2-8 스펙트럼 정리의 응용(2)

2-8 스펙트럼 정리의 응용(2) 

정리 2.83 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)라 하자. 그러면 \(t\,\rightarrow\,\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\left\|\left(e^{-itH_{0}}\varphi\right)(\cdot)-(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}(\mathcal{F}\varphi)\left(\frac{(\cdot)}{t}\right)\right\|_{2}\,\rightarrow\,0$$증명: 푸리에변환 \(\mathcal{F}\)는 \(L^{2}\)상의 유니타리 연산자이고, 이것을 이용해 변환 \(\displaystyle t^{-\frac{n}{2}}(\mathcal{F}\varphi)\left(\frac{(\cdot)}{t}\right)\)도 유니타리임을 보일 수 있다. \(\displaystyle i^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2}}(\mathcal{F}\varphi)\left(\frac{(\cdot)}{t}\right)\)를 곱하는 연산자도 유니타리 연산자이므로 \(\varphi\in L^{2}\)에 대해 다음과 같이 정의되는 연산자 \(W_{t}\)도 유니타리이다.$$W_{t}\varphi=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}(\mathcal{F}\varphi)\left(\frac{(\cdot)}{t}\right)$$\(e^{-itH_{0}}\)도 유니타리이고 \(L^{2}\)의 조밀 부분집합에 속하는 \(\varphi\)에 대해 이 정리의 결론이 성립함을 보이면 된다.

\(\varphi\in\mathcal{S}\)를 정리 2.82의 함수라 하고, 그 증명과정으로부터(정리 2.82 이전부분)$$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}\right)\left(\frac{x}{t}\right)$$이고 \(W_{t}\varphi\)와 \((e^{-itH_{0}}\varphi)\)식에 의해$$(e^{-itH_{0}}\varphi)(x)-(W_{t}\varphi)(x)=(it)^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{i\|x\|^{2}}{2t}}\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)\left\{e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}-1\right\}\right)\left(\frac{x}{t}\right)$$이고 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\|e^{-itH_{0}}\varphi-W_{t}\varphi\|&=t^{-\frac{n}{2}}\left\|\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)\left\{e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}-1\right\}\right)\left(\frac{x}{t}\right)\right\|_{2}\\&=\left\|\mathcal{F}\left(\varphi(\cdot)\left\{e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}-1\right\}\right)\right\|_{2}\\&=\left\|\left\{e^{\frac{i\|\cdot\|^{2}}{2t}}-1\right\}\varphi(\cdot)\right\|_{2}\\&\leq\frac{1}{2t}\left\|\|\cdot\|^{2}\varphi(\cdot)\right\|_{2}\end{align*}$$위 식의 마지막 부등식은 다음으로부터 성립한다.$$\left|e^{-\frac{\|y\|^{2}}{2t}}-1\right|=\left|\int_{0}^{\frac{\|y\|^{2}}{2t}}{\frac{d}{dx}(e^{ix})dx}\right|\leq\frac{\|y\|^{2}}{2t}$$자유 해밀토니안에 대한 표준 핵심

연산자 \(H_{0}|_{\mathcal{S}}\)(\(H_{0}\)의 \(\mathcal{S}\)로의 제한)와 \(H_{0}|_{\mathcal{D}}\)(\(H_{0}\)의 \(\mathcal{D}\)로의 제한)가 본질적으로 자기수반이고 \(\overline{H_{0}|_{\mathcal{S}}}=\overline{H_{0}|_{\mathcal{D}}}=H_{0}\)이 성립함을 보이고자 한다.   

정리 2.84(자기수반 판정법) \(T\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)상의 대칭 연산자라고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(i) \(T\)는 자기수반이다.

(ii) \(T\)는 닫혀있고 \(\text{Ker}(T^{*}\pm i)=\{0\}\)

(iii) \(R(T\pm i)=\mathcal{H}\)

여기서 \(\text{Ker}(T^{*}\pm i)\)는 \(T^{*}\pm i\)의 핵(kernel), \(R(T\pm i)\)는 \(T\pm i\)의 치역이다. 

따름정리 2.85(본질적 자기수반 판정법) \(T\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)상의 대칭 연산자라고 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(i) \(T\)는 본질적으로 자기수반이다. 즉, 유일한 자기수반 확장을 갖는다(폐포 \(\overline{T}\)).

(ii) \(\text{Ker}(T^{*}\pm i)=\{0\}\)

(iii) \(R(T\pm i)\)는 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하다.

정리 2.86 

(i) 연산자 \(H_{0}|_{\mathcal{S}}\)는 본질적으로 자기수반이다.

(ii) \(\mathcal{S}\)는 \(H_{0}\)의 핵심이다. 

정리 2.87 

(i) 연산자 \(H_{0}|_{\mathcal{D}}\)는 본질적으로 자기수반이다.

(ii) \(\mathcal{D}\)는 \(H_{0}\)의 핵심이다.  

정리 2.88 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)가 자유 해밀토니안 \(H_{0}\)의 정의역에 있다고 하자.

(i) \(n\leq n\)이면, \(\varphi\)는 유계 연속이고, 임의의 \(a>0\)에 대해 양의 상수 \(b\)가 존재해서 \(\varphi\)와 무관하고 다음을 만족한다.$$\|\varphi\|_{\infty}\leq a\|H_{0}\varphi\|_{2}+b\|\varphi\|_{2}$$(ii) \(n\geq4\)이고 \(\displaystyle q\in\left[2,\,\frac{2n}{n-4}\right)\)이면, \(\varphi\in L^{q}(\mathbb{R}^{n})\)이고 임의의 \(a>0\)에 대해 양의 상수 \(b\)가 존재해서 \(q,\,n,\,a\)에 의존하고 다음을 만족한다.$$\|\varphi\|_{q}\leq a\|H_{0}\varphi\|_{2}+b\|\varphi\|_{2}$$허수역핵

정리 2.89(자유 허수역핵, free imaginary resolvent) 모든 \(t\in\mathbb{R}-\{0\}\)과 \((I+itH_{0})^{-1}\in\mathcal{L}(L^{2}(\mathbb{R}^{n}))\)에 대해 \((I+itH_{0})^{-1}\)는 (핵이 그린함수 \(G(x,\,y,\,t)\)인) 적분연산자로 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음고 같이 정의된다.$$\left((I+itH_{0})^{-1}\varphi\right)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{G(x,\,y,\,t)\varphi(y)dy}$$위 식에서 우변은 르베그적분이고, \(G(x,\,y,\,t)\)는 \(t>0\)에 대해

\(n=1\)일 때$$G(x,\,y,\,t)=(2it)^{-\frac{1}{2}}e^{-(1-i)t^{-\frac{1}{2}}|x-y|}$$\(n=3\)에 대해$$G(x,\,y,\,t)=(2\pi it\|x-y\|)^{-1}e^{-(1-i)t^{-\frac{1}{2}}\|x-y\|}$$\(n=1,\,3\)일 때 이 정리의 적분은 모든 \(x\)에 대해 수렴하고, 그 이외의 경우는 \(\lambda-a.e.\,x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 수렴한다(\(\lambda\)는 르베그측도).   

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford