이고 $\|Af_{n}-g\|\,\rightarrow\,0$이면 $f\in D(A)$이고 $Af=g$가 성립하는 것이다.

정의 2.13 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$를 연산자라고 하자. $$\mathcal{G}(A)=\{(x,\,Ax)\in X\times X\,|\,x\in D(A)\}$$ 를 $A$의 그래프(graph)라고 한다. 

$\mathcal{G}(A)$가 $X\times X$의 부분공간이 됨을 보이는 것은 쉬운데 $X\times X$는 노름 $\|(f,\,g)\|=\|f\|+\|g\|$에 대해 바나흐공간이기 때문이다. $\mathcal{G}(A)$는 분명히 이 노름에 대한 노름 선형공간이다.

명제 2.14 연산자 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$가 닫혀있을 필요충분조건은 $\mathcal{G}(A)$가 $X\times X$의 닫힌 부분공간인 것이다.

함수 $|\|f\||=\|f\|+\|Af\|$는 $D(A)$에서의 노름이고, 이 노름을 $A$의 그래프 노름(graph norm)이라고 한다. $D(A)$가 이 그래프노름을 가진 노름공간일 때, $A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)$이다. 

명제 2.15 $A$가 닫혀있을 필요충분조건은 $(D(A),\,|\|\cdot\||)$가 완비공간이다.

*닫힌 그래프 정리에 의해 $A$가 닫혀있고 $D(A)=X$이면, $A\in\mathcal{L}(X)$이다. 

명제 2.16 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원 $A$는 닫혀있다.

보조정리 2.17 $\{T(t)\}$를 $(C_{0})$ 반 군, $[a,\,b]$를 $[0,\,\infty)$의 임의의 컴팩트 부분구간이라 하자. 그러면 상수 $M>0$이 존재해서 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 다음이 성립한다. $$\|T(t)\|\leq M$$ 증명: $\{T(t)\}$는 $(C_{0})$ 반 군이므로 모든 $f\in X$에 대해 함수 $s\,\mapsto\,T(s)f$는 $[0,\,\infty)$에서 $X$로의 연속함수이다. 노름은 $X$에서 연속함수이므로 $s\,\mapsto\,\|T(s)f\|$는 연속 실함수이다. 따라서 상수 $M_{f}\geq0$가 존재해서 모든 $s\in[a,\,b]$에 대해 $\|T(s)f\|\leq M_{f}$이고, 이것은 $\{T(s)\,|\,a\leq s\leq b\}$가 강한 유계임을 뜻한다. 균등유계정리에 의해 $\{T(s)\,|\,a\leq s\leq b\}$는 노름 유계이고, 이것은 상수 $M>0$이 존재해서 모든 $s\in[a,\,b]$에 대해 $\|T(s)\|\leq M$가 성립함을 뜻한다. 

명제 2.16의 증명: $\{f_{n}\}$을 $D(A)$상의 수열이고 $f_{n}\,\rightarrow\,f$, $Af\,\rightarrow\,g$라 하자. $f\in D(A)$이고 $Af=g$임을 보여야 한다. 임의의 $t_{0}>0$에 대해 보조정리 2.17에 의해 상수 $M>0$이 존재해서 모든 $s\in[0,\,t_{0}]$에 대해 $\|T(s)\|\leq M$이다. 

임의의 $t\in[0,\,t_{0}]$에 대해 $T$의 유계성과 정리 2.10의 적분방정식에 의해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}(\text{#})\,T(x)f-f&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{T(t)f_{n}-f_{n}\}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{t}{T(s)Af_{n}ds}}\\&=\int_{0}^{t}{T(s)gds}\end{align*}$$ 위의 마지막 등식은 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}\left\|\int_{0}^{t}{T(s)Af_{n}ds}-\int_{0}^{t}{T(s)gds}\right\|&=\left\|\int_{0}^{t}{T(s)\{Af_{n}-g\}ds}\right\|\\&\leq\int_{0}^{t}{\|T(s)\{Af_{n}-g\}\|ds}\\&\leq\int_{0}^{t}{M\|Af_{n}-g\|ds}\\&=tM\|Af_{n}-g\|\\&\,\rightarrow\,0\,(n\,\rightarrow\,\infty)\end{align*}$$ 등식 (#)과 반 군의 강한 연속성에 의해 다음을 얻고 $$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{T(t)f-f}{t}}=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{t}\int_{0}^{t}{T(s)gds}}=g$$ 생성원의 정의에 의해 $f\in D(A)$이고 $Af=g$이다. 

명제 2.18 $\{T(t)\}$를 생성원이 $A$인 $(C_{0})$ 반 군이라고 하자. 그러면 공간 $(D(A),\,|\|\cdot\||)$는 바나흐공간이고, $T(t)$의 $D(A)$로의 제한은 $(D(A),\,|\|\cdot\||)$에서의 반 군이다. 

정리 2.19 $\{T(t)\}$와 $\{S(t)\}$가 동일한 생성원 $A$를 갖는 $(C_{0})$ 반 군이면, 모든 $t\geq0$에 대해 $T(t)=S(t)$이다. 

정리 2.20 $A$를 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원, $f\in D(A)$라 하자. 그러면 초기값 문제(또는 코시 문제) $$u'(t)=Au(t),\,u(0)=f$$ 는 풀 수 있을 뿐만 아니라 유일하게 풀 수 있다. 게다가, 위의 방정식의 유일한 해는 $t\in[0,\,\infty)$에 대해 $u(t)=T(t)$로 주어진다. 

$(C_{0})$ 반 군의 정의역을 규정하는 것은 어렵고, 연산자의 "핵심(core)"이라고 불리는 작은 부분공간에 대해 다루는 것이 쉽다. 

정의 2.21 $A$를 닫힌 연산자라고 하자. 부분공간 $D\subset D(A)$가 $A$에 대한 핵심(core)일 필요충분조건은 모든 $f\in D(A)$에 대해 $D$상의 수열 $\{f_{n}\}$이 존재해서 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$이고 $\|Af_{n}-Af\|\,\rightarrow\,0$이 성립하는 것이다.

명제 2.22 $D(A)$의 부분공간 $D$가 닫힌 연산자 $A$에 대한 핵심일 필요충분조건은 $D$가 바나흐공간 $(D(A),\,|\|\cdot\||)$에서 조밀한 것이다.

정의 2.23 연산자 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$가 닫힐 수 있을(closable) 필요충분조건은 $D(A)$에서의 수열 $\{f_{n}\}$에 대해 $\|f_{n}\|\,\rightarrow\,0$이고 $\|Af_{n}-g\|\,\rightarrow\,0$일 때 $g=0$이 성립하는 것이다.

연산자 $B:D(B)(\subset X)\,\rightarrow\,X$가 $A$의 확장(extension)이라는 것은 $D(A)\subset D(B)$이고, 모든 $f\in D(A)$에 대해 $Bf=Af$가 성립하는 것이다. $A$와 $B$가 연산자이면, $A\subset B$일 필요충분조건은 $\mathcal{G}(A)\subset\mathcal{G}(B)$가 성립하는 것이다.

명제 2.24 연산자 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$가 닫힐 수 있으면, $A$는 적어도 하나의 닫힌 확장 $\overline{A}$($A$의 폐포)을 갖고, $\mathcal{G}(\overline{A})=\overline{\mathcal{G}(A)}$이다. 

명제 2.25 

(i) 연산자 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$가 닫힐 수 있을 필요충분조건은 $A$가 닫힌 확장을 갖는 것이다.

(ii) $A$가 닫힐 수 있고, $\overline{A}$가 그 폐포이면, $D(A)$는 $\overline{A}$의 핵심이다.

명제 2.26 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$를 닫힌 연산자라고 하자. 

(i) $B\in\mathcal{L}(X)$이면, $A+B$는 닫혀있고, $D(A+B)=D(A)$이다.

(ii) $A$가 단사(일대일)이면, $A^{-1}$는 닫혀있다($A^{-1}$가 존재하면, $A^{-1}$는 닫혀있다).    

(iii) $D(A)$가 $X$에서 닫혀있으면, $A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)$이고 여기서 $D(A)$는 바나흐공간 $X$의 노름을 가지고 있다(닫힌 그래프 정리로부터 성립한다).    

명제 2.27 $A\in\mathcal{L}(D(A),\,X)$라 하자. 그러면 $A$가 닫혀있을 필요충분조건은 $D(A)$가 닫혀있는 것이다. 

정리 2.28 $A$를 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원이라고 하자. 부분공간 $D\subset (D(A))$가 $X$의 원래 노름 하에서 $X$에서 조밀하고, $D$가 반 군에 대해 불변, 즉 모든 $t\geq0$에 대해 $T(t)D\subset D$이면, $D$는 $A$의 핵심이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford