2-5 섭동 정리

2-5 섭동 정리

정리 2.59 $A$를 $(C_{0})$ 축소 반 군의 생성원, $B$를 흩어짐 연산자로 $D(A)\subset D(B)$, 상수 $0\leq a<1$와 $b\geq0$가 존재해서 다음이 성립한다고 하자. $$\|Bf\|\leq a\|Af\|+b\|f\|\,\forall f\in D(A)$$ 그러면 $A+B$(정의역은 $D(A)$)는 $(C_{0})$ 반 군의 생성원이다. 

$B$가 정리 2.6(섭동 정리)에서의 유계 연산자이면, 정리 2.59의 결론은 $a=0$, $b=\|B\|$로 성립한다. 

정의 2.60 $A$를 $X$에서의 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원이라 하자. $\mathcal{P}(A)$를 다음을 만족하는 $X$상의 연산자들의 집합으로 정의한다.

(i) $D(A)\subset D(B)$이고 $B$는 닫혀있다.

(ii) 함수 $K:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$가 존재해서 모든 $t>0$와 $f\in D(A)$에 대해 다음이 성립한다. $$\|BT(t)f\|\leq K(t)\|f\|,\,\int_{0}^{1}{K(t)dt}<\infty$$ 정리 2.61 $A$를 $X$에서 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$의 생성원, $B\in\mathcal{P}(A)$라 하자. 그러면 $A+B$(정의역은 $D(A)$)는 다음과 같이 섭동급수로 나타내어지는 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$를 생성한다. $$S(t)=\sum_{n=0}^{\infty}{S_{n}(t)},\,S_{0}(t)=T(t)\,(n=0,\,1,\,2,\,...),\,S_{n+1}(t)f=\int_{0}^{t}{T(t-s)BS_{n}(s)fds}\,(f\in X)$$ 위의 급수는 연산자 노름에서 절대수렴하고, $[0,\,\infty)$의 임의의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴한다. 

정의 2.60에서 조건 (ii)는 $B\in\mathcal{L}(X)$뿐만 아니라 비유계인 $B$에 대해서도 성립한다. 

예: $X=BUC(\mathbb{R})$, $\{T(t)\}$를 $X$에서의 $(C_{0})$ 축소 반 군으로 다음과 같이 정의된다고 하자. $$(T(t)f)(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{f(y)e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}}dy}$$ 이 반 군 $\{T(t)\}$는 다음의 연산자를 갖고 $$A=\frac{d^{2}}{dx^{2}}$$ 여기서 $$D(A)=\{f\in X\,|\,f',\,f''\in X\}$$ 이다. $(Bf)(x)=h(x)f'(x)$라 하자. 여기서 $h\in X$이고 $$D(B)=\{f\in X\,|\,f\,\text{is continuously differentiable in a neighborhood of each}\,x_{0}\,\text{for which}\,h(x_{0})\neq0,\,hf'\in X\}$$ 그러면 $B\in\mathcal{P}(A)$이고 정리 2.61에 의해 $A+B$는 $(C_{0})$축소 반 군 $\{S(t)\}$를 생성하고 이 반 군은 정리 2.61에 있는 급수 형태이다.

정의 2.62 $A:D(A)\,\rightarrow\,X$를 $X$상의 연산자라고 하자. $X$상의 연산자 $B$가 $A$의 가토 섭동(Kato perturbation)일 필요충분조건은 $D(A)\subset D(B)$이고 모든 $a>0$에 대해 상수 $b=b(a)>0$가 존재해서 모든 $f\in D(A)$에 대해 다음이 성립하는 것이다. $$\|Bf\|\leq a\|Af\|+b\|f\|$$ 따름정리 2.63 $A$가 $(C_{0})$ 축소 반 군을 생성하고 $B$가 $A$의 흩어짐 가토 섭동이면, $A+B$(정의역은 $A$)는 $(C_{0})$ 축소 반 군을 생성한다.

따름정리 2.64 $A$가 복소 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$에서의 자기수반 연산자이고 $B$가 $A$의 대칭 가토 섭동이면, $A+B$(정의역은 $D(A)$)는 자기수반이다.

정리 2.65 $A_{n}(n=0,\,1,\,2,\,...)$가 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$를 생성하고 이 반 군들의 집합족이 다음의 "안정성 조건(stability condition)"을 만족한다고 하자. $$\|T_{n}(t)\|\leq Me^{\omega t},\,n=0,\,1,\,..,\,t\geq0$$ 여기서 $M$과 $\omega$는 $n$과 $t$에 무관하다. $\mathcal{D}$를 $A_{0}$의 핵심, $f\in\mathcal{D}$에 대해 다음이 성립한다고 가정하자. $$f\in\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf D(A_{n})}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\bigcap_{m=n}^{\infty}{D(A_{m})}},\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A_{n}f}=A_{0}f$$ 그러면 모든 $g\in X$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)g}=T_{0}(t)g$이고 여기서 수렴은 $[0,\,\infty)$의 컴팩트 부분집합에 속하는 $t$에 대한 균등수렴이다.

정리 2.66 (트롯터, 네브, 가토, 체르노프 정리, Trotter, Neveu, Kato, Chernoff theorem) $A_{n}\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$을 $(C_{0})$상의 반 군 $\{T_{n}(t)\}$를 생성하고 정리 2.65의 안정성 조건을 만족해서 $M$, $\omega$가 $n,\,t$와 무관하다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(i) 모든 $t\geq0$과 $f\in X$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f$이면 모든 $f\in X$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda,\,A_{n})f}=R(\lambda,\,A_{0})f$이고 $(\omega,\,\infty)$의 컴팩트 부분집합에 속하는 $\lambda$에 대해 균등수렴한다. 

(ii) 모든 $f\in X$와 $\lambda>\omega$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda,\,A_{n})f}=R(\lambda,\,A_{0})f$이면, 모든 $f\in X$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f$이고, $[0,\,\infty)$의 컴팩트 부분집합에 속하는 $t$에 대해 균등수렴한다.  

정리 2.67 $A_{n}(n=1,\,2,\,...)$이 $(C_{0})$ 반 군 $\{T_{n}(t)\}$를 생성하고 $t$와 $n$에 대해 독립인 $M$과 $\omega$에 대해 $\|T_{n}(t)\|\leq Me^{\omega t}$, $\lambda_{0}$이 $\text{Re}\lambda_{0}>\omega$이고 모든 $f\in X$와 적당한 $X$상의 전사 연산자 $R$에 대해 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R(\lambda_{0},\,A_{n})f}=Rf$$ 그러면 반 군 생성원 $A_{0}$와 이 생성원에 대응되는 반 군 $\{T_{0}(t)\}$가 존재해서 $R=R(\lambda_{0},\,A_{0})$이고 모든 $f\in X$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{T_{n}(t)f}=T_{0}(t)f$가 성립하고, $[0,\,\infty)$의 컴팩트 부분집합에 속하는 $t$에 대해 균등수렴한다.

정리 2.68 $A$가 $X$에서의 $(C_{0})$ 반 군 $\{T(t)\}$를 생성하고 $f\in D(A)$, 다음의 둘 중 하나가 성립한다고 하자.

(i) $g\in C([0,\,\infty),\,X)$이고 $D(A)$에서 값을 갖고, $Ag\in C([0,\,\infty),\,X)$가 성립한다.

(ii) $g\in C^{(1)}([0,\,\infty),\,X)$($X$-값을 갖는 $[0,\,\infty)$에서 연속 도함수를 갖는 함수들의 공간)

그러면 다음의 비동차 코시문제 $$u'(t)=Au(t)+g(t),\,u(0)=f$$ 는 $D(A)$에서 값을 갖는 유일해 $u\in C^{(1)}([0,\,\infty),\,X)$를 갖고, 모든 $t\geq0$에 대해 다음이 성립한다. $$u(t)=T(t)f+\int_{0}^{t}{T(t-s)g(s)ds}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford