2-3 반 군들의 예와 그 생성원들, 역핵

2-3 반 군들의 예와 그 생성원들, 역핵

여기서는 세 가지 반 군과 그 생성원들을 증명없이 보일 것이다.

예(평행이동 반 군, translation semigroup): $X=L^{2}(\mathbb{R})$, $t\geq0$과 $f\in L^{2}(\mathbb{R})$에 대해 $$(T(t)f)(x)=f(t+x)$$ 라 하자. 그러면 $\{T(t)\,|\,t\geq0\}$은 $(C_{0})$ 축소 반 군이다. 실제로 $T(0)=I$임이 분명하고 $T(s+t)=T(s)T(t)$이다. 또한 모든 $t\geq0$에 대해 $\|T(t)f\|_{2}=\|f\|_{2}$이고 $T(t)$는 축소사상이다. 다음으로 증명없이 생성원의 정확한 형태를 제공할 계산을 할 것이다. 충분히 매끄러운(smooth) 함수 $f$에 대해 $t\,\rightarrow\,0+$일 때 $$\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}=\frac{f(x+t)-f(x)}{t}\,\rightarrow\,f'(x)$$ 이다. 그렇다면 생성원 $A$가 다음과 같이 1계도함수 연산자로 생각할 수 있다. $$A=\frac{d}{dx}$$ 실제로 이 반군은 다음의 성장방정식의 해를 제공한다. $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$ 이때 주의할 점은 정의역이 주어지기 전 까지 연산자 $A$가 완전히 정의되지 않는다는 것이다. 그러나 핵심(core)을 다루는 것이 충분하고 더 편리하다. 

공간 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$을 컴팩트 받침이 $\{T(t)\}$의 생성원 $\displaystyle A=\frac{d}{dx}$에 대한 핵심인 무한번 미분가능한 함수들의 공간이라고 하겠다.

여기에서의 연산자 $T(t)$는 실제로 힐베르트공간 $L^{2}(\mathbb{R})$의 유니타리 연산자이고, $T(t)$는 음의 $t$에 대해서도 잘 정의되며 $\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}$는 유니타리 연산자에 대한 군이다. 게다가 $L^{2}(\mathbb{R})$과 다른 다양한 $L^{p}(\mathbb{R})\,(1\leq p<\infty)$, $C([-\infty,\,\infty])$, $C_{0}(\mathbb{R})$($\mathbb{R}$에서 연속이고 무한대에서 0인 연속함수들의 공간), $BUC(\mathbb{R})$($\mathbb{R}$에서 유계 균등연속함수들의 공간)와 같은 바나흐공간으로 생각할 수 있다. 이러한 경우 $\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}$를 바나흐공간과 대응되는 등거리들의 군이 된다.

위 예의 다른 변형은 고정된 $v\in\mathbb{R}$에 대해 다음과 같이 정의되는 것이다. $$(T(t)f)(x)=f(x+vt)$$ 이것은 상수 속도 $v$에서의 줄의 결정론적 물리 현상에 대한 연산자들의 군이고, 이때 $\displaystyle A=v\frac{d}{dx}$이고 여기에 적절한 편미분방정식은 다음과 같다. $$\frac{\partial u}{\partial t}=v\frac{\partial u}{\partial x},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$ 예(열 반 군, heat semigroup): $X=L^{2}(\mathbb{R})$, $t>0$과 $f\in L^{2}(\mathbb{R})$에 대해 $$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy},\,T(0)=I$$ 라고 하자. 반 군 성질 $T(t)T(s)=T(t+s)$는 채프만-콜모고로프 방정식으로부터 성립한다. 또한 모든 $f\in L^{2}(\mathbb{R})$과 $t\geq0$에 대해 $\|T(t)f\|_{2}\leq\|f\|_{2}$이고 $t\,\rightarrow\,0+$일 때 $\|T(t)f-f\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 따라서 $\{T(t)\,|\,t\geq0\}$은 $(C_{0})$ 축소 반 군이다. 다음으로 증명 없이 생성원 $A$의 형태를 제공할 계산을 할 것이다. $f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})=(\mathcal{D}(\mathbb{R}))$($\mathbb{R}$에서 컴팩트 받침을 갖는 무한번 미분가능한 함수들의 공간)이라 하자. 테일러 정리를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(y)-f(x)=f'(x)(y-x)+\frac{1}{2!}f''(x)(y-x)^{2}+\frac{1}{3!}f^{(3)}(y-x)^{3}+\frac{f^{(4)}(\gamma)}{4!}(y-x)^{4}$$ 여기서 $\gamma$는 $y$와 $x$사이에 있다. $f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})$이면 적당한 $M>0$에 대해 $|f^{(4)}(x)|\leq M$이고, $$\begin{align*}&\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}\\&=\frac{1}{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy}-f(x)\right\}\\&=\frac{1}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{\{f(y)-f(x)\}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&=\frac{f'(x)}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}+\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)^{2}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&+\frac{f^{(3)}(x)}{6t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)e^{-\frac{(y-x)^{3}}{2t}}dy}+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&=\frac{f'(x)}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{ve^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv}+\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{v^{2}e^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv+\frac{f^{(3)}(x)}{6t\sqrt{2\pi t}}}\int_{\mathbb{R}}{v^{3}e^{-\frac{v^{3}}{2t}}dv}\\&+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\,(v=y-x)\\&=\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\sqrt{2\pi}t^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\\&=\frac{1}{2}f''(x)+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\end{align*}$$ 이다. 그러면 $f^{(4)}$는 유계이고 $f$는 컴팩트 받침을 가지므로 $t\,\rightarrow\,0+$일 때 다음이 성립한다. $$\left\|\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}-\frac{1}{2}f''(x)\right\|\leq\frac{M}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{v^{4}e^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv}=\frac{M}{24t\sqrt{2\pi t}}3\sqrt{2\pi}t^{\frac{5}{2}}=\frac{M}{8}t\,\rightarrow\,0$$ 그러면 이 예의 반 군의 생성원 $A$는 함수 $f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})$에 대해 다음과 같아보이고 $$A=\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}$$ $C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})$은 생성원 $A$의 핵심이다. 따라서 이 예의 반 군은 다음의 열방정식에 대한 해를 제공하고 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$ 따라서 열 반 군(heat semigroup)이라고 한다.

여기에서 다룬 다음과 같이 정의되는 반 군 $\{T(t)\}$ $$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy}$$ 는 앞에서 채프만-콜모고로프 방정식에 의해 반 군이라고 설명했고, 그 생성원은 위너과정과 관련이 있다. 실제로 위너공식을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$(T(t)f)(x)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}$$ 이 열 반 군의 생성원의 정의역은 $L^{2}(\mathbb{R})$상의 함수 $f$이고, 이때 $L^{2}(\mathbb{R})$의 함수로서 분포적 도함수(distributional derivatives)를 갖는다. 즉, 이 정의역은 소보레프 공간(sobolev) $H^{2}(\mathbb{R})$이다. 앞에서 언급했던 $C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})$에 대해 추가로 언급하자면, 여기서의 생성원에 대한 유용한 핵심은 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하고, 급격히 감소하는 함수들의 공간인 슈바르츠 공간(Schwartz space) $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R})$이다. 슈바르츠 공간의 함수 $f$는 $|x|\,\rightarrow\,\infty$일 때 모든 음이 아닌 정수 $m,\,n$에 대해 $|x|^{m}f^{(n)}(x)\,\rightarrow\,0$이어야 한다. 

$L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 이 열 반 군은 다음과 같이 주어지고, $$(T(t)f)(x)=\frac{1}{(2\pi t)^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2t}}dy}$$ 그 생성원은 라플라시안에 $\displaystyle\frac{1}{2}$를 곱한 것이다. 즉, $$A=\frac{1}{2}\Delta$$ 이 반 군은 다음의 $\mathbb{R}^{n}$에서의 열(또는 확산) 방정식의 해를 제공한다. $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u,\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$ 이때 생성원을 $$A=-H_{0}\,\left(H_{0}=-\frac{1}{2}\Delta\right)$$ 로 나타내고, $T(t)$ 대신 $e^{-tH_{0}}$로 나타낸다. 이 경우 스펙트럼 이론을 통해 지수는 $(C_{0})$ 반 군의 이론과 분리해 정의할 수 있다. 그 이유는 자유 해밀토니안(free Hamiltonian) $H_{0}$가 자기 수반 연산자(self-adjoint operator)이기 때문이다. 따라서 지수와 위너적분을 이용해 이 반 군을 모든 $f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}(e^{-tH_{0}}f)(x)&=\frac{1}{(2\pi t)^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2t}}dy}\\&=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}\end{align*}$$ 이 $(C_{0})$ 반 군을 $L^{p}(\mathbb{R})\,(1\leq p<\infty)$, $BUC(\mathbb{R})$, $C([-\infty,\,\infty])$와 같은 바나흐공간에서도 정의할 수 있다.             

예(포아송 반 군, Poisson semigroup): $X=BUC(\mathbb{R})$, $t\geq0$, $f\in BUC(\mathbb{R})$에 대해 $$(T(t)f)(x)=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(\lambda t)^{k}}{k!}f(x-k\mu)}\,(\lambda,\,\mu>0)$$ 라 하자. $\{T(t)\}$는 $X$에서 $(C_{0})$ 축소 반 군이고, 그 생성원 $A$는 다음의 연산자로 주어진다. $$(Af)(x)=\lambda\{f(x-\mu)-f(x)\}$$ 이 경우 $A\in\mathcal{L}(X)$이고 $\|A\|\leq2|\lambda|$이다. 

열 반 군과 포아송 반 군은 비슷한 면이 있다. $n=1$로 선택해서 열 반 군에 대한 식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$(e^{-tH_{0}}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(x-y)e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy}$$ 또한 포아송 반 군 식에서 $\lambda=\mu=1$일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$(e^{-tH_{1}}f)(x)=(T(t)f)(x)=e^{-t}\sum_{k=0}^{\infty}{f(x-k)\frac{t^{k}}{k!}}$$ 여기서 $(H_{1}f)(x)=f(x)-f(x-1)$이고, $(e^{-tH_{0}}f)(x)$에 대한 식은 평균이 0이고, 분산이 $t$인 정규분포를 따르는 확률측도 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy$에 대한 적분인 반면, $(e^{-tH_{1}}f)(x)$에 대한 식은 확률질량함수가 $k\,(k=0,\,1,\,2,\,...)$에서 $\displaystyle e^{-t}\frac{t^{k}}{k!}$(평균이 1인 포아송분포)인 이산확률측도에 대한 적분이다. 또한 열 반 군에 대한 식을 모든 $f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$(e^{-tH_{0}}f)(x)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}$$ 열 반 군과 포아송 반 군을 비교하는 목적은 경로 적분의 응용이 위너 과정에만 한정되지 않고, 다양한 확률과정(stochastic processes)들과 연결할 수 있음을 알리기 위해서이다.  

$(C_{0})$ 반 군의 이론으로 돌아가자.

$A:D(A)\,\rightarrow\,X$를 $X$에서의 연산자라고 하자. $A$의 역핵(resolvent) 집합은 다음과 같이 정의된다. $$\rho(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\lambda I-A:D(A)\,\rightarrow\,X\,\text{bijective},\,(\lambda I-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)\}$$ 여기에서 $I$는 $X$에서의 항등연산자이고, $\lambda I-A$대신 $\lambda-A$로 나타낼 것이다.

명제 2.29 

(i) $\rho(A)\neq\emptyset$이면, $A$는 닫혀있다.

(ii) $A$가 닫혀있으면, $\rho(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\lambda I-A:D(A)\,\rightarrow\,X\,\text{bijective}\}$이다.

증명:

(i): $\lambda\in\rho(A)$라 하자. 그러면 $(\lambda-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)$이고 $(\lambda-I)^{-1}$는 분명히 닫혀있다. 따라서 명제 2.21의 (ii)에 의해 $\lambda-A$는 닫혀있고, 명제 2.21의 (i)에 의해 $\lambda-A-\lambda=-A$는 닫혀있다. 따라서 $A$는 닫혀있다.

(ii): $\lambda I-A$를 전단사, $A$를 닫혀있다고 하자. 명제 2.21의 (i)에 의해 $\lambda I-A$는 닫혀있고, 따라서 명제 2.21의 (ii)에 의해 $(\lambda-A)^{-1}$는 닫혀있다. 닫힌 그래프 정리에 의해 $(\lambda-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)$이다.

정의 2.30 $\sigma(A)=\mathbb{C}-\rho(A)$를 $A$의 스펙트럼(spectrum)이라고 한다.

정의 2.31 $\lambda\in\rho(A)$이면, 다음의 연산자 $$R(\lambda)=R(\lambda,\,A)=(\lambda-A)^{-1}$$ 를 $A$의 역핵(연산자)(resolvent (operator))이라고 한다. 

명제 2.32(분해방정식, resolvent equation) $A:D(X)\,\rightarrow\,X$ 를 $X$에서 닫힌 연산자라고 하자. 그러면 모든 $\lambda,\,\mu\in\rho(A)$에 대해 다음이 성립한다. $$R(\lambda,\,A)-R(\mu,\,A)=(\mu-\lambda)R(\lambda,\,A)R(\mu,\,A)$$ 게다가 $R(\lambda,\,A)$와 $R(\mu,\,A)$는 교환법칙이 성립한다.

정리 2.33 $A$를 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원으로 모든 $t\geq0$과 적당한 상수 $\omega\geq0$, $M\geq1$에 대해 다음이 성립한다고 하자. $$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$$ 그러면 $\sigma(A)\subset\{\zeta\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}\zeta\leq\omega\}$이고, 게다가 $\text{Re}\zeta>\omega$이면, 다음이 성립한다. $$R(\zeta,\,A)f=(\zeta-A)^{-1}f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\zeta t}T(t)fdt},\,\forall f\in X$$ 즉, 역핵은 반 군 $T(t)$의 라플라스 변환이다.

$(C_{0})$ 반 군은 정리 2.33의 가정을 만족하고, 정리 2.33의 가정에서, $X$는 복소 바나흐 공간이라고 암시적으로 가정하고, $X$가 실 바나흐 공간에서도 성립하지만, 실수에 대해서만 성립한다. 또한 정리 2.33의 결론의 적분식은 강 연산자 위상에서 수렴한다. 즉, 각 $f\in X$에 대해 $\displaystyle S(\zeta)f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\zeta t}T(t)fdt}$는 수렴하는 이상 리만적분이다. 정리 2.33의 가정에 의해 $\|e^{-\zeta t}T(t)f\|\leq Me^{-(\text{Re}\zeta-\omega)}\|f\|$이고, $S(\zeta)\in\mathcal{L}(X)$, $\displaystyle\|S(\zeta)\|\leq\frac{M}{\text{Re}\zeta-\omega}$이다. 

정리 2.34(지수 공식, exponential formula) 정리 2.33의 가정 하에서 $\text{Re}\zeta>\omega$, $n\geq1,\,n\in\mathbb{Z}$이면, 다음이 성립한다. $$(R(\zeta,\,A))^{n}f=\int_{0}^{\infty}{\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\zeta t}T(t)fdt}$$ 게다가 모든 $f\in X$와 $[0,\,\infty)$의 컴팩트 부분공간 상의 $t$에 대해 다음의 극한은 균등연속이다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{n}{t}R\left(\frac{n}{t},\,A\right)\right)^{-n}f}=T(t)f$$ 즉 $$\left(I-\frac{t}{n}A\right)^{-n}f\,\rightarrow\,T(t)f$$ 이고, 이것을 지수공식이라고 하며, $T(t)=e^{-A}$ 또는 $T(t)=e^{-B}$($A=-B$는 생성원)로 나타낸다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford