1-2 파인만 적분(2)

1-2 파인만 적분(2)

앞에서 파인만 적분을 넬슨의 트롯터 곱공식 또는 칵의 해석접속을 통해 접근한다고 했었다. 

넬슨의 트롯터 곱공식  

$g$를 $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$상의 복소함수, $k:\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 모든 $M>0$에 대해 다음의 조건들을 만족하는 복소함수라 하자.

(1) 거의 모든 $\xi$에 대해 $k(\cdot,\,\xi)\in L^{1}([-M,\,M]^{d})$

(2) $\displaystyle\int_{[-M,\,M]^{d}}{k(w,\,\xi)dw}\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$는 $\xi$의 함수이다. 

이러한 함수 $g$를 $k$의 평균적분(integral in the mean)이라 하고, 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{\mathbb{R}^{d}}{k(w,\,\xi)dw}=g(\xi)$$ 만약 $M\,\rightarrow\,\infty$이면 다음이 성립한다. $$\left\|g(\cdot)-\int_{[-M,\,M]^{d}}{k(w,\,\cdot)dw}\right\|_{2}\,\rightarrow\,0$$ 가측함수 $f:\mathbb{R}^{d}\,\rightarrow\,\mathbb{R}(\text{or}\,\mathbb{C})$가 $L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{d})$의 원소가 된다는 것은 유한한 반지름을 갖는 $\mathbb{R}^{d}$상의 모든 공에서 제곱적분 가능하다는 것이다. 

$V:\mathbb{R}^{d}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대해 양수 부분과 음수 부분을 분해한 $V=V_{+}-V_{-}$로 나타낼 것이고, 여기서 $V_{+}(u)=\max\{V(u),\,0\}$, $V_{-}(u)=\max\{-V(u),\,0\}$이다. 마지막으로 $L^{p}(\mathbb{R}^{d})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$는 $\mathbb{R}^{d}$에서의 복소함수들의 벡터공간으로 이 공간의 모든 함수들은 $L^{p}$함수와 본질적 유계함수의 합으로 나타내어진다. 

정리 2.1 $V:\mathbb{R}^{d}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$, $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{d})$, $V_{-}\in L^{p}(\mathbb{R}^{d})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$, 여기서 $p$는 $d\leq 3$일 때 $p=2$, $d=4$이면 $p>2$, $d\geq5$일 때 $\displaystyle p\geq\frac{d}{2}$이다. $\phi\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$라 하자. 그러면 모든 $t>0$에 대해 다음 공식중 우변의 적분은 평균으로써 정의되고(평균적분) $v$에 대한 함수로 $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$의 원소일 때 거의 모든 $v\in\mathbb{R}^{d}$에 대해 존재한다. $$\begin{align*}&\psi_{n}(t,\,v)=\\&\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}\|x_{n}-x_{n-1}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\frac{t}{n}V(x_{n-1})\right)}\\&\times\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}\|x_{n-1}-x_{n-2}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V(x_{n-2})\right)}\\&\times\cdots\times\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}\|x_{2}-x_{1}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V(x_{1})\right)}\\&\times\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{d}{2}}\int_{\mathbb{R}^{d}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}\|x_{1}-x_{0}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V(x_{0})\right)}\\&\times\phi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-2}dx_{n-1}\end{align*}$$ 여기서 $x_{n}=v$이고, 함수 $\psi:(0,\,\infty)\times\mathbb{R}^{d}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 존재해서 모든 $t>0$에 대해 $\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$이고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음이 성립한다. $$\|\psi(t,\,\cdot)\,\rightarrow\,\psi_{n}(t,\,\cdot)\|_{2}\,\rightarrow\,0$$ 여기서 정의한 $\psi_{n}(t,\,v)$에 대한 식은 앞에서 다루었던 파인만의 공식과 다르고, 편의를 위해 $d=1$이라고 하겠다. 따라서 $\psi_{n}(t,\,v)$에 대한 식은 $n$중적분이다.

파인만의 공식과는 달리 여기서의 $\psi_{n}$은 $\psi$로 수렴함은 정리 2.1(노름수렴)에 의해 명확히 정의되고 $|\psi(t,\,\cdot)|^{2}$는 확률밀도이다. 

퍼텐셜의 양의 부분 $V_{+}$는 무한대에서 한 임의의 특이점(singularity)과 제곱적분 가능한 유한한 특이점들의 치역을 갖는다. 음의 부분 $V_{-}$에 대한 가정은 제한적이다. $\|x\|\,\rightarrow\,\infty$일 때 $V_{-}(x)\,\rightarrow\,\infty$인 경우는 허용되지 않고, 유한한 특이점들의 치역에서는 $p$제곱적분 가능해야 하며, $p$는 정리 2.1의 가정을 만족한다. 

정리 2.2 $A$, $B$(유계일 필요는 없고, 교환법칙이 성립할 필요도 없다)가 힐베르트공간 $\mathcal{H}$에서의 자기수반 연산자이고, $A+B$가 $A$의 영역과 $B$의 영역의 교집합에서 본질적 자기수반($A+B$가 그 폐포 $\overline{A+B}$를 포함해서 유일한 자기수반 확장을 가짐)이면, 모든 $u\in\mathcal{H}$에 대해 다음이 성립하고 $$e^{-it\overline{(A+B)}}u=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}A}e^{-i\frac{t}{n}B}\right)^{n}u}$$ $\mathbb{R}$의 유한 부분집합의 임의의 원소 $t$에 대해 균등수렴한다.

정리 2.1과 2.2의 연관성을 찾기 위해 $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R}^{d})$, $\displaystyle A=-\frac{\hslash}{2m}\Delta$, $\displaystyle B=\frac{1}{\hslash}V$라고 하면 $$A+B=\frac{1}{\hslash}\left(-\frac{\hslash^{2}}{2m}\Delta+V\right)=\frac{1}{\hslash}H$$ 이고 여기서 $H$는 에너지연산자(energy operator) 또는 해밀토니안(Hamiltonian)이다. $\displaystyle-\frac{i}{\hslash}\frac{t}{n}V$가 곱해진 연산자의 지수는 $e^{-\frac{i}{\hslash}\frac{t}{n}V}$로 주어지는 곱의 연산자이다. 이것은 $\psi_{n}(t,\,v)$식에서의 초기상태 $\phi$와 작용하는 첫 번째 연산자이다. 그 다음 연산자는 콘볼루션형 적분연산자로 $x_{0}$에 대한 적분과 결합되어있다. 이 연산자는 $e^{i\frac{t}{n}\frac{\hslash}{2m}\Delta}$이고, 이 연산자는 길이가 $\displaystyle\frac{t}{n}$인 시간구간 상의 양자 계에서 자유진동과 대응하는 연산자이다.     

칵의 해석접속

칵은 1947년 코넬 대학에서 개최된 물리학 세미나에서 파인만의 경로적분 강연을 듣고 파인만 적분과 해석학적으로 잘 정의된 위너 적분 사이에 어떤 관계가 있다고 생각했다. 이것은 칵이 위너적분으로부터 해석접속의 개념을 사용해 파인만 적분을 정의하게 된 동기이다.

칵의 아이디어는 다음과 같다. 식 $$\psi_{n}(t,\,v)=\left(\frac{-im}{2\pi\hslash\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\exp\left(\frac{i}{\hslash}\sum_{j=1}^{n}{\frac{m}{2\left(\frac{t}{n}\right)}}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\frac{t}{n}V(x_{j-1})\right)\phi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-1}}$$ 에서 시간 매개변수 $t$를 $-it$(양자역학의 관점에서 허시간(imaginary time))로 대치하면, 위의 식을 위너 적분으로 나타낼 수 있고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 극한을 다루기 위해 르베그 적분이론을 사용할 수 있다.

$\lambda>0$이라 하자. $\psi_{n,\,\lambda}(t,\,v)$에 대한 식에서 $m$을 $i\hslash\lambda$로 대치하면 다음의 식을 얻는다. $$\psi_{n,\,\lambda}(t,\,v)=\left(\frac{\lambda}{2\pi\left(\frac{t}{n}\right)}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\exp\left(\sum_{j=1}^{n}{\frac{-\lambda}{2\left(\frac{t}{n}\right)}(x_{j}-x_{j-1})^{2}}-\frac{i}{\hslash}\frac{t}{n}V(x_{j-1})\right)\phi(x_{0})dx_{1}\cdots dx_{n-1}}$$ 여기서 $x_{n}=v$이다. $\lambda=1$이면, $\psi_{n,\,1}(t,\,v)$식의 우변은 유한개의 분할점에 의해 정의되는 함수의 위너 적분이다. 이것을 보이기 위해 위너공간 $C_{0}([a,\,b])=\{x\in C([0,\,t])\,|\,x(0)=0\}$에서 다음과 같이 정의되는 함수 $G$를 생각하자.

$x\in C_{0}([a,\,b])$와 $v\in\mathbb{R}$에 대해 $$\begin{align*}G(x+v)&=\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V\left(x\left(\frac{t}{n}\right)+v\right)\right)\cdot\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V\left(x\left(\frac{2t}{n}\right)+v\right)\right)\cdots\\&\cdot\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V\left(x\left(\frac{n}{n}\right)+v\right)\right)\cdot\phi(x(t)+v)\,(1)\end{align*}$$ 위너 적분공식을 사용해 함수 $G$의 위너 적분을 구한다. $$\begin{align*}&\int_{C_{0}([0,\,t])}{G(x+v)d\mathfrak{m}(x)}=\left(2\pi\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{-\frac{n}{2}}\\&\cdot\int_{\mathbb{R}^{n}}{\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\sum_{k=0}^{n-1}{V(u_{k}+v)}\right)\phi(u_{n-1}+v)}\\&\cdot\exp\left(-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{(u_{k}-u_{k-1})^{2}}{2\left(\frac{t}{n}\right)}}\right)du_{0}du_{1}\cdots du_{n-1}\,(2)\end{align*}$$ 변수변환 $x_{0}=u_{n-1}+v$, $x_{1}=u_{n-2}+v$,...,$x_{n}=u_{0}+v$에 의해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([0,\,t])}{G(x+v)d\mathfrak{m}(x)}&=\left(2\pi\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\exp\left(\frac{1}{2\left(\frac{t}{n}\right)}(x_{j}-x_{j-1})^{2}-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)V(x_{j-1})\right)\phi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-1}}\,(3)\end{align*}$$ 그러면 $\displaystyle\psi_{n,\,1}(t,\,v)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{G(x+v)d\mathfrak{m}(x)}$이고 위의 과정((1)-(3))을 $x$대신 $\lambda^{-\frac{1}{2}}x$에 대해 되풀이하면 다음의 식을 얻는다. $$\psi_{n,\,\lambda}(t,\,v)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{G(\lambda^{-\frac{1}{2}}x+v)d\mathfrak{m}(x)}$$ 즉 $$\begin{align*}\psi_{n,\,\lambda}(t,\,v)&=\int_{C_{0}([0,\,t])}{\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\left(\frac{t}{n}\right)\left\{V\left(\lambda^{-\frac{1}{2}}x\left(\frac{t}{n}\right)+v\right)+V\left(\lambda^{-\frac{1}{2}}x\left(\frac{2t}{n}\right)+v\right)+\cdots+V(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(t)+v)\right\}\right)}\\&\psi(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(t)+v)d\mathfrak{m}(x)\end{align*}$$ 이고 이 식의 우변 exp의 지수는 적당한 조건에서 적분 $\displaystyle-\frac{i}{\hslash}\int_{0}^{t}{V(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(s)+v)ds}$의 리만합이다. 이것으로부터 다음의 파인만의 근사공식을 얻는다. $$\begin{align*}\psi_{\lambda}(t,\,v)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\psi_{n,\,\lambda}(t,\,v)}\\&=\int_{C_{0}([0,\,t])}{\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\int_{0}^{t}{V(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(s)+v)ds}\right)\phi(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(t)+v)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ 슈뢰딩거 방정식 $\displaystyle\frac{\partial\psi}{\partial s}=-\frac{i}{\hslash}\left\{-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial u^{2}}+V(u)\psi(s,\,u)\right\}$(여기서 $V$는 퍼텐셜에너지, $\phi(\xi)=\psi(0,\,\xi)$는 초기상태)에서 질량 $m$을 $i\hslash\lambda$로 대치하면 다음의 열방정식을 얻고 $$\frac{\partial\psi}{\partial s}=\frac{1}{\lambda}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial u^{2}}-\frac{i}{\hslash}V(u)\psi(s,\,u)$$ 이 열방정식의 해는 다음의 위너 적분으로 나타낼 수 있다. $$\psi_{\lambda}(t,\,v)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\int_{0}^{t}{V(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(s)+v)ds}\right)\phi(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(t)+v)d\mathfrak{m}(x)}$$ 이 식을 파인만-칵 공식(Feynman-Kac formula)(의 버전(version))이라고 한다. 

적당한 조건을 만족하는 $V$와 $\phi\in L_{2}(\mathbb{R})$에 대해 $\psi_{\lambda}(t,\,v)$의 적분식은 모든 $\lambda>0$에 대해 의미가 있다. 이 적분을 해석접속의 개념을 사용해 $\lambda$가 복소수인 경우로 확장하고 $\lambda$를 허수축으로 접근시켜 극한을 취한다. 이때 다음의 두 가지 경우를 생각할 수 있다. 

1. $\psi_{\lambda}(t,\,v)$의 우변을 값(value)으로 간주해 스칼라 값을 갖는 함수로 본다-파인만 해석적분

2. $\psi_{\lambda}(t,\,v)$의 우변을 함수 $\phi\in L_{2}(\mathbb{R})$에 대한 유계작용소로 간주해서 작용소 값을 갖는 함수로 본다-파인만 작용소적분

카메룬은 양자역학에서 다루는 함수 $\displaystyle\exp\left(-\frac{i}{\hslash}\int_{0}^{t}{V(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(s)+v)ds}\right)$를 일반적인 함수 $F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x+v)$로 대치해 다음의 위너적분 $$\int_{C_{0}([0,\,t])}{F(\lambda^{-\frac{1}{2}}x+v)\phi(\lambda^{-\frac{1}{2}}x(t)+v)d\mathfrak{m}(x)}$$ 을 가지고 파인만 적분을 정의하고 슈뢰딩거 방정식의 해를 구했다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

파인만 적분론, 장건수, 민음사