2-9 비유계 2차형식에 대한 표현정리,가토 류

2-9 비유계 2차형식에 대한 표현정리, 가토 류

\(\mathcal{H}\)를 복소 힐베르트공간이라고 하자. \(A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)이고 \(q_{A}:\mathcal{H}\times\mathcal{H}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 \(q_{A}(\varphi,\,\psi)=\langle\varphi,\,A\psi\rangle\)로 정의하면, \(q_{A}\)는 반쌍형적 형태(sesquiliner form)이다. 즉, \(q_{A}\)는 첫 번째 변수에 대해서는 선형, 두 번째 변수에 대해서는 공액 선형(conjugate linear)이고, 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{H}\)에 대해 부등식 \(|q_{A}(\varphi,\,\psi)|\leq\|A\|\|\varphi\|\|\psi\|\)를 만족한다. 흥미로운 점은 그 역도 성립한다. 즉 \(q:\mathcal{H}\times\mathcal{H}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 반쌍형적이고 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{H}\)와 적당한 상수 \(C>0\)에 대해 부등식 \(|q(\varphi,\,\psi)|\leq C\|\varphi\|\|\psi\|\)를 만족하면 유일한 연산자 \(A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})\)가 존재해서 \(q=q_{A}\)이다. 

여기서 \(\mathcal{H}\)는 복소 힐베르트공간이다.

정의 2.90 쌍선형적 사상 \(q:Q(q)\times Q(q)\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)(\(Q(q)\)는 \(\mathcal{H}\)의 조밀 선형부분공간으로 \(q\)의 정의역)이고 첫 번째 변수에 대해서 선형이고, 두 번째 변수에 대해서는 공액선형이다. 모든 \(\varphi,\,\psi\in Q(q)\)에 대해 \(q(\varphi,\,\psi)=\overline{q(\psi,\,\varphi)}\)이면, \(q\)를 대칭(symmetric)이라고 하고, 간단히 나타내기 위해 \(\varphi\in Q(q)\)에 대해서 \(q(\varphi,\,\varphi)\)를 간단히 \(q(\varphi)\)로 나타낸다. 상수 \(c\geq0\)이 존재해서 다음이 성립하면$$q(\varphi)\geq-c\|\varphi\|^{2},\,\varphi\in Q(q)$$이러한 \(q\)를 반유계(semibounded, 또는 아래로 유계)라고 한다. \(c\)를 \(0\)으로 선택할 수 있으면, \(q\)를 음이 아니다라고 한다.  

연산자 \(A: D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)가 닫혀있을 필요충분조건은 그 그래프가 \(\mathcal{H}\times\mathcal{H}\)에서 닫혀있는 것이다. 이것이 동치이기 위해서는 \(D(A)\)가 노름 \(\|\varphi\|_{A}=\|A\varphi\|+\|\varphi\|\)에 대해 완비여야 한다. 자기수반성과 반유계 이차형식간의 관계를 알기 위해서는 "닫혀있다"의 개념을 연산자에서 반유계 형태로 확장시켜야 한다.

\(q\)를 반유계 2차(또는 쌍선형적)형태, \(c\geq0\)가 모든 \(\varphi\in Q(q)\)에 대해 정의 2.90의 부등식을 만족한다고 하자. 다음의 공식이 \(Q(q)\)에서 내적을 정의함을 쉽게 보일 수 있고$$\langle\varphi,\,\psi\rangle_{+1}=\langle\varphi,\,\psi\rangle+(c+1)\langle\varphi,\,\psi\rangle$$여기에 관련된 노름은 다음과 같이 주어진다.$$\|\varphi\|_{+1}=q(\varphi,\,\psi)+(c+1)\langle\varphi,\,\psi\rangle$$정의 2.91 모든 \(\varphi\in Q(q)\)에 대해 정의 2.90의 부등식을 만족하는 반유계(따라서 대칭) \(q\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \(Q(q)\)가 앞에서의 노름 \(\|\cdot\|_{+1}\)에 대해 완비인 것이다. \(q\)가 닫혀있고, \(D\)가 \(Q(q)\)의 부분공간으로 노름 \(\|\cdot\|_{+}\)상의 \(Q(q)\)에서 조밀하면, \(D\)를 \(q\)에 대한 핵심의 형식(form)이라고 한다. 

명제 2.92 \(q\)를 반유계(따라서 대칭)인 2차형식으로 모든 \(\varphi\in Q(q)\)가 정의 2.90의 부등식을 만족한다고 하자. 그러면 \(q\)가 닫혀있을 필요충분조건은 \(\{\varphi_{n}\}\)이 \(Q(q)\)상의 수열로 \(n,\,m\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|\varphi_{n}-\varphi\|\,\rightarrow\,0\), \(q(\varphi_{n}-\varphi_{m})\,\rightarrow\,0\)이고 따라서 \(\varphi\in Q(q)\)이고 \(q(\varphi_{n}-\varphi)\,\rightarrow\,0\)을 얻는다. 

\(A\)를 \(\mathcal{H}\)(힐베르트공간)에서 (비유계) 자기수반 연산자라고 하자. \(A\)와 관련된 이차형식 \(q_{A}\)가 항상 존재하고, \(q_{A}\)가 일반적으로 반유계일 필요는 없다. \(Q(q_{A})\)와 \(q_{A}\)를 \(A\)의 스펙트럼 표현이라고 할 것이다. 

정리 2.75에 의해 \(A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)가 자기수반이므로 \(A\)는 \(\displaystyle\bigoplus_{p=1}^{N}L^{2}(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}),\,\mu_{p})\)에서 작용하는 \(x\)를 곱한 것이고(이것과 유니타리 동치), 여기서 \(N\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}\), \(\mu_{p}\)는 (양의) 보렐측도로 \(\mu_{p}(\sigma(A))=\mu_{p}(\mathbb{R})\), \(\displaystyle\sum_{p=1}^{N}{\mu_{p}(\mathbb{R})}<\infty\)이다. \(D(A)\)는 다음과 같이 주어지고$$D(A)=\left\{(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\,|\,\sum_{p=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}^{n}}|x|^{2}|\varphi_{p}(x)|^{2}d\mu_{p}}<\infty\right\}$$\((\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in D(A)\)에 대해 다음이 성립한다.$$A(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})=(x\varphi_{1}(x),\,...,\,x\varphi_{N}(x))$$\(N=\infty\)이면 \((\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\)은 무한수열이다. 

정의 2.93 \(Q(q_{A})\)와 \(q_{A}\)를 다음과 같이 정의한다.$$Q(q_{A})=\left\{(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\,|\,\sum_{p=1}^{\infty}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{|x||\varphi_{p}(x)|^{2}d\mu_{p}}}<\infty\right\}$$\((\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N}),\,(\psi_{1},\,...,\,\psi_{N})\in Q(q_{A})\)에 대해$$q_{A}((\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N}),\,(\psi_{1},\,...,\,\psi_{N}))=\sum_{p=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}^{n}}x\varphi_{p}(x)\overline{\psi_{p}(x)}d\mu_{p}}$$\(q_{A}\)의 형식을 \(A\)와 관련된 이차형식이라고 하고, \(Q(q_{A})=Q(A)\)로 나타낸다. 부분공간 \(Q(A)\)를 \(A\)의 정의역의 형식이라고 한다. 모든 \(\varphi\in Q(A)(=Q(q_{A}))\)와 \(\psi\in D(A)\)에 대해 \(q_{A}\langle\varphi,\,\psi\rangle=\langle\varphi,\,A\psi\rangle\)가 성립한다.

정의 2.94 대칭연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)가 반유계(semibounded, 또는 아래로 유계)일 필요충분조건은 상수 \(c\geq0\)가 존재해서 모든 \(\varphi\in D(A)\)에 대해 다음의 부등식이 성립하는 것이다.$$\langle\varphi,\,A\varphi\rangle\geq-c\|\varphi\|^{2}$$명제 2.95 \(A\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 반유계 자기수반연산자, \(q_{A}\)를 \(A\)와 결합된 2차형식이라고 하자. 그러면 \(q_{A}\)는 반유계이고 닫혀있다.

명제 2.96 \(A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 자기수반연산자, \(Q(q_{A})\)와 \(q_{A}\)는 정의 2.93에서의 것이라고 하자. 그러면 \(D(A)\subset Q(q_{A})\)이고 \(\varphi\in Q(q_{A})\)와 \(\psi\in D(A)\)에 대해 다음을 얻는다.$$q_{A}(\varphi,\,\psi)=\langle\varphi,\,A\psi\rangle$$명제 2.97 \(A\)를 자기수반이고 반유계라 하자. 그러면 \(D(A)\)는 \(Q(q_{A})\)에서 \(\|\cdot\|_{+1}\)조밀하다.

명제 2.98 \(A\)를 자기수반이고 반유계라 하자. 그러면 \(A\)에 대한 임의의 연산자 핵심은 \(q_{A}\)에 대한 핵심의 형식(form)이다.

\(\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R})\)를 \(\mathbb{R}\)상의 컴팩트 받침에서 무한번 미분가능한 함수들의 공간이라고 하자. \(q:\mathcal{D}\times\mathcal{D}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 다음과 같이 정의하면$$q(\varphi,\,\psi)=\varphi(0)\overline{\psi(0)}$$\(q\)는 양의 값을 갖고, 대칭인 2차형식이나. (i) 닫힌 확장을 갖지 않고, (ii) 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{D}\)에 대해 \(q(\varphi,\,\psi)=\langle\varphi,\,A\psi\rangle\)를 만족하는 반유계, 자기수반 연산자 \(A\)가 존재하지 않는다. 

\(\mathcal{D}\)상의 수열 \(\{\varphi_{n}\}\)을 \(\displaystyle\left[-\frac{1}{n},\,\frac{1}{n}\right]\)에서 \(\varphi_{n}=1\), \(\displaystyle\mathbb{R}-\left(-\frac{2}{n},\,\frac{2}{n}\right)\)에서 \(\varphi_{n}=0\)이라 하자. 그러면 \(\varphi_{n}\)은 \(\displaystyle\left[-\frac{2}{n},\,-\frac{1}{n}\right)\)에서 증가하고 \(\displaystyle\left[\frac{1}{n},\,\frac{2}{n}\right]\)에서 감소한다. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\|\varphi_{n}-0\|_{2}\,\rightarrow\,0,\,q(\varphi_{n}-\varphi_{m})=|\varphi_{n}(0)-\varphi_{m}(0)|^{2}=0\,\rightarrow\,0$$그러나 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(q(\varphi_{n}-0)=|\varphi_{n}(0)|^{2}=1\,\rightarrow\,1\)이고 명제 2.92에 의해 \(q\)는 닫힌 확장을 갖지 않는다.

\(A\)를 반유계, 자기수반 연산자로 모든 \(\varphi,\,\psi\in\mathcal{D}\)에 대해 \(q(\varphi,\,\psi)=\langle\varphi,\,A\psi\rangle\)라 하자. 그러면 \(q\)는 \(D(A)\times D(A)\)에서 반유계 2차형식으로의 확장을 갖는다. 명제 2.95, 2.96에 의해 정의 2.93에서 \(A\)와 결합된 2차형식 \(q_{A}\)는 \(q\)의 닫힌 확장이다. 그러나 이러한 \(q\)의 확장은 존재하지 않는다. 

정리 2.99(제 1 표현정리, first representation theorem) \(q\)를 닫힌 반 유계 2차형식이라고 하자. 그러면

(a) 유일한 자기수반연산자 \(A\)가 존재해서 \(q=q_{A}\)(\(q\)는 자기수반연산자 \(A\)와 관련되어 있다. 정의 2.93 참고)이고 따라서 명제 2.96에 의해 \(D(A)\subset Q(q)=Q(A)\)이고 다음이 성립한다.$$q(\varphi,\,\psi)=\langle\varphi,\,A\psi\rangle,\,\varphi\in Q(q)=Q(A),\,\psi\in D(A)$$특히 다음이 성립한다.$$q(\varphi)=\langle\varphi,\,A\varphi\rangle,\,\varphi\in D(A)$$(b) \(c\geq-\)가 모든 \(\varphi\in Q(q)\)에 대해 부등식 \(q(\varphi)\geq-c\|\varphi\|^{2}\)를 만족하면, (a)의 결론에서의 연산자 \(A\)는 반유계이고, 모든 \(\varphi\in D(A)\)에 대해 \(\langle\varphi,\,A\varphi\rangle\geq-c\|\varphi\|^{2}\)이고, 특히 이 2차형식이 음이 아니면(\(c=0\)), \(A\)도 음이 아니다. 

정리 2.100(제 2 표현정리, second representation theorem) \(q\)를 닫힌 음이 아닌 2차형식, \(A\)를 \(q=q_{A}\)인 음이 아닌 자기수반 연산자라고 하자(제 1 표현정리 참고). 그러면 \(Q(A)\)는 \(Q(A)=Q(q)=D(A^{\frac{1}{2}})\)이고$$q(\varphi,\,\psi)=\langle A^{\frac{1}{2}}\varphi,\,A^{\frac{1}{2}}\psi\rangle,\,\varphi,\,\psi\in Q(q)=Q(A)$$특히 다음이 성립한다.$$q(\varphi)=\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2},\,\varphi\in Q(q)=Q(A)$$자기수반연산자 \(A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)에 대해 정리 2.72에 의해 \(A\)는 \(L^{2}(\mu)=L^{2}(\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)\)상의 \(\mathcal{A}-\)가측 실함수 \(f\)를 곱하는 연산자 \(M_{f}\)와 유니타리 동치이고, 여기서 \(\mu\)는 유한측도이다. 유니타리 연산자 \(U:\mathcal{H}\,\rightarrow\,L^{2}(\mu)\)에 대해 다음과 같이 나타낸다.$$A=U^{-1}M_{f}U$$여기서 \(D(A)\)는 다음과 같다.$$D(A)=\{\varphi\in\mathcal{H}\,|\,U\varphi\in D(M_{f})\}$$연산자 \(|A|,\,A_{+},\,A_{-}\)를 각각 \(A\)의 절댓값(absolute value), 양의 부분(positive part), 음의 부분(negative part)이라고 하고, 스펙트럼 정리로부터 다음과 같이 유일하게 정의된다.$$|A|=U^{-1}M_{|f|}U,\,A_{+}=U^{-1}M_{f_{+}}U,\,A_{-}=U^{-1}M_{f_{-}}U$$여기서 \(f_{+}=\max\{f,\,0\}\), \(f_{-}=\max\{-f,\,0\}\)이고 \(f=f_{+}-f_{-}\), \(|f|=f_{+}+f_{-}\)로 나타내는 것처럼 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$A=A_{+}-A_{-},\,|A|=A_{+}+A_{-}$$이제 \(D(M_{f})\)와 \(D(M_{f^{\pm}})\)은 다음과 같고$$\begin{align*}D(M_{f})&=D('M_{|f|})=\{\varphi\in L^{2}(\mu)\,|\,f\varphi\in L^{2}(\mu)\}\\ D(M_{f_{\pm}})&=\{\varphi\in L^{2}(\mu)\,|\,f_{\pm\varphi}\in L^{2}(\mu)\}\end{align*}$$또한$$\{\omega\in\Omega\,|\,f_{+}(\omega)>0\}\cap\{\omega\in\Omega\,|\,f_{-}(\omega)>0\}=\emptyset$$이므로$$D(M_{f})=D(M_{|f|})=D(M_{f_{+}})\cap D(M_{f_{-}})$$이고$$D(A)=D(|A|)=D(A_{+})\cap D(A_{-})$$이다. 이와 비슷하게 \(|A|,\,A_{+},\,A_{-}\)의 제곱근을 다음과 같이 정의한다.$$|A|^{\frac{1}{2}}=U^{-1}M_{f^{1/2}}U,\,A_{+}^{\frac{1}{2}}=U^{-1}M_{f^{1/2}}U,\,A^{\frac{1}{2}}_{-}=U^{-1}M_{f^{1/2}}U$$\(f_{+}f_{-}=0\)이므로 \(|f|^{\frac{1}{2}}=f_{+}^{\frac{1}{2}}+f_{-}^{\frac{1}{2}}\)이고 다음이 성립한다.$$|A|^{\frac{1}{2}}=A_{+}^{\frac{1}{2}}+A_{-}^{\frac{1}{2}},\,D(|A|^{\frac{1}{2}})=D(A_{+}^{\frac{1}{2}})\cap D(A^{\frac{1}{2}}_{-})$$스펙트럼 정리와 제 2 표현정리, \(D(|A|^{\frac{1}{2}})\)의 정의에 의해 다음이 성립한다.$$Q(A)=Q(|A|)=D(|A|^{\frac{1}{2}})=D(A^{\frac{1}{2}}_{+})\cap D(A^{\frac{1}{2}}_{-})=Q(A_{+})\cap Q(A_{-})$$정의 2.93과 방정식 \(x=x_{+}-x_{-}\), 제 2 표현정리로부터 \(\varphi,\,\psi\in Q(A)\)에 대해 다음이 성립하고$$q_{A}(\varphi,\,\psi)=q_{A_{+}}(\varphi,\,\psi)-q_{A_{-}}(\varphi,\,\psi)=\langle A^{\frac{1}{2}}_{+}\varphi,\,A^{\frac{1}{2}}_{+}\psi\rangle-\langle A^{}_{}\varphi,\,A^{\frac{1}{2}}_{-}\psi\rangle$$특히 다음이 성립한다.$$q_{A}(\varphi)=q_{A}(\varphi,\,\varphi)=\|A^{\frac{1}{2}}_{+}\|^{2}-\|A^{\frac{1}{2}}_{-}\varphi\|^{2}$$연산자의 형식적 합

일반적인 두 자기수반 연산자 \(A\)와 \(B\)의 연산자 합(operator sum, 또는 대수적 합)은 다음과 같이 정의된다.$$(A+B)(\varphi)=A\varphi+B\varphi,\,\varphi\in D(A+B)=D(A)\cap D(B)$$\(D(A)\cap D(B)\)가 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하지 않아도 위의 정의가 적용된다. \(A,\,B\)가 조밀하게 정의되는 자기수반 연산자이더라도 \(D(A)\cap D(B)=\emptyset\)이 가능하다. 

정의 2.101 \(B_{-}\)를 크기가 1보다 작은 \(A\)에 대해 상대적인 유계 형식(form bounded)일 필요충분조건은 \(Q(A)\subset Q(B_{-})\)이고 양의 상수 \(\gamma<1\)과 \(\delta\)가 존재해서 다음이 성립하는 것이다.$$\|B_{-}^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}\leq\gamma\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}+\delta\|\varphi\|^{2},\,\varphi\in Q(A)$$여기서 \(\gamma\)의 최대하계를 \(B\)의 \(A\)-형 유계라고 하고, 위의 부등식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$|q_{B_{-}}(\varphi)|\leq\gamma q_{A}(\varphi)+\delta\|\varphi\|^{2},\,\varphi\in Q(A)$$상대적 유계성의 가정에 \(Q(A)\cap Q(B_{+})\)가 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하다는 가정을 추가한다. 다음의 사상$$(*)\,q_{A}(\varphi,\,\psi)+q_{B}(\varphi,\,\psi)=\langle A^{\frac{1}{2}}\varphi,\,A^{\frac{1}{2}}\psi\rangle+\langle B_{+}^{\frac{1}{2}}\varphi,\,B_{+}^{\frac{1}{2}}\psi\rangle-\langle B_{-}^{\frac{1}{2}}\varphi,\,B_{-}^{\frac{1}{2}}\psi\rangle,\,\varphi,\,\psi\in Q(A)\cap Q(B_{+})$$는 쌍선형적 형태이다. 게다가 정의 2.101에 의해 아래로 유계인데 그 이유는 \(\varphi\in Q(A)\cap Q(B_{+})\)에 대해 다음의 부등식이 성립하기 때문이다.$$\begin{align*}\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}+\|B_{+}^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}-\|B_{-}^{\frac{1}{2}}\|^{2}&\geq\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}+\|B_{+}^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}-\gamma\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}-\delta\|\varphi\|^{2}\\&=(1-\gamma)\|A^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}+\|B_{+}^{\frac{1}{2}}\varphi\|^{2}-\delta\|\varphi\|^{2}\\&\geq-\delta\|\varphi\|^{2}\end{align*}$$정리 2.102(연산자의 형식적 합, form sum of operators) \(A\)와 \(B\)를 \(\mathcal{H}\)상의 자기수반 연산자로 \(A\)는 음이 아니고, \(B_{-}\)는 \(A\)-형 유계로 크기가 1보다 작고, \(Q(A)\cap Q(B_{+})\)가 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하다고 하자. 

그러면 위의 식 (*)로 정의된 이차형식 \(q_{A}+q_{B}\)는 닫혀있고, 반유계이며, 유일한 반유계 연산자 \(A+B\)가 존재해서 \(A\)와 \(B\)의 합으로 \(q_{A+B}=q_{A}q_{B}\)이다. 게다가$$Q(A+B)=Q(A)\cap Q(B)=Q(A)\cap Q(B_{-})$$이고, 연산자 \(A+B\)는 대수적 합 \(A+B\)의 자기수반 확장이다(\(D(A+B)=D(A)\cap D(B)\)). 

정의 2.103 (가토 류, Kato class \(K_{n}\)) \(W:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)을 르베그 가측함수라 하자. 함수 \(W\)가 가토 류 \(K_{n}\)에 속할 필요충분조건은 다음과 같다.

(a) (\(n\geq3\)) \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{\int_{\|x-y\|\leq r}{\|x-y\|^{2-d}|W(y)|dy}}}=0\) 

(b) \((n=2)\) \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{2}}{\int_{\|x-y\|\leq r}{(\ln\|x-y\|^{-1})|w(y)|dy}}}=0\) 

(c) \((n=1)\) \(\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}{\int_{|x-y|\leq r}{|W(y)|dy}}<\infty\)

정의 2.104 \(W:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측함수, \(p\in[1,\,\infty)\)라 하자.

(i) \(W\)가 \(L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})-\)균등(uniformly)(이것을 \(W\in L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})_{u}\), 또는 \(W\in(L_{\text{loc}}^{p})\)_{u})일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{\int_{\|x-y\|\leq1}{|W(y)|^{p}dy}}<\infty$$(ii) \(W\)가 \((L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n}))-\)강한 균등(strongly uniformly)(이것을 \(W\in L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})_{\tilde{u}}\), 또는 \(W\in(L_{\text{loc}}^{p})_{\tilde{u}}\))일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}{\int_{\|x-y\|\leq r}{|W(y)|^{p}dy}}}$$명제 2.105 \(W\in K_{n}\)이면, \(W\)는 \(H_{0}\)(자유 해밀토니안)-형식 유계이고 크기는 1보다 작다. 

명제 2.106 

(a) 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 \(K_{n}\subset L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\)

(b) \(n\geq2\)에 대해 \(\displaystyle p>\frac{n}{2}\)라 하고, \(n=1\)에 대해 \(p=1\)이라 하면 다음을 얻는다.$$L^{p}(\mathbb{R}^{n})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\subset L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})_{\tilde{u}}\subset L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})\subset K_{n}$$명제 2.107 \(n,\,n'\)을 양의 정수로 \(n\leq n'\), 함수 \(W:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이 \(K_{n}\)에 속하고, \(T:\mathbb{R}^{n'}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 전선형이고 전사라 하자. 그러면 \(V(x)=W(Tx)\)는 \(K_{n'}\)에 속한다. 

정리 2.107 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측함수, \(V_{+}(=\max\{V,\,0\})\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)는 \(H_{0}\)(자유 해밀토니안)-형식 유계이고 그 크기가 1보다 작다고 하자. 그러면 형식적 합 \(H=H_{0}+V\)는 잘 정의되고 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 반유계, 자기수반연산자이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford