2-7 스펙트럼 정리의 응용(1)

2-7 스펙트럼 정리의 응용(1)

자유 해밀토니안 $H_{0}$

$\mathcal{F}$를 푸리에 변환이라고 하자. $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$($\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 적분가능한 복소함수들의 공간)이면, $$(\mathcal{F}f)(y)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle x,\,y\rangle}f(x)dx}$$ ($\langle x,\,y\rangle$는 $x$와 $y$의 유클리드 내적)이고 $\mathcal{F}f$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 연속이고 무한대에서 소멸하는 함수들의 공간에 속한다. 비슷하게 역 푸리에변환 $\mathcal{F}^{-1}$는 $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음과 같이 정의된다. $$(\mathcal{F}^{-1}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle x,\,y\rangle}f(y)dy}$$ $\mathcal{F}$가 $L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})$으로 제한되어있으면, $L^{2}$노름을 보존하고 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 유니타리 연산자로 확장할 수 있다. 이것을 푸리에-프란셰렐 변환(Fourier-Plancherel transform, 또는 $L^{2}$ 푸리에 변환)이라고 하고 푸리에변환처럼 $\mathcal{F}$로 나타낸다. 

다음으로 푸리에변환과 미분의 관계를 살펴볼 것이다. $f\in\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$($\mathbb{R}^{n}$상의 컴팩트 받침에서 무한번 미분가능한 복소함수들의 공간)이라 하자. 그러면 $$\mathcal{F}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)=-iy_{j}\mathcal{F}(f)(y)$$ 이고 $\displaystyle\mathcal{F}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}^{2}}\right)(y)=(-iy_{j})^{2}\mathcal{F}(f)(y)=-y_{j}^{2}\mathcal{F}(f)(y)$이므로 따라서 $$\mathcal{F}\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(y)=\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)(y)$$ 이고 $$\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(x)=\left(\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)\right)\right)$$ 이다. 여기서 $\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}$는 함수 $\displaystyle y\,\mapsto\,\frac{1}{2}\|y\|^{2}$에 의한 곱의 연산자 $M=M_{\frac{1}{2}\|y\|^{2}}$를 나타낸다. 연산자 $M$의 정의역은 $$D(M)=\left\{g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$ 이고 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 음이 아닌 비유계 자기수반 연산자이며, 스펙트럼 $\sigma(M)$은 함수 $\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}$의 본질적 치역과 같다. 이것은 $\sigma(M)=[0,\,\infty)$이다. 

앞에서 $\displaystyle\left(-\frac{1}{2}\Delta\right)$에 대한 식의 우변을 $\displaystyle-\frac{1}{2}\Delta$의 확장 $H_{0}$로 정의하기 위해 사용할 수 있다. 단순하게 $$D(H_{0})=\left\{f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$ 라 하고 $$H_{0}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in D(H_{0})$$ 라 하자. $\mathcal{F}$는 유니타리 연산자이므로, $H_{0}$는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 음이 아닌 자기수반 비유계 연산자이고 $\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)$이다.       

열 반 군과 유니타리 군

연산자 $e^{-zH_{0}}\,(z\in\mathbb{C},\,\text{Re}z\geq0)$는 중요한 역할을 할 것이다. 스펙트럼 정리와 $H_{0}$의 자기수반성, $H_{0}f$의 공식에 의해 $$e^{-zH_{0}}f=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$$ 이다. 위에서의 $e^{-zH_{0}}$는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자로 어디서든 정의되고, 다음을 만족한다. $$\|e^{-zH_{0}}\|\leq1,\,\text{Re}z\geq0$$ 그 이유는 함수 $u\,\mapsto\,e^{-zu}$는 $\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)$에서 절댓값 1로 유계이기 때문이다. 스펙트럼 정리로부터 다음이 성립하고 $$e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\,(\text{Re}z_{1}\geq0,\,\text{Re}z_{2}\geq0)$$ 위 공식은 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\|\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\\&=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\end{align*}$$ $e^{-\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}}$를 곱하는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자가 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}$($\overline{\mathbb{C}}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z\geq0\}$는 $\mathbb{C}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z>0\}$의 폐포)의 함수로서 강한 연속인데 그 이유는 $\mathcal{F}$가 유니타리이므로 $e^{-zH_{0}}f$의 정의에 의해 성립한다.

따라서 연산자 $e^{-zH_{0}}$는 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}$의 함수로서 강한 연속이다. $z$가 순허수($z=it,\,t\in\mathbb{R}$)일 때 $e^{-itH_{0}}$는 강 연속 유니타리 군이다. 스톤의 정리에 의해 $-iH_{0}$는 이 군의 생성원이다.

$z=t$가 음이 아닌 실수일 때 함수 $e^{-\frac{t}{2}\|\cdot\|^{2}}$는 구간 $(0,\,1]$상의 값을 갖고, 연산자 $e^{-tH_{0}}\,(t\geq0)$도 음이 아닌 자기수반이고, $\{e^{-tH_{0}\,|\,t\geq0}\}$은 $(C_{0})$ 축소 반 군이며, 이 반 군의 생성원은 $-H_{0}$이다. 

다음의 공식 $$\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}x^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}},\,z>0$$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x^{2}}e^{-ixy}dx}=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}}$$ 위 식은 존재하며 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 해석적이고 따라서 $z>0$이면 $\mathbb{C}_{+}$전체로 확장할 수 있다($z\in\mathbb{C}_{+}$일 때 $\text{Arg}(z^{\frac{1}{2}})<\frac{\pi}{4}$). 위의 공식을 $\mathbb{R}^{n}$으로 확장할 수 있고, $z$에서 해석적인 것을 $z\in\mathbb{C}_{+}$로 확장할 수 있다. $$\begin{align*}\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\right)(y)&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}e^{-i\langle x,\,y\rangle}dx}\\&=\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x_{j}^{2}}e^{-ix_{j}y_{j}}dx_{j}}\right\}}\\&=\prod_{j=1}^{n}{z^{-\frac{1}{z}}e^{-\frac{y_{j}^{2}}{2z}}}\\&=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}\end{align*}$$ 푸리에변환과 역 푸리에변환의 정의로부터 다음이 성립하고 $$(\mathcal{F}^{-1}f)(y)=(\mathcal{F}f)(-y)$$ 따라서 다음이 성립한다. $$\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}$$ $\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$를 $n$개의 정수들의 순서쌍으로 $|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}$, $x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$이라 하자. $D^{\alpha}$와 $x^{\alpha}$를 다음과 같이 정의한다. $$D^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$$ 정의 2.78 급격히 감소하는 함수들의 공간(슈바르츠 공간, Schwartz space) $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 모든 정수쌍 $\alpha,\,\beta$에 대해 다음을 만족하는 $\mathbb{R}^{n}$에서 무한번 미분가능한 복소함수 $\varphi$들의 공간이다. $$\|\varphi\|_{\alpha,\,\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{|x^{\alpha}D^{\beta}\varphi(x)|}<\infty$$ $\mathcal{S}$는 $L^{2}$에서 조밀한데 그 이유는 $\mathcal{D}$가 $L^{2}$에서 조밀하고 $\mathcal{D}\subset\mathcal{S}$이기 때문이다. 

정리 2.79 푸리에 변환 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$에서 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$으로의 선형 쌍선형 전단사이다. 그 역상 $\mathcal{F}^{-1}$는 역 푸리에 변환이고, 모든 $\varphi,\,\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음이 성립한다. $$\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mathcal{F}^{-1}(\varphi)*\mathcal{F}^{-1}(\psi)$$ 여기서 $$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}$$ 이다. 

정리 2.79와 $\displaystyle\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)$와 $\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)$에 대한 식으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\begin{align*}(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\mathcal{F}\right)(\varphi)(x)\\&=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}(\mathcal{F}\varphi)(y)\right)(x)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\right)*\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}\varphi)\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|\cdot\|^{2}}{2z}}*\varphi\right)(x)\\&=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2z}}du}\end{align*}$$ 따라서 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$과 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 다음이 성립한다. $$(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}du}$$ 정리 2.80(자유 복소 열 반 군, free complex heat semigroup) $z\in\mathbb{C}_{+}$, $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이라 하자. 위의 등식이 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 성립한다($\lambda$는 르베그측도).

증명: 생략

$z=t>0$인 경우가 특히 중요하다. 

정리 2.81(자유 열 반군, free heat semigroup) $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 다음의 공식이 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 성립한다($\lambda$는 르베그 측도). 게다가 $\varphi\in D(H_{0})$와 $t>0$에 대해 다음의 함수 $$u(t,\,\cdot)=(e^{-tH_{0}}\varphi)(\cdot)$$ 는 다음의 열방정식의 해이고 $$\frac{\partial u}{\partial t}=-H_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$ 초기값은 $\varphi(\cdot)$(위치에너지는 $V=0$)이다.

앞에서 $\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})$와 $z=it\,(t\in\mathbb{R}-\{0\})$에 대해 식 $(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)$이 성립함을 보이고자 한다 $e^{-zH_{0}}$는 $\overline{\mathbb{C}}_{+}$에서 강한 연속이다. $\{z_{n}\}$을 $\mathbb{C}_{+}$상의 수열로 $z_{n}\,\rightarrow\,it\,(t\neq0)$이라 하자. 강한 연속성으로부터 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|e^{-z_{n}H_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 필요할 때 부분수열을 제거함으로써 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$($\lambda$는 르베그 측도)에 대해 $(e^{z_{n}H_{0}}\varphi)(x)\,\rightarrow\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)$이다. 반면에 모든 $x,\,u\in\mathbb{R}^{n}$와 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}-\{0\}$에 대해 $\varphi\in L^{1}$이고 $|e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}|\leq1$이므로 지배수렴정리에 의해 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{2t}{i\|x-u\|^{2}}}du}$$ 앞의 결과와 정리 2.81로부터 다음과 같이 극한을 취해 $z=it$와 $\varphi\in L^{1}\cap L^{2}$에 대한 결과를 얻는다. $$\begin{align*}(*)\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(e^{-z_{n}H_{0}}\varphi)(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$ 마지막으로 $z=it$와 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 성립함을 보이고자 한다. $\varphi\in L^{2}-L^{1}$일 때$(e^{-zH_{0}}\varphi)$의 적분식은 평균적분으로 나타내어져야 한다. $$\|x-u\|^{2}=(x-u)\cdot(x-u)=\|x\|^{2}+\|u\|^{2}-2\langle x,\,y\rangle$$ 이므로 따라서 다음이 성립한다. $$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\varphi(u)e^{-\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\left\{\varphi(u)e^{\frac{i\|u\|^{2}}{2t}}\right\}e^{-i\left\langle\left(\frac{x}{t}\right),\,u\right\rangle}$$ $\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\in L^{2}$이므로 푸리에-프란셰렐 변환을 갖고, 따라서 다음의 적분은 $$(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\left\{\varphi(u)e^{}\right\}e^{-i\langle x,\,y\rangle}du}$$ $L^{2}$함수 $\displaystyle\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)(x)$의 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $L^{2}-$노름에서의 극한이다. 따라서 $L^{2}$함수 $\displaystyle(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(u)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)$는 다음의 적분의 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $L^{2}-$노름에서의 극한이다. $$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 이것은 다음의 식에서 $$(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 위 식의 우변의 적분은 평균으로 나타내져있다. 

이제 $$\varphi_{r}(u)=\begin{cases}\varphi(u)&\,\|u\|\leq r\\0&\,\text{otherwise}\end{cases}$$ 라고 하면 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|\varphi-\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0$이고 따라서 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|e^{-itH_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 또한 식 (*)는 이 함수 $\varphi_{r}$에 대해서도 성립하는데 그 이유는 $\varphi\in L^{1}\cap L^{2}$이기 때문이다. 앞에서의 결과들을 종합해 다음과 같이 나타낼 수 있고, 여기서 극한은 $L^{2}$노름에서의 극한, 맨 마지막의 적분식은 평균적분이다. $$\begin{align*}(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\right)(x)}\\&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi_{r}(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$ 정리 2.82(자유 유니타리 군, free unitary group) 임의의 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$와 $t\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해 다음이 성립하고 $$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=l.i.m.(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 여기서 $l.i.m.$은 위 식의 적분식이 평균의 응용(1)

자유 해밀토니안 $H_{0}$

$\mathcal{F}$를 푸리에 변환이라고 하자. $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$($\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 적분가능한 복소함수들의 공간)이면, $$(\mathcal{F}f)(y)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle x,\,y\rangle}f(x)dx}$$ ($\langle x,\,y\rangle$는 $x$와 $y$의 유클리드 내적)이고 $\mathcal{F}f$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 연속이고 무한대에서 소멸하는 함수들의 공간에 속한다. 비슷하게 역 푸리에변환 $\mathcal{F}^{-1}$는 $f\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음과 같이 정의된다. $$(\mathcal{F}^{-1}f)(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle x,\,y\rangle}f(y)dy}$$ $\mathcal{F}$가 $L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})$으로 제한되어있으면, $L^{2}$노름을 보존하고 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 유니타리 연산자로 확장할 수 있다. 이것을 푸리에-프란셰렐 변환(Fourier-Plancherel transform, 또는 $L^{2}$ 푸리에 변환)이라고 하고 푸리에변환처럼 $\mathcal{F}$로 나타낸다. 

다음으로 푸리에변환과 미분의 관계를 살펴볼 것이다. $f\in\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$($\mathbb{R}^{n}$상의 컴팩트 받침에서 무한번 미분가능한 복소함수들의 공간)이라 하자. 그러면 $$\mathcal{F}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)=-iy_{j}\mathcal{F}(f)(y)$$ 이고 $\displaystyle\mathcal{F}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}^{2}}\right)(y)=(-iy_{j})^{2}\mathcal{F}(f)(y)=-y_{j}^{2}\mathcal{F}(f)(y)$이므로 따라서 $$\mathcal{F}\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(y)=\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)(y)$$ 이고 $$\left(-\frac{1}{2}\Delta f\right)(x)=\left(\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|y\|^{2}\mathcal{F}(f)\right)\right)$$ 이다. 여기서 $\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}$는 함수 $\displaystyle y\,\mapsto\,\frac{1}{2}\|y\|^{2}$에 의한 곱의 연산자 $M=M_{\frac{1}{2}\|y\|^{2}}$를 나타낸다. 연산자 $M$의 정의역은 $$D(M)=\left\{g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$ 이고 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 음이 아닌 비유계 자기수반 연산자이며, 스펙트럼 $\sigma(M)$은 함수 $\displaystyle\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}$의 본질적 치역과 같다. 이것은 $\sigma(M)=[0,\,\infty)$이다. 

앞에서 $\displaystyle\left(-\frac{1}{2}\Delta\right)$에 대한 식의 우변을 $\displaystyle-\frac{1}{2}\Delta$의 확장 $H_{0}$로 정의하기 위해 사용할 수 있다. 단순하게 $$D(H_{0})=\left\{f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\,|\,\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\right\}$$ 라 하고 $$H_{0}f=\mathcal{F}^{-1}\left(\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in D(H_{0})$$ 라 하자. $\mathcal{F}$는 유니타리 연산자이므로, $H_{0}$는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 음이 아닌 자기수반 비유계 연산자이고 $\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)$이다.       

열 반 군과 유니타리 군

연산자 $e^{-zH_{0}}\,(z\in\mathbb{C},\,\text{Re}z\geq0)$는 중요한 역할을 할 것이다. 스펙트럼 정리와 $H_{0}$의 자기수반성, $H_{0}f$의 공식에 의해 $$e^{-zH_{0}}f=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}(f)\right),\,f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$$ 이다. 위에서의 $e^{-zH_{0}}$는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자로 어디서든 정의되고, 다음을 만족한다. $$\|e^{-zH_{0}}\|\leq1,\,\text{Re}z\geq0$$ 그 이유는 함수 $u\,\mapsto\,e^{-zu}$는 $\sigma(H_{0})=[0,\,\infty)$에서 절댓값 1로 유계이기 때문이다. 스펙트럼 정리로부터 다음이 성립하고 $$e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\,(\text{Re}z_{1}\geq0,\,\text{Re}z_{2}\geq0)$$ 위 공식은 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}e^{-(z_{1}+z_{2})H_{0}}&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\|\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\\&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{1}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z_{2}}{2}\|\cdot\|^{2}}\mathcal{F}\right)\\&=e^{-z_{1}H_{0}}e^{-z_{2}H_{0}}\end{align*}$$ $e^{-\frac{1}{2}\|\cdot\|^{2}}$를 곱하는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자가 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}$($\overline{\mathbb{C}}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z\geq0\}$는 $\mathbb{C}_{+}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,\text{Re}z>0\}$의 폐포)의 함수로서 강한 연속인데 그 이유는 $\mathcal{F}$가 유니타리이므로 $e^{-zH_{0}}f$의 정의에 의해 성립한다.

따라서 연산자 $e^{-zH_{0}}$는 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}$의 함수로서 강한 연속이다. $z$가 순허수($z=it,\,t\in\mathbb{R}$)일 때 $e^{-itH_{0}}$는 강 연속 유니타리 군이다. 스톤의 정리에 의해 $-iH_{0}$는 이 군의 생성원이다.

$z=t$가 음이 아닌 실수일 때 함수 $e^{-\frac{t}{2}\|\cdot\|^{2}}$는 구간 $(0,\,1]$상의 값을 갖고, 연산자 $e^{-tH_{0}}\,(t\geq0)$도 음이 아닌 자기수반이고, $\{e^{-tH_{0}\,|\,t\geq0}\}$은 $(C_{0})$ 축소 반 군이며, 이 반 군의 생성원은 $-H_{0}$이다. 

다음의 공식 $$\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}x^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}},\,z>0$$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x^{2}}e^{-ixy}dx}=z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^{2}}{2z}}$$ 위 식은 존재하며 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 해석적이고 따라서 $z>0$이면 $\mathbb{C}_{+}$전체로 확장할 수 있다($z\in\mathbb{C}_{+}$일 때 $\text{Arg}(z^{\frac{1}{2}})<\frac{\pi}{4}$). 위의 공식을 $\mathbb{R}^{n}$으로 확장할 수 있고, $z$에서 해석적인 것을 $z\in\mathbb{C}_{+}$로 확장할 수 있다. $$\begin{align*}\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|\cdot\|^{2}}\right)(y)&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}e^{-i\langle x,\,y\rangle}dx}\\&=\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{z}{2}x_{j}^{2}}e^{-ix_{j}y_{j}}dx_{j}}\right\}}\\&=\prod_{j=1}^{n}{z^{-\frac{1}{z}}e^{-\frac{y_{j}^{2}}{2z}}}\\&=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}\end{align*}$$ 푸리에변환과 역 푸리에변환의 정의로부터 다음이 성립하고 $$(\mathcal{F}^{-1}f)(y)=(\mathcal{F}f)(-y)$$ 따라서 다음이 성립한다. $$\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)=z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2z}},\,z\in\mathbb{C}_{+}$$ $\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$를 $n$개의 정수들의 순서쌍으로 $|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}$, $x=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$이라 하자. $D^{\alpha}$와 $x^{\alpha}$를 다음과 같이 정의한다. $$D^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$$ 정의 2.78 급격히 감소하는 함수들의 공간(슈바르츠 공간, Schwartz space) $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 모든 정수쌍 $\alpha,\,\beta$에 대해 다음을 만족하는 $\mathbb{R}^{n}$에서 무한번 미분가능한 복소함수 $\varphi$들의 공간이다. $$\|\varphi\|_{\alpha,\,\beta}=\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{|x^{\alpha}D^{\beta}\varphi(x)|}<\infty$$ $\mathcal{S}$는 $L^{2}$에서 조밀한데 그 이유는 $\mathcal{D}$가 $L^{2}$에서 조밀하고 $\mathcal{D}\subset\mathcal{S}$이기 때문이다. 

정리 2.79 푸리에 변환 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$에서 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$으로의 선형 쌍선형 전단사이다. 그 역상 $\mathcal{F}^{-1}$는 역 푸리에 변환이고, 모든 $\varphi,\,\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음이 성립한다. $$\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mathcal{F}^{-1}(\varphi)*\mathcal{F}^{-1}(\psi)$$ 여기서 $$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}$$ 이다. 

정리 2.79와 $\displaystyle\mathcal{F}\left(e^{-\frac{z}{2}\|x\|^{2}}\right)(y)$와 $\mathcal{F}^{-1}(\varphi\psi)$에 대한 식으로부터 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\begin{align*}(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)&=\left(\mathcal{F}^{-1}e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\mathcal{F}\right)(\varphi)(x)\\&=\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}(\mathcal{F}\varphi)(y)\right)(x)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(\mathcal{F}^{-1}\left(e^{-\frac{z}{2}\|y\|^{2}}\right)*\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}\varphi)\right)\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\left(z^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\|\cdot\|^{2}}{2z}}*\varphi\right)(x)\\&=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-y\|^{2}}{2z}}du}\end{align*}$$ 따라서 $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$과 $z\in\mathbb{C}_{+}$에 대해 다음이 성립한다. $$(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi z)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}du}$$ 정리 2.80(자유 복소 열 반 군, free complex heat semigroup) $z\in\mathbb{C}_{+}$, $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이라 하자. 위의 등식이 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 성립한다($\lambda$는 르베그측도).

증명: 생략

$z=t>0$인 경우가 특히 중요하다. 

정리 2.81(자유 열 반군, free heat semigroup) $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 다음의 공식이 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 성립한다($\lambda$는 르베그 측도). 게다가 $\varphi\in D(H_{0})$와 $t>0$에 대해 다음의 함수 $$u(t,\,\cdot)=(e^{-tH_{0}}\varphi)(\cdot)$$ 는 다음의 열방정식의 해이고 $$\frac{\partial u}{\partial t}=-H_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$ 초기값은 $\varphi(\cdot)$(위치에너지는 $V=0$)이다.

앞에서 $\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})$와 $z=it\,(t\in\mathbb{R}-\{0\})$에 대해 식 $(e^{-zH_{0}}\varphi)(x)$이 성립함을 보이고자 한다 $e^{-zH_{0}}$는 $\overline{\mathbb{C}}_{+}$에서 강한 연속이다. $\{z_{n}\}$을 $\mathbb{C}_{+}$상의 수열로 $z_{n}\,\rightarrow\,it\,(t\neq0)$이라 하자. 강한 연속성으로부터 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|e^{-z_{n}H_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 필요할 때 부분수열을 제거함으로써 $\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}$($\lambda$는 르베그 측도)에 대해 $(e^{z_{n}H_{0}}\varphi)(x)\,\rightarrow\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)$이다. 반면에 모든 $x,\,u\in\mathbb{R}^{n}$와 $z\in\overline{\mathbb{C}}_{+}-\{0\}$에 대해 $\varphi\in L^{1}$이고 $|e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z}}|\leq1$이므로 지배수렴정리에 의해 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{2t}{i\|x-u\|^{2}}}du}$$ 앞의 결과와 정리 2.81로부터 다음과 같이 극한을 취해 $z=it$와 $\varphi\in L^{1}\cap L^{2}$에 대한 결과를 얻는다. $$\begin{align*}(*)\,(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(e^{-z_{n}H_{0}}\varphi)(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi z_{n})^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{-\frac{\|x-u\|^{2}}{2z_{n}}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$ 마지막으로 $z=it$와 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 성립함을 보이고자 한다. $\varphi\in L^{2}-L^{1}$일 때$(e^{-zH_{0}}\varphi)$의 적분식은 평균적분으로 나타내어져야 한다. $$\|x-u\|^{2}=(x-u)\cdot(x-u)=\|x\|^{2}+\|u\|^{2}-2\langle x,\,y\rangle$$ 이므로 따라서 다음이 성립한다. $$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\varphi(u)e^{-\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\left\{\varphi(u)e^{\frac{i\|u\|^{2}}{2t}}\right\}e^{-i\left\langle\left(\frac{x}{t}\right),\,u\right\rangle}$$ $\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\in L^{2}$이므로 푸리에-프란셰렐 변환을 갖고, 따라서 다음의 적분은 $$(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\left\{\varphi(u)e^{}\right\}e^{-i\langle x,\,y\rangle}du}$$ $L^{2}$함수 $\displaystyle\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)(x)$의 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $L^{2}-$노름에서의 극한이다. 따라서 $L^{2}$함수 $\displaystyle(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(u)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)$는 다음의 적분의 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $L^{2}-$노름에서의 극한이다. $$(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\|u\|\leq r}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 이것은 다음의 식에서 $$(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 위 식의 우변의 적분은 평균으로 나타내져있다. 

이제 $$\varphi_{r}(u)=\begin{cases}\varphi(u)&\,\|u\|\leq r\\0&\,\text{otherwise}\end{cases}$$ 라고 하면 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|\varphi-\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0$이고 따라서 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|e^{-itH_{0}}\varphi-e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 또한 식 (*)는 이 함수 $\varphi_{r}$에 대해서도 성립하는데 그 이유는 $\varphi\in L^{1}\cap L^{2}$이기 때문이다. 앞에서의 결과들을 종합해 다음과 같이 나타낼 수 있고, 여기서 극한은 $L^{2}$노름에서의 극한, 맨 마지막의 적분식은 평균적분이다. $$\begin{align*}(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-itH_{0}}\varphi_{r}\right)(x)}\\&=\lim_{r\,\rightarrow\,\infty}{(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi_{r}(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}}\\&=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\end{align*}$$ 정리 2.82(자유 유니타리 군, free unitary group) 임의의 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$와 $t\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해 다음이 성립하고 $$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=l.i.m.(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}$$ 여기서 $l.i.m.$은 위 식의 적분식이 평균적분임을 뜻한다. 즉 $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 $r-$공($\|u\|\leq r$) 위에서의 적분의 $L^{2}-$극한임을 뜻한다. $\varphi\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{2}(\mathbb{R}^{n})$일 때 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=(2\pi it)^{-\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(u)e^{\frac{i\|x-u\|^{2}}{2t}}du}\,(\lambda-a.e.)$$ 여기서 $\lambda$는 르베그 측도, 위 식의 우변은 르베그적분이다.

또한 $t\in\mathbb{R}$와 $\varphi\in D(H_{0})\,(\|\varphi\|_{2}=1)$에 대해 다음의 함수는 $$u(t,\,\cdot)=(e^{-itH_{0}}\varphi)(\cdot)$$ 는 초기 확률진폭이 $\varphi$인 $\mathbb{R}^{n}$상의 자유입자(위치에너지$V=0$)에 대한 슈뢰딩거 방정식 $$\frac{\partial u}{\partial t}=-iH_{0}u,\,u(0,\,\cdot)=\varphi(\cdot)$$ 의 해이다.    

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford