2-3 반 군들의 예와 그 생성원들, 역핵

2-3 반 군들의 예와 그 생성원들, 역핵

여기서는 세 가지 반 군과 그 생성원들을 증명없이 보일 것이다.

예(평행이동 반 군, translation semigroup): \(X=L^{2}(\mathbb{R})\), \(t\geq0\)과 \(f\in L^{2}(\mathbb{R})\)에 대해$$(T(t)f)(x)=f(t+x)$$라 하자. 그러면 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)은 \((C_{0})\) 축소 반 군이다. 실제로 \(T(0)=I\)임이 분명하고 \(T(s+t)=T(s)T(t)\)이다. 또한 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(\|T(t)f\|_{2}=\|f\|_{2}\)이고 \(T(t)\)는 축소사상이다. 다음으로 증명없이 생성원의 정확한 형태를 제공할 계산을 할 것이다. 충분히 매끄러운(smooth) 함수 \(f\)에 대해 \(t\,\rightarrow\,0+\)일 때$$\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}=\frac{f(x+t)-f(x)}{t}\,\rightarrow\,f'(x)$$이다. 그렇다면 생성원 \(A\)가 다음과 같이 1계도함수 연산자로 생각할 수 있다.$$A=\frac{d}{dx}$$실제로 이 반군은 다음의 성장방정식의 해를 제공한다.$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$이때 주의할 점은 정의역이 주어지기 전 까지 연산자 \(A\)가 완전히 정의되지 않는다는 것이다. 그러나 핵심(core)을 다루는 것이 충분하고 더 편리하다. 

공간 \(\mathcal{D}(\mathbb{R})\)을 컴팩트 받침이 \(\{T(t)\}\)의 생성원 \(\displaystyle A=\frac{d}{dx}\)에 대한 핵심인 무한번 미분가능한 함수들의 공간이라고 하겠다.

여기에서의 연산자 \(T(t)\)는 실제로 힐베르트공간 \(L^{2}(\mathbb{R})\)의 유니타리 연산자이고, \(T(t)\)는 음의 \(t\)에 대해서도 잘 정의되며 \(\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}\)는 유니타리 연산자에 대한 군이다. 게다가 \(L^{2}(\mathbb{R})\)과 다른 다양한 \(L^{p}(\mathbb{R})\,(1\leq p<\infty)\), \(C([-\infty,\,\infty])\), \(C_{0}(\mathbb{R})\)(\(\mathbb{R}\)에서 연속이고 무한대에서 0인 연속함수들의 공간), \(BUC(\mathbb{R})\)(\(\mathbb{R}\)에서 유계 균등연속함수들의 공간)와 같은 바나흐공간으로 생각할 수 있다. 이러한 경우 \(\{T(t)\,|\,t\in\mathbb{R}\}\)를 바나흐공간과 대응되는 등거리들의 군이 된다.

위 예의 다른 변형은 고정된 \(v\in\mathbb{R}\)에 대해 다음과 같이 정의되는 것이다.$$(T(t)f)(x)=f(x+vt)$$이것은 상수 속도 \(v\)에서의 줄의 결정론적 물리 현상에 대한 연산자들의 군이고, 이때 \(\displaystyle A=v\frac{d}{dx}\)이고 여기에 적절한 편미분방정식은 다음과 같다.$$\frac{\partial u}{\partial t}=v\frac{\partial u}{\partial x},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$예(열 반 군, heat semigroup): \(X=L^{2}(\mathbb{R})\), \(t>0\)과 \(f\in L^{2}(\mathbb{R})\)에 대해$$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy},\,T(0)=I$$라고 하자. 반 군 성질 \(T(t)T(s)=T(t+s)\)는 채프만-콜모고로프 방정식으로부터 성립한다. 또한 모든 \(f\in L^{2}(\mathbb{R})\)과 \(t\geq0\)에 대해 \(\|T(t)f\|_{2}\leq\|f\|_{2}\)이고 \(t\,\rightarrow\,0+\)일 때 \(\|T(t)f-f\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 따라서 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)은 \((C_{0})\) 축소 반 군이다. 다음으로 증명 없이 생성원 \(A\)의 형태를 제공할 계산을 할 것이다. \(f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})=(\mathcal{D}(\mathbb{R}))\)(\(\mathbb{R}\)에서 컴팩트 받침을 갖는 무한번 미분가능한 함수들의 공간)이라 하자. 테일러 정리를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(y)-f(x)=f'(x)(y-x)+\frac{1}{2!}f''(x)(y-x)^{2}+\frac{1}{3!}f^{(3)}(y-x)^{3}+\frac{f^{(4)}(\gamma)}{4!}(y-x)^{4}$$여기서 \(\gamma\)는 \(y\)와 \(x\)사이에 있다. \(f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})\)이면 적당한 \(M>0\)에 대해 \(|f^{(4)}(x)|\leq M\)이고,$$\begin{align*}&\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}\\&=\frac{1}{t}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy}-f(x)\right\}\\&=\frac{1}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{\{f(y)-f(x)\}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&=\frac{f'(x)}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}+\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)^{2}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&+\frac{f^{(3)}(x)}{6t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{(y-x)e^{-\frac{(y-x)^{3}}{2t}}dy}+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{2}}{2t}}dy}\\&=\frac{f'(x)}{t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{ve^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv}+\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{v^{2}e^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv+\frac{f^{(3)}(x)}{6t\sqrt{2\pi t}}}\int_{\mathbb{R}}{v^{3}e^{-\frac{v^{3}}{2t}}dv}\\&+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\,(v=y-x)\\&=\frac{f''(x)}{2t\sqrt{2\pi t}}\sqrt{2\pi}t^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\\&=\frac{1}{2}f''(x)+\frac{1}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f^{(4)}(\gamma)(y-x)^{4}e^{-\frac{(y-x)^{4}}{2t}}dy}\end{align*}$$이다. 그러면 \(f^{(4)}\)는 유계이고 \(f\)는 컴팩트 받침을 가지므로 \(t\,\rightarrow\,0+\)일 때 다음이 성립한다.$$\left\|\frac{(T(t)f)(x)-f(x)}{t}-\frac{1}{2}f''(x)\right\|\leq\frac{M}{24t\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{v^{4}e^{-\frac{v^{2}}{2t}}dv}=\frac{M}{24t\sqrt{2\pi t}}3\sqrt{2\pi}t^{\frac{5}{2}}=\frac{M}{8}t\,\rightarrow\,0$$그러면 이 예의 반 군의 생성원 \(A\)는 함수 \(f\in C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})\)에 대해 다음과 같아보이고$$A=\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}$$\(C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})\)은 생성원 \(A\)의 핵심이다. 따라서 이 예의 반 군은 다음의 열방정식에 대한 해를 제공하고$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$따라서 열 반 군(heat semigroup)이라고 한다.

여기에서 다룬 다음과 같이 정의되는 반 군 \(\{T(t)\}\)$$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{2t}}dy}$$는 앞에서 채프만-콜모고로프 방정식에 의해 반 군이라고 설명했고, 그 생성원은 위너과정과 관련이 있다. 실제로 위너공식을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$(T(t)f)(x)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}$$이 열 반 군의 생성원의 정의역은 \(L^{2}(\mathbb{R})\)상의 함수 \(f\)이고, 이때 \(L^{2}(\mathbb{R})\)의 함수로서 분포적 도함수(distributional derivatives)를 갖는다. 즉, 이 정의역은 소보레프 공간(sobolev) \(H^{2}(\mathbb{R})\)이다. 앞에서 언급했던 \(C_{00}^{(\infty)}(\mathbb{R})\)에 대해 추가로 언급하자면, 여기서의 생성원에 대한 유용한 핵심은 \(\mathbb{R}\)에서 무한번 미분가능하고, 급격히 감소하는 함수들의 공간인 슈바르츠 공간(Schwartz space) \(\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R})\)이다. 슈바르츠 공간의 함수 \(f\)는 \(|x|\,\rightarrow\,\infty\)일 때 모든 음이 아닌 정수 \(m,\,n\)에 대해 \(|x|^{m}f^{(n)}(x)\,\rightarrow\,0\)이어야 한다. 

\(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 이 열 반 군은 다음과 같이 주어지고,$$(T(t)f)(x)=\frac{1}{(2\pi t)^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2t}}dy}$$그 생성원은 라플라시안에 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)를 곱한 것이다. 즉,$$A=\frac{1}{2}\Delta$$이 반 군은 다음의 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 열(또는 확산) 방정식의 해를 제공한다.$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\Delta u,\,u(0,\,\cdot)=f(\cdot)$$이때 생성원을$$A=-H_{0}\,\left(H_{0}=-\frac{1}{2}\Delta\right)$$로 나타내고, \(T(t)\) 대신 \(e^{-tH_{0}}\)로 나타낸다. 이 경우 스펙트럼 이론을 통해 지수는 \((C_{0})\) 반 군의 이론과 분리해 정의할 수 있다. 그 이유는 자유 해밀토니안(free Hamiltonian) \(H_{0}\)가 자기 수반 연산자(self-adjoint operator)이기 때문이다. 따라서 지수와 위너적분을 이용해 이 반 군을 모든 \(f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}(e^{-tH_{0}}f)(x)&=\frac{1}{(2\pi t)^{\frac{n}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(y)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2t}}dy}\\&=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}\end{align*}$$이 \((C_{0})\) 반 군을 \(L^{p}(\mathbb{R})\,(1\leq p<\infty)\), \(BUC(\mathbb{R})\), \(C([-\infty,\,\infty])\)와 같은 바나흐공간에서도 정의할 수 있다.             

예(포아송 반 군, Poisson semigroup): \(X=BUC(\mathbb{R})\), \(t\geq0\), \(f\in BUC(\mathbb{R})\)에 대해$$(T(t)f)(x)=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(\lambda t)^{k}}{k!}f(x-k\mu)}\,(\lambda,\,\mu>0)$$라 하자. \(\{T(t)\}\)는 \(X\)에서 \((C_{0})\) 축소 반 군이고, 그 생성원 \(A\)는 다음의 연산자로 주어진다.$$(Af)(x)=\lambda\{f(x-\mu)-f(x)\}$$이 경우 \(A\in\mathcal{L}(X)\)이고 \(\|A\|\leq2|\lambda|\)이다. 

열 반 군과 포아송 반 군은 비슷한 면이 있다. \(n=1\)로 선택해서 열 반 군에 대한 식을 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$(e^{-tH_{0}}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(x-y)e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy}$$또한 포아송 반 군 식에서 \(\lambda=\mu=1\)일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$(e^{-tH_{1}}f)(x)=(T(t)f)(x)=e^{-t}\sum_{k=0}^{\infty}{f(x-k)\frac{t^{k}}{k!}}$$여기서 \((H_{1}f)(x)=f(x)-f(x-1)\)이고, \((e^{-tH_{0}}f)(x)\)에 대한 식은 평균이 0이고, 분산이 \(t\)인 정규분포를 따르는 확률측도 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy\)에 대한 적분인 반면, \((e^{-tH_{1}}f)(x)\)에 대한 식은 확률질량함수가 \(k\,(k=0,\,1,\,2,\,...)\)에서 \(\displaystyle e^{-t}\frac{t^{k}}{k!}\)(평균이 1인 포아송분포)인 이산확률측도에 대한 적분이다. 또한 열 반 군에 대한 식을 모든 \(f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$(e^{-tH_{0}}f)(x)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f(p(t)+x)d\mathfrak{m}(p)}$$열 반 군과 포아송 반 군을 비교하는 목적은 경로 적분의 응용이 위너 과정에만 한정되지 않고, 다양한 확률과정(stochastic processes)들과 연결할 수 있음을 알리기 위해서이다.  

\((C_{0})\) 반 군의 이론으로 돌아가자.

\(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)를 \(X\)에서의 연산자라고 하자. \(A\)의 역핵(resolvent) 집합은 다음과 같이 정의된다.$$\rho(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\lambda I-A:D(A)\,\rightarrow\,X\,\text{bijective},\,(\lambda I-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)\}$$여기에서 \(I\)는 \(X\)에서의 항등연산자이고, \(\lambda I-A\)대신 \(\lambda-A\)로 나타낼 것이다.

명제 2.29 

(i) \(\rho(A)\neq\emptyset\)이면, \(A\)는 닫혀있다.

(ii) \(A\)가 닫혀있으면, \(\rho(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\lambda I-A:D(A)\,\rightarrow\,X\,\text{bijective}\}\)이다.

증명:

(i): \(\lambda\in\rho(A)\)라 하자. 그러면 \((\lambda-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)\)이고 \((\lambda-I)^{-1}\)는 분명히 닫혀있다. 따라서 명제 2.21의 (ii)에 의해 \(\lambda-A\)는 닫혀있고, 명제 2.21의 (i)에 의해 \(\lambda-A-\lambda=-A\)는 닫혀있다. 따라서 \(A\)는 닫혀있다.

(ii): \(\lambda I-A\)를 전단사, \(A\)를 닫혀있다고 하자. 명제 2.21의 (i)에 의해 \(\lambda I-A\)는 닫혀있고, 따라서 명제 2.21의 (ii)에 의해 \((\lambda-A)^{-1}\)는 닫혀있다. 닫힌 그래프 정리에 의해 \((\lambda-A)^{-1}\in\mathcal{L}(X)\)이다.

정의 2.30 \(\sigma(A)=\mathbb{C}-\rho(A)\)를 \(A\)의 스펙트럼(spectrum)이라고 한다.

정의 2.31 \(\lambda\in\rho(A)\)이면, 다음의 연산자$$R(\lambda)=R(\lambda,\,A)=(\lambda-A)^{-1}$$를 \(A\)의 역핵(연산자)(resolvent (operator))이라고 한다. 

명제 2.32(분해방정식, resolvent equation) \(A:D(X)\,\rightarrow\,X\) 를 \(X\)에서 닫힌 연산자라고 하자. 그러면 모든 \(\lambda,\,\mu\in\rho(A)\)에 대해 다음이 성립한다.$$R(\lambda,\,A)-R(\mu,\,A)=(\mu-\lambda)R(\lambda,\,A)R(\mu,\,A)$$게다가 \(R(\lambda,\,A)\)와 \(R(\mu,\,A)\)는 교환법칙이 성립한다.

정리 2.33 \(A\)를 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원으로 모든 \(t\geq0\)과 적당한 상수 \(\omega\geq0\), \(M\geq1\)에 대해 다음이 성립한다고 하자.$$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$$그러면 \(\sigma(A)\subset\{\zeta\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}\zeta\leq\omega\}\)이고, 게다가 \(\text{Re}\zeta>\omega\)이면, 다음이 성립한다.$$R(\zeta,\,A)f=(\zeta-A)^{-1}f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\zeta t}T(t)fdt},\,\forall f\in X$$즉, 역핵은 반 군 \(T(t)\)의 라플라스 변환이다.

\((C_{0})\) 반 군은 정리 2.33의 가정을 만족하고, 정리 2.33의 가정에서, \(X\)는 복소 바나흐 공간이라고 암시적으로 가정하고, \(X\)가 실 바나흐 공간에서도 성립하지만, 실수에 대해서만 성립한다. 또한 정리 2.33의 결론의 적분식은 강 연산자 위상에서 수렴한다. 즉, 각 \(f\in X\)에 대해 \(\displaystyle S(\zeta)f=\int_{0}^{\infty}{e^{-\zeta t}T(t)fdt}\)는 수렴하는 이상 리만적분이다. 정리 2.33의 가정에 의해 \(\|e^{-\zeta t}T(t)f\|\leq Me^{-(\text{Re}\zeta-\omega)}\|f\|\)이고, \(S(\zeta)\in\mathcal{L}(X)\), \(\displaystyle\|S(\zeta)\|\leq\frac{M}{\text{Re}\zeta-\omega}\)이다. 

정리 2.34(지수 공식, exponential formula) 정리 2.33의 가정 하에서 \(\text{Re}\zeta>\omega\), \(n\geq1,\,n\in\mathbb{Z}\)이면, 다음이 성립한다.$$(R(\zeta,\,A))^{n}f=\int_{0}^{\infty}{\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\zeta t}T(t)fdt}$$게다가 모든 \(f\in X\)와 \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분공간 상의 \(t\)에 대해 다음의 극한은 균등연속이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{n}{t}R\left(\frac{n}{t},\,A\right)\right)^{-n}f}=T(t)f$$즉$$\left(I-\frac{t}{n}A\right)^{-n}f\,\rightarrow\,T(t)f$$이고, 이것을 지수공식이라고 하며, \(T(t)=e^{-A}\) 또는 \(T(t)=e^{-B}\)(\(A=-B\)는 생성원)로 나타낸다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford