2-7 스펙트럼 정리의 응용(1)

2-7 스펙트럼 정리의 응용(1)

자유 해밀토니안 \(H_{0}\)

\(\mathcal{F}\)를 푸리에 변환이라고 하자. \(f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)(\(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그 적분가능한 복소함수들의 공간)이면,$$(\mathcal{F}f)(y)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle x,\,y\rangle}f(x)dx}$$(\(\langle x,\,y\rangle\)는 \(x\)와 \(y\)의 유클리드 내적)이고 \(\mathcal{F}f\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 연속이고 무한대에서 소멸하는 함수들의 공간에 속한다. 비슷하게 역 푸리에변환 \(\mathcal{F}^{-1}\)는 \(f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음과 같이 정의된다.$$(\mathcal{F}^{-1}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle x,\,y\rangle}f(y)dy}$$\(\mathcal{F}\)가 \(L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)으로 제한되어있으면, \(L^{2}\)노름을 보존하고 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 유니타리 연산자로 확장할 수 있다. 이것을 푸리에-프란셰렐 변환(Fourier-Plancherel transform, 또는 \(L^{2}\) 푸리에 변환)이라고 하고 푸리에변환처럼 \(\mathcal{F}\)로 나타낸다. 

다음으로 푸리에변환과 미분의 관계를 살펴볼 것이다. \(f\in\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\)(\(\mathbb{R}^{n}\)상의 컴팩트 받침에서 무한번 미분가능한 복소함수들의 공간)이라 하자. 그러면$$\mathcal{F}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)=-iy_{j}\mathcal{F}(f)(y)$$이고 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}^{2}}\right)(y)=(-iy_{j})^{2}\mathcal{F}(f)(y)=-y_{j}^{2}\mathcal{F}(f)(y)\)이므로 따라서$$\mathcal{F}\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(y)=\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)(y)$$이고$$\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(x)=\left(\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)\right)\right)$$이다. 여기서 \(\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\)는 함수 \(\displaystyle y\,\mapsto\,\frac{1}{2}\|y\|^{2}\)에 의한 곱의 연산자 \(M=M_{\frac{1}{2}\|y\|^{2}}\)를 나타낸다. 연산자 \(M\)의 정의역은$$D(M)=\left\{g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$이고 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 음이 아닌 비유계 자기수반 연산자이며, 스펙트럼 \(\sigma(M)\)은 함수 \(\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\)의 본질적 치역과 같다. 이것은 \(\sigma(M)=[0,\,\infty)\)이다. 

앞에서 \(\displaystyle\left(-\frac{1}{2}\Delta\right)\)에 대한 식의 우변을 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\Delta\)의 확장 \(H_{0}\)로 정의하기 위해 사용할 수 있다. 단순하게$$D(H_{0})=\left\{f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$라 하고$$H_{0}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in D(H_{0})$$라 하자. \(\mathcal{F}\)는 유니타리 연산자이므로, \(H_{0}\)는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 음이 아닌 자기수반 비유계 연산자이고 \(\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)\)이다.       

열 반 군과 유니타리 군

연산자 \(e^{-zH_{0}}\,(z\in\mathbb{C},\,\text{Re}z\geq0)\)는 중요한 역할을 할 것이다. 스펙트럼 정리와 \(H_{0}\)의 자기수반성, \(H_{0}f\)의 공식에 의해$$e^{-zH_{0}}f=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$$이다. 위에서의 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자로 어디서든 정의되고, 다음을 만족한다.$$\|e^{-zH_{0}}\|\leq1,\,\text{Re}z\geq0$$그 이유는 함수 \(u\,\mapsto\,e^{-zu}\)는 \(\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)\)에서 절댓값 1로 유계이기 때문이다. 스펙트럼 정리로부터 다음이 성립하고$$e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\,(\text{Re}z_{1}\geq0,\,\text{Re}z_{2}\geq0)$$위 공식은 다음에 의해 성립한다.$$\begin{align*}e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\|\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\\&=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\end{align*}$$\(e^{-\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}}\)를 곱하는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자가 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}\)(\(\overline{\mathbb{C}}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z\geq0\}\)는 \(\mathbb{C}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z>0\}\)의 폐포)의 함수로서 강한 연속인데 그 이유는 \(\mathcal{F}\)가 유니타리이므로 \(e^{-zH_{0}}f\)의 정의에 의해 성립한다.

따라서 연산자 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}\)의 함수로서 강한 연속이다. \(z\)가 순허수(\(z=it,\,t\in\mathbb{R}\))일 때 \(e^{-itH_{0}}\)는 강 연속 유니타리 군이다. 스톤의 정리에 의해 \(-iH_{0}\)는 이 군의 생성원이다.

\(z=t\)가 음이 아닌 실수일 때 함수 \(e^{-\frac{t}{2}\|\cdot\|^{2}}\)는 구간 \((0,\,1]\)상의 값을 갖고, 연산자 \(e^{-tH_{0}}\,(t\geq0)\)도 음이 아닌 자기수반이고, \(\{e^{-tH_{0}\,|\,t\geq0}\}\)은 \((C_{0})\) 축소 반 군이며, 이 반 군의 생성원은 \(-H_{0}\)이다. 

다음의 공식$$\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}x^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}},\,z>0$$를 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x^{2}}e^{-ixy}dx}=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}}$$위 식은 존재하며 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 해석적이고 따라서 \(z>0\)이면 \(\mathbb{C}_{+}\)전체로 확장할 수 있다(\(z\in\mathbb{C}_{+}\)일 때 \(\text{Arg}(z^{\frac{1}{2}})<\frac{\pi}{4}\)). 위의 공식을 \(\mathbb{R}^{n}\)으로 확장할 수 있고, \(z\)에서 해석적인 것을 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)로 확장할 수 있다.$$\begin{align*}\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\right)(y)&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}e^{-i\langle x,\,y\rangle}dx}\\&=\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x_{j}^{2}}e^{-ix_{j}y_{j}}dx_{j}}\right\}}\\&=\prod_{j=1}^{n}{z^{-\frac{1}{z}}e^{-\frac{y_{j}^{2}}{2z}}}\\&=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}\end{align*}$$푸리에변환과 역 푸리에변환의 정의로부터 다음이 성립하고$$(\mathcal{F}^{-1}f)(y)=(\mathcal{F}f)(-y)$$따라서 다음이 성립한다.$$\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}$$\(\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)를 \(n\)개의 정수들의 순서쌍으로 \(|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\), \(x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\)이라 하자. \(D^{\alpha}\)와 \(x^{\alpha}\)를 다음과 같이 정의한다.$$D^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$$정의 2.78 급격히 감소하는 함수들의 공간(슈바르츠 공간, Schwartz space) \(\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)은 모든 정수쌍 \(\alpha,\,\beta\)에 대해 다음을 만족하는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 무한번 미분가능한 복소함수 \(\varphi\)들의 공간이다.$$\|\varphi\|_{\alpha,\,\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{|x^{\alpha}D^{\beta}\varphi(x)|}<\infty$$\(\mathcal{S}\)는 \(L^{2}\)에서 조밀한데 그 이유는 \(\mathcal{D}\)가 \(L^{2}\)에서 조밀하고 \(\mathcal{D}\subset\mathcal{S}\)이기 때문이다. 

정리 2.79 푸리에 변환 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)에서 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)으로의 선형 쌍선형 전단사이다. 그 역상 \(\mathcal{F}^{-1}\)는 역 푸리에 변환이고, 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mathcal{F}^{-1}(\varphi)*\mathcal{F}^{-1}(\psi)$$여기서$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}$$이다. 

정리 2.79와 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)\)와 \(\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)\)에 대한 식으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\begin{align*}(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\mathcal{F}\right)(\varphi)(x)\\&=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}(\mathcal{F}\varphi)(y)\right)(x)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\right)*\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}\varphi)\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|\cdot\|^{2}}{2z}}*\varphi\right)(x)\\&=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2z}}du}\end{align*}$$따라서 \(\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)과 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 다음이 성립한다.$$(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}du}$$정리 2.80(자유 복소 열 반 군, free complex heat semigroup) \(z\in\mathbb{C}_{+}\), \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이라 하자. 위의 등식이 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 성립한다(\(\lambda\)는 르베그측도).

증명: 생략

\(z=t>0\)인 경우가 특히 중요하다. 

정리 2.81(자유 열 반군, free heat semigroup) \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\) 다음의 공식이 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 성립한다(\(\lambda\)는 르베그 측도). 게다가 \(\varphi\in D(H_{0})\)와 \(t>0\)에 대해 다음의 함수$$u(t,\,\cdot)=(e^{-tH_{0}}\varphi)(\cdot)$$는 다음의 열방정식의 해이고$$\frac{\partial u}{\partial t}=-H_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$초기값은 \(\varphi(\cdot)\)(위치에너지는 \(V=0\))이다.

앞에서 \(\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)와 \(z=it\,(t\in\mathbb{R}-\{0\})\)에 대해 식 \((e^{-zH_{0}}\varphi)(x)\)이 성립함을 보이고자 한다 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(\overline{\mathbb{C}}_{+}\)에서 강한 연속이다. \(\{z_{n}\}\)을 \(\mathbb{C}_{+}\)상의 수열로 \(z_{n}\,\rightarrow\,it\,(t\neq0)\)이라 하자. 강한 연속성으로부터 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|e^{-z_{n}H_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 필요할 때 부분수열을 제거함으로써 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)(\(\lambda\)는 르베그 측도)에 대해 \((e^{z_{n}H_{0}}\varphi)(x)\,\rightarrow\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)\)이다. 반면에 모든 \(x,\,u\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}-\{0\}\)에 대해 \(\varphi\in L^{1}\)이고 \(|e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}|\leq1\)이므로 지배수렴정리에 의해 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{2t}{i\|x-u\|^{2}}}du}$$앞의 결과와 정리 2.81로부터 다음과 같이 극한을 취해 \(z=it\)와 \(\varphi\in L^{1}\cap L^{2}\)에 대한 결과를 얻는다.$$\begin{align*}(*)\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(e^{-z_{n}H_{0}}\varphi)(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$마지막으로 \(z=it\)와 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 성립함을 보이고자 한다. \(\varphi\in L^{2}-L^{1}\)일 때\((e^{-zH_{0}}\varphi)\)의 적분식은 평균적분으로 나타내어져야 한다.$$\|x-u\|^{2}=(x-u)\cdot(x-u)=\|x\|^{2}+\|u\|^{2}-2\langle x,\,y\rangle$$이므로 따라서 다음이 성립한다.$$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\varphi(u)e^{-\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\left\{\varphi(u)e^{\frac{i\|u\|^{2}}{2t}}\right\}e^{-i\left\langle\left(\frac{x}{t}\right),\,u\right\rangle}$$\(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\in L^{2}\)이므로 푸리에-프란셰렐 변환을 갖고, 따라서 다음의 적분은$$(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\left\{\varphi(u)e^{}\right\}e^{-i\langle x,\,y\rangle}du}$$\(L^{2}\)함수 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)(x)\)의 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(L^{2}-\)노름에서의 극한이다. 따라서 \(L^{2}\)함수 \(\displaystyle(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(u)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)\)는 다음의 적분의 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(L^{2}-\)노름에서의 극한이다.$$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$이것은 다음의 식에서$$(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$위 식의 우변의 적분은 평균으로 나타내져있다. 

이제$$\varphi_{r}(u)=\begin{cases}\varphi(u)&\,\|u\|\leq r\\0&\,\text{otherwise}\end{cases}$$라고 하면 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|\varphi-\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이고 따라서 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|e^{-itH_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 또한 식 (*)는 이 함수 \(\varphi_{r}\)에 대해서도 성립하는데 그 이유는 \(\varphi\in L^{1}\cap L^{2}\)이기 때문이다. 앞에서의 결과들을 종합해 다음과 같이 나타낼 수 있고, 여기서 극한은 \(L^{2}\)노름에서의 극한, 맨 마지막의 적분식은 평균적분이다.$$\begin{align*}(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\right)(x)}\\&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi_{r}(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$정리 2.82(자유 유니타리 군, free unitary group) 임의의 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)와 \(t\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해 다음이 성립하고$$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=l.i.m.(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$여기서 \(l.i.m.\)은 위 식의 적분식이 평균의 응용(1)

자유 해밀토니안 \(H_{0}\)

\(\mathcal{F}\)를 푸리에 변환이라고 하자. \(f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)(\(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그 적분가능한 복소함수들의 공간)이면,$$(\mathcal{F}f)(y)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle x,\,y\rangle}f(x)dx}$$(\(\langle x,\,y\rangle\)는 \(x\)와 \(y\)의 유클리드 내적)이고 \(\mathcal{F}f\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 연속이고 무한대에서 소멸하는 함수들의 공간에 속한다. 비슷하게 역 푸리에변환 \(\mathcal{F}^{-1}\)는 \(f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음과 같이 정의된다.$$(\mathcal{F}^{-1}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle x,\,y\rangle}f(y)dy}$$\(\mathcal{F}\)가 \(L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)으로 제한되어있으면, \(L^{2}\)노름을 보존하고 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 유니타리 연산자로 확장할 수 있다. 이것을 푸리에-프란셰렐 변환(Fourier-Plancherel transform, 또는 \(L^{2}\) 푸리에 변환)이라고 하고 푸리에변환처럼 \(\mathcal{F}\)로 나타낸다. 

다음으로 푸리에변환과 미분의 관계를 살펴볼 것이다. \(f\in\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\)(\(\mathbb{R}^{n}\)상의 컴팩트 받침에서 무한번 미분가능한 복소함수들의 공간)이라 하자. 그러면$$\mathcal{F}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)=-iy_{j}\mathcal{F}(f)(y)$$이고 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}^{2}}\right)(y)=(-iy_{j})^{2}\mathcal{F}(f)(y)=-y_{j}^{2}\mathcal{F}(f)(y)\)이므로 따라서$$\mathcal{F}\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(y)=\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)(y)$$이고$$\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(x)=\left(\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)\right)\right)$$이다. 여기서 \(\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\)는 함수 \(\displaystyle y\,\mapsto\,\frac{1}{2}\|y\|^{2}\)에 의한 곱의 연산자 \(M=M_{\frac{1}{2}\|y\|^{2}}\)를 나타낸다. 연산자 \(M\)의 정의역은$$D(M)=\left\{g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$이고 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 음이 아닌 비유계 자기수반 연산자이며, 스펙트럼 \(\sigma(M)\)은 함수 \(\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\)의 본질적 치역과 같다. 이것은 \(\sigma(M)=[0,\,\infty)\)이다. 

앞에서 \(\displaystyle\left(-\frac{1}{2}\Delta\right)\)에 대한 식의 우변을 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\Delta\)의 확장 \(H_{0}\)로 정의하기 위해 사용할 수 있다. 단순하게$$D(H_{0})=\left\{f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$라 하고$$H_{0}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in D(H_{0})$$라 하자. \(\mathcal{F}\)는 유니타리 연산자이므로, \(H_{0}\)는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 음이 아닌 자기수반 비유계 연산자이고 \(\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)\)이다.       

열 반 군과 유니타리 군

연산자 \(e^{-zH_{0}}\,(z\in\mathbb{C},\,\text{Re}z\geq0)\)는 중요한 역할을 할 것이다. 스펙트럼 정리와 \(H_{0}\)의 자기수반성, \(H_{0}f\)의 공식에 의해$$e^{-zH_{0}}f=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$$이다. 위에서의 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자로 어디서든 정의되고, 다음을 만족한다.$$\|e^{-zH_{0}}\|\leq1,\,\text{Re}z\geq0$$그 이유는 함수 \(u\,\mapsto\,e^{-zu}\)는 \(\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)\)에서 절댓값 1로 유계이기 때문이다. 스펙트럼 정리로부터 다음이 성립하고$$e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\,(\text{Re}z_{1}\geq0,\,\text{Re}z_{2}\geq0)$$위 공식은 다음에 의해 성립한다.$$\begin{align*}e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\|\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\\&=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\end{align*}$$\(e^{-\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}}\)를 곱하는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자가 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}\)(\(\overline{\mathbb{C}}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z\geq0\}\)는 \(\mathbb{C}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z>0\}\)의 폐포)의 함수로서 강한 연속인데 그 이유는 \(\mathcal{F}\)가 유니타리이므로 \(e^{-zH_{0}}f\)의 정의에 의해 성립한다.

따라서 연산자 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}\)의 함수로서 강한 연속이다. \(z\)가 순허수(\(z=it,\,t\in\mathbb{R}\))일 때 \(e^{-itH_{0}}\)는 강 연속 유니타리 군이다. 스톤의 정리에 의해 \(-iH_{0}\)는 이 군의 생성원이다.

\(z=t\)가 음이 아닌 실수일 때 함수 \(e^{-\frac{t}{2}\|\cdot\|^{2}}\)는 구간 \((0,\,1]\)상의 값을 갖고, 연산자 \(e^{-tH_{0}}\,(t\geq0)\)도 음이 아닌 자기수반이고, \(\{e^{-tH_{0}\,|\,t\geq0}\}\)은 \((C_{0})\) 축소 반 군이며, 이 반 군의 생성원은 \(-H_{0}\)이다. 

다음의 공식$$\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}x^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}},\,z>0$$를 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x^{2}}e^{-ixy}dx}=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}}$$위 식은 존재하며 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 해석적이고 따라서 \(z>0\)이면 \(\mathbb{C}_{+}\)전체로 확장할 수 있다(\(z\in\mathbb{C}_{+}\)일 때 \(\text{Arg}(z^{\frac{1}{2}})<\frac{\pi}{4}\)). 위의 공식을 \(\mathbb{R}^{n}\)으로 확장할 수 있고, \(z\)에서 해석적인 것을 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)로 확장할 수 있다.$$\begin{align*}\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\right)(y)&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}e^{-i\langle x,\,y\rangle}dx}\\&=\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x_{j}^{2}}e^{-ix_{j}y_{j}}dx_{j}}\right\}}\\&=\prod_{j=1}^{n}{z^{-\frac{1}{z}}e^{-\frac{y_{j}^{2}}{2z}}}\\&=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}\end{align*}$$푸리에변환과 역 푸리에변환의 정의로부터 다음이 성립하고$$(\mathcal{F}^{-1}f)(y)=(\mathcal{F}f)(-y)$$따라서 다음이 성립한다.$$\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}$$\(\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)를 \(n\)개의 정수들의 순서쌍으로 \(|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\), \(x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\)이라 하자. \(D^{\alpha}\)와 \(x^{\alpha}\)를 다음과 같이 정의한다.$$D^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$$정의 2.78 급격히 감소하는 함수들의 공간(슈바르츠 공간, Schwartz space) \(\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)은 모든 정수쌍 \(\alpha,\,\beta\)에 대해 다음을 만족하는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 무한번 미분가능한 복소함수 \(\varphi\)들의 공간이다.$$\|\varphi\|_{\alpha,\,\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{|x^{\alpha}D^{\beta}\varphi(x)|}<\infty$$\(\mathcal{S}\)는 \(L^{2}\)에서 조밀한데 그 이유는 \(\mathcal{D}\)가 \(L^{2}\)에서 조밀하고 \(\mathcal{D}\subset\mathcal{S}\)이기 때문이다. 

정리 2.79 푸리에 변환 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)에서 \(\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)으로의 선형 쌍선형 전단사이다. 그 역상 \(\mathcal{F}^{-1}\)는 역 푸리에 변환이고, 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mathcal{F}^{-1}(\varphi)*\mathcal{F}^{-1}(\psi)$$여기서$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}$$이다. 

정리 2.79와 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)\)와 \(\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)\)에 대한 식으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\begin{align*}(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\mathcal{F}\right)(\varphi)(x)\\&=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}(\mathcal{F}\varphi)(y)\right)(x)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\right)*\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}\varphi)\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|\cdot\|^{2}}{2z}}*\varphi\right)(x)\\&=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2z}}du}\end{align*}$$따라서 \(\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\)과 \(z\in\mathbb{C}_{+}\)에 대해 다음이 성립한다.$$(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}du}$$정리 2.80(자유 복소 열 반 군, free complex heat semigroup) \(z\in\mathbb{C}_{+}\), \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이라 하자. 위의 등식이 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 성립한다(\(\lambda\)는 르베그측도).

증명: 생략

\(z=t>0\)인 경우가 특히 중요하다. 

정리 2.81(자유 열 반군, free heat semigroup) \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\) 다음의 공식이 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 성립한다(\(\lambda\)는 르베그 측도). 게다가 \(\varphi\in D(H_{0})\)와 \(t>0\)에 대해 다음의 함수$$u(t,\,\cdot)=(e^{-tH_{0}}\varphi)(\cdot)$$는 다음의 열방정식의 해이고$$\frac{\partial u}{\partial t}=-H_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$초기값은 \(\varphi(\cdot)\)(위치에너지는 \(V=0\))이다.

앞에서 \(\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)와 \(z=it\,(t\in\mathbb{R}-\{0\})\)에 대해 식 \((e^{-zH_{0}}\varphi)(x)\)이 성립함을 보이고자 한다 \(e^{-zH_{0}}\)는 \(\overline{\mathbb{C}}_{+}\)에서 강한 연속이다. \(\{z_{n}\}\)을 \(\mathbb{C}_{+}\)상의 수열로 \(z_{n}\,\rightarrow\,it\,(t\neq0)\)이라 하자. 강한 연속성으로부터 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|e^{-z_{n}H_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 필요할 때 부분수열을 제거함으로써 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)(\(\lambda\)는 르베그 측도)에 대해 \((e^{z_{n}H_{0}}\varphi)(x)\,\rightarrow\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)\)이다. 반면에 모든 \(x,\,u\in\mathbb{R}^{n}\)와 \(z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}-\{0\}\)에 대해 \(\varphi\in L^{1}\)이고 \(|e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}|\leq1\)이므로 지배수렴정리에 의해 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{2t}{i\|x-u\|^{2}}}du}$$앞의 결과와 정리 2.81로부터 다음과 같이 극한을 취해 \(z=it\)와 \(\varphi\in L^{1}\cap L^{2}\)에 대한 결과를 얻는다.$$\begin{align*}(*)\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(e^{-z_{n}H_{0}}\varphi)(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$마지막으로 \(z=it\)와 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 성립함을 보이고자 한다. \(\varphi\in L^{2}-L^{1}\)일 때\((e^{-zH_{0}}\varphi)\)의 적분식은 평균적분으로 나타내어져야 한다.$$\|x-u\|^{2}=(x-u)\cdot(x-u)=\|x\|^{2}+\|u\|^{2}-2\langle x,\,y\rangle$$이므로 따라서 다음이 성립한다.$$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\varphi(u)e^{-\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\left\{\varphi(u)e^{\frac{i\|u\|^{2}}{2t}}\right\}e^{-i\left\langle\left(\frac{x}{t}\right),\,u\right\rangle}$$\(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\in L^{2}\)이므로 푸리에-프란셰렐 변환을 갖고, 따라서 다음의 적분은$$(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\left\{\varphi(u)e^{}\right\}e^{-i\langle x,\,y\rangle}du}$$\(L^{2}\)함수 \(\displaystyle\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)(x)\)의 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(L^{2}-\)노름에서의 극한이다. 따라서 \(L^{2}\)함수 \(\displaystyle(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(u)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)\)는 다음의 적분의 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(L^{2}-\)노름에서의 극한이다.$$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$이것은 다음의 식에서$$(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$위 식의 우변의 적분은 평균으로 나타내져있다. 

이제$$\varphi_{r}(u)=\begin{cases}\varphi(u)&\,\|u\|\leq r\\0&\,\text{otherwise}\end{cases}$$라고 하면 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|\varphi-\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이고 따라서 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|e^{-itH_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 또한 식 (*)는 이 함수 \(\varphi_{r}\)에 대해서도 성립하는데 그 이유는 \(\varphi\in L^{1}\cap L^{2}\)이기 때문이다. 앞에서의 결과들을 종합해 다음과 같이 나타낼 수 있고, 여기서 극한은 \(L^{2}\)노름에서의 극한, 맨 마지막의 적분식은 평균적분이다.$$\begin{align*}(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\right)(x)}\\&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi_{r}(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$정리 2.82(자유 유니타리 군, free unitary group) 임의의 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)와 \(t\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해 다음이 성립하고$$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=l.i.m.(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$여기서 \(l.i.m.\)은 위 식의 적분식이 평균적분임을 뜻한다. 즉 \(r\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(r-\)공(\(\|u\|\leq r\)) 위에서의 적분의 \(L^{2}-\)극한임을 뜻한다. \(\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)일 때 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\,(\lambda-a.e.)$$여기서 \(\lambda\)는 르베그 측도, 위 식의 우변은 르베그적분이다.

또한 \(t\in\mathbb{R}\)와 \(\varphi\in D(H_{0})\,(\|\varphi\|_{2}=1)\)에 대해 다음의 함수는$$u(t,\,\cdot)=(e^{-itH_{0}}\varphi)(\cdot)$$는 초기 확률진폭이 \(\varphi\)인 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 자유입자(위치에너지\(V=0\))에 대한 슈뢰딩거 방정식$$\frac{\partial u}{\partial t}=-iH_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$의 해이다.    

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford