2-5 섭동 정리

2-5 섭동 정리

정리 2.59 \(A\)를 \((C_{0})\) 축소 반 군의 생성원, \(B\)를 흩어짐 연산자로 \(D(A)\subset D(B)\), 상수 \(0\leq a<1\)와 \(b\geq0\)가 존재해서 다음이 성립한다고 하자.$$\|Bf\|\leq a\|Af\|+b\|f\|\,\forall f\in D(A)$$그러면 \(A+B\)(정의역은 \(D(A)\))는 \((C_{0})\) 반 군의 생성원이다. 

\(B\)가 정리 2.6(섭동 정리)에서의 유계 연산자이면, 정리 2.59의 결론은 \(a=0\), \(b=\|B\|\)로 성립한다. 

정의 2.60 \(A\)를 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원이라 하자. \(\mathcal{P}(A)\)를 다음을 만족하는 \(X\)상의 연산자들의 집합으로 정의한다.

(i) \(D(A)\subset D(B)\)이고 \(B\)는 닫혀있다.

(ii) 함수 \(K:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)가 존재해서 모든 \(t>0\)와 \(f\in D(A)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\|BT(t)f\|\leq K(t)\|f\|,\,\int_{0}^{1}{K(t)dt}<\infty$$정리 2.61 \(A\)를 \(X\)에서 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)의 생성원, \(B\in\mathcal{P}(A)\)라 하자. 그러면 \(A+B\)(정의역은 \(D(A)\))는 다음과 같이 섭동급수로 나타내어지는 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)를 생성한다.$$S(t)=\sum_{n=0}^{\infty}{S_{n}(t)},\,S_{0}(t)=T(t)\,(n=0,\,1,\,2,\,...),\,S_{n+1}(t)f=\int_{0}^{t}{T(t-s)BS_{n}(s)fds}\,(f\in X)$$위의 급수는 연산자 노름에서 절대수렴하고, \([0,\,\infty)\)의 임의의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴한다. 

정의 2.60에서 조건 (ii)는 \(B\in\mathcal{L}(X)\)뿐만 아니라 비유계인 \(B\)에 대해서도 성립한다. 

예: \(X=BUC(\mathbb{R})\), \(\{T(t)\}\)를 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 축소 반 군으로 다음과 같이 정의된다고 하자.$$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}}dy}$$이 반 군 \(\{T(t)\}\)는 다음의 연산자를 갖고$$A=\frac{d^{2}}{dx^{2}}$$여기서$$D(A)=\{f\in X\,|\,f',\,f''\in X\}$$이다. \((Bf)(x)=h(x)f'(x)\)라 하자. 여기서 \(h\in X\)이고$$D(B)=\{f\in X\,|\,f\,\text{is continuously differentiable in a neighborhood of each}\,x_{0}\,\text{for which}\,h(x_{0})\neq0,\,hf'\in X\}$$그러면 \(B\in\mathcal{P}(A)\)이고 정리 2.61에 의해 \(A+B\)는 \((C_{0})\)축소 반 군 \(\{S(t)\}\)를 생성하고 이 반 군은 정리 2.61에 있는 급수 형태이다.

정의 2.62 \(A:D(A)\,\rightarrow\,X\)를 \(X\)상의 연산자라고 하자. \(X\)상의 연산자 \(B\)가 \(A\)의 가토 섭동(Kato perturbation)일 필요충분조건은 \(D(A)\subset D(B)\)이고 모든 \(a>0\)에 대해 상수 \(b=b(a)>0\)가 존재해서 모든 \(f\in D(A)\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\|Bf\|\leq a\|Af\|+b\|f\|$$따름정리 2.63 \(A\)가 \((C_{0})\) 축소 반 군을 생성하고 \(B\)가 \(A\)의 흩어짐 가토 섭동이면, \(A+B\)(정의역은 \(A\))는 \((C_{0})\) 축소 반 군을 생성한다.

따름정리 2.64 \(A\)가 복소 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)에서의 자기수반 연산자이고 \(B\)가 \(A\)의 대칭 가토 섭동이면, \(A+B\)(정의역은 \(D(A)\))는 자기수반이다.

정리 2.65 \(A_{n}(n=0,\,1,\,2,\,...)\)가 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)를 생성하고 이 반 군들의 집합족이 다음의 "안정성 조건(stability condition)"을 만족한다고 하자.$$\|T_{n}(t)\|\leq Me^{\omega t},\,n=0,\,1,\,..,\,t\geq0$$여기서 \(M\)과 \(\omega\)는 \(n\)과 \(t\)에 무관하다. \(\mathcal{D}\)를 \(A_{0}\)의 핵심, \(f\in\mathcal{D}\)에 대해 다음이 성립한다고 가정하자.$$f\in\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf D(A_{n})}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\bigcap_{m=n}^{\infty}{D(A_{m})}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A_{n}f}=A_{0}f$$그러면 모든 \(g\in X\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)g}=T_{0}(t)g\)이고 여기서 수렴은 \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대한 균등수렴이다.

정리 2.66 (트롯터, 네브, 가토, 체르노프 정리, Trotter, Neveu, Kato, Chernoff theorem) \(A_{n}\,(n=0,\,1,\,2,\,...)\)을 \((C_{0})\)상의 반 군 \(\{T_{n}(t)\}\)를 생성하고 정리 2.65의 안정성 조건을 만족해서 \(M\), \(\omega\)가 \(n,\,t\)와 무관하다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) 모든 \(t\geq0\)과 \(f\in X\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f\)이면 모든 \(f\in X\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda,\,A_{n})f}=R(\lambda,\,A_{0})f\)이고 \((\omega,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(\lambda\)에 대해 균등수렴한다. 

(ii) 모든 \(f\in X\)와 \(\lambda>\omega\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda,\,A_{n})f}=R(\lambda,\,A_{0})f\)이면, 모든 \(f\in X\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f\)이고, \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등수렴한다.  

정리 2.67 \(A_{n}(n=1,\,2,\,...)\)이 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T_{n}(t)\}\)를 생성하고 \(t\)와 \(n\)에 대해 독립인 \(M\)과 \(\omega\)에 대해 \(\|T_{n}(t)\|\leq Me^{\omega t}\), \(\lambda_{0}\)이 \(\text{Re}\lambda_{0}>\omega\)이고 모든 \(f\in X\)와 적당한 \(X\)상의 전사 연산자 \(R\)에 대해 다음이 성립한다고 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda_{0},\,A_{n})f}=Rf$$그러면 반 군 생성원 \(A_{0}\)와 이 생성원에 대응되는 반 군 \(\{T_{0}(t)\}\)가 존재해서 \(R=R(\lambda_{0},\,A_{0})\)이고 모든 \(f\in X\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f\)가 성립하고, \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등수렴한다.

정리 2.68 \(A\)가 \(X\)에서의 \((C_{0})\) 반 군 \(\{T(t)\}\)를 생성하고 \(f\in D(A)\), 다음의 둘 중 하나가 성립한다고 하자.

(i) \(g\in C([0,\,\infty),\,X)\)이고 \(D(A)\)에서 값을 갖고, \(Ag\in C([0,\,\infty),\,X)\)가 성립한다.

(ii) \(g\in C^{(1)}([0,\,\infty),\,X)\)(\(X\)-값을 갖는 \([0,\,\infty)\)에서 연속 도함수를 갖는 함수들의 공간)

그러면 다음의 비동차 코시문제$$u'(t)=Au(t)+g(t),\,u(0)=f$$는 \(D(A)\)에서 값을 갖는 유일해 \(u\in C^{(1)}([0,\,\infty),\,X)\)를 갖고, 모든 \(t\geq0\)에 대해 다음이 성립한다.$$u(t)=T(t)f+\int_{0}^{t}{T(t-s)g(s)ds}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford