3-2 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분

3-2 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분

정리 3.6 (양의 연산자의 본질적 자기수반성의 판정법, criteria for essential self-adjointness of positive operators) $\mathcal{H}$를 힐베르트공간, $A$를 $\mathcal{H}$에서 대칭연산자로 양의 연산자, 즉 $c>0$가 존재해서 모든 $\varphi\in D(A)$에 대해 $\langle A\varphi,\,\varphi\rangle\geq c\langle\varphi,\,\varphi\rangle$라 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(i) $A$가 본질적 자기수반이다. 즉, 유일한 자기수반 확장을 갖는다(폐포 $\overline{A}$).

(ii) $\text{Ker}(A^{*})=\{0\}$

(iii) $R(A)$($A$의 치역)는 조밀하다.

(iv) $A$는 오직 하나의 반유계 자기수반 확장을 갖는다. 

시험함수(test function)들의 공간 $\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$은 무한번 미분가능하고, $\mathbb{R}^{n}$에서 컴팩트 받침을 갖는 복소함수들의 공간이다. $\{\varphi_{n}\}$과 $\varphi$가 $\mathcal{D}$에 있다고 하자. $\varphi_{n}$이 $\varphi$로 수렴할 필요충분조건은 컴팩트집합 $K$가 존재해서 $K$에서 받침을 갖고, 모든 음이 아닌 정수들의 다중지표 $\alpha$에 대해 $D^{\alpha}\varphi_{n}$이 $D^{\alpha}\varphi$로 균등수렴하는 것이다. 여기서 $$D^{\alpha}\varphi=\frac{\partial^{|\alpha|}\varphi}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}),\,|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}$$ 분포들의 공간 $\mathcal{D}'$은 $\mathcal{D}$상의 연속 선형범함수들의 공간이다($\mathcal{D}'$의 원소를 분포(distribution)라고 한다). $\mathcal{D}'$상의 $\{T_{n}\}$과 $T$에 대해 $T_{n}$이 $T$로 수렴할 필요충분조건은 모든 $\varphi\in D$에 대해 $T_{n}(\varphi)\,\rightarrow\,T(\varphi)$가 성립하는 것이다. $T$의 $\alpha$($\alpha$는 다중지수로 $\varphi\in D$에서 작용한다)번째 도함수는 다음과 같다. $$(D^{\alpha}T)(\varphi)=T((-1)^{|\alpha|}D^{\alpha}(\varphi))$$ 미분연산자는 $\mathcal{D}'$에서 연속연산자이고, 함수 $u\in L^{2}$에서 작용하는 분포적 라플라시안(distributional Laplacian) $\displaystyle\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}$에 대해 $\Delta u\in L^{2}$이다.

$\mathbb{R}^{n}$의 모든 컴팩트 부분집합에서 적분가능한(국소 적분가능한, locally integrable) $\mathbb{R}^{n}$상의 복소함수들의 공간 $L_{\text{loc}}^{1}=L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})$은 다음의 공식으로부터 $\mathcal{D}'$의 부분공간으로서 매입(embedded)된다. $$T_{v}\varphi=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi vdx}$$ $T_{v}=T_{w}$이면, $v=w$이고 $v=w\in L_{\text{loc}}^{1}$이다. 게다가 $L_{\text{loc}}^{1}$에서 $v_{n}\,\rightarrow\,v$이면 즉, 모든 컴팩트집합 $K\subset\mathbb{R}^{n}$에 대해 $\displaystyle\int_{K}{|v_{n}-v|dx}\,\rightarrow\,0$이면, $D'$에서 $T_{v_{n}}\,\rightarrow\,T_{v}$이다. 모호함의 여지가 없을 때는 $T_{v}$대신 $v$로 나타낸다.

$T\in\mathcal{D}'$가 양(positive)의 연산자($T\geq0$으로 나타낸다)일 필요충분조건은 음이 아닌 모든 $\varphi\in\mathcal{D}$에 대해 $T\varphi\geq0$이 성립하는 것이다. 주어진 두 분포 $T_{1},\,T_{2}$에 대해 $T_{2}\geq T_{1}$일 필요충분조건은 $T_{2}-T_{1}\geq0$이다. 양의 분포 $T$는 하나의 양측도와 대응한다. 즉, 측도 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,[0,\,\infty)$가 존재해서 컴팩트집합에서 유한하고 모든 $\varphi\in\mathcal{D}$에 대해 다음이 성립한다. $$T\varphi=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(x)d\mu(x)}$$ 정리 3.7 (가토의 부등식, Kato's inequality) $u\in L_{\text{loc}}^{1}$에 대해 $\Delta u\in L_{\text{loc}}^{1}$, $$(\text{sgn}u)(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\overline{u}(x)}{|u(x)|}&\,(u(x)\neq0)\\0&\,(u(x)=0)\end{cases}$$ 라 하자. 물론 $\text{sgn}u\in L^{\infty}$이고 $\text{sgn}u,\,(\text{sgn}u)\Delta u,\,\text{Re}\{(\text{sgn}u)\Delta u\}\in L^{1}$이고 따라서 이들은 모두 분포이다. 

그러면 다음의 부등식을 얻는다. $$\Delta|u|\geq\text{Re}\{(\text{sgn}u)\Delta u\}$$ 보조정리 3.8 $V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$를 $V\geq0\,\lambda-a.e.$($\lambda$는 르베그측도)라 하자. $u\in D\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}$이면, $\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}u$와 $(-\Delta+V+1)u$은 분포이고 다음이 성립한다. $$\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}u=(-\Delta+V+1)u\in\mathcal{D}'$$ 앞의 보조정리에 의해 $u\in D\{(-\Delta+V+1)|_{D}^{*}\}$이면, $(-\Delta+V+1)u\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이다. 

정리 3.9 (가토, Kato) $V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $V\geq0\,\text{pointwise}$라 하자. 그러면 $-\Delta+V$는 $\mathcal{D}$에서 본질적 자기수반이다.

따름정리 3.10 $V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $c$를 음이 아닌 상수로 $V\geq-c\,\text{pointwise}\,a.e.$라 하자. 그러면 $-\Delta+V$는 $\mathcal{D}$에서 본질적 자기수반이다. 

정의 3.11 복소 힐베르트공간 $\mathcal{H}$에서 $A$를 자기수반 $B$를 (조밀하게 정의된) 대칭연산자라 하자. $B$가 크기가 1보다 작은 $A$에 대한 상대적 연산자 유계(relatively operator bounded)일 필요충분조건은 $D(A)\subset D(B)$이고 양의 상수 $a<1$과 $b$에 대해 다음이 성립하는 것이다. $$\|B\varphi\|\leq a\|A\varphi\|+b\|\varphi\|\,\varphi\in D(A)$$ 이러한 $a$의 최대하계를 $B$의 $A-$연산자 유계라고 한다. 

명제 3.12 $A,\,B$를 힐베르트공간 $\mathcal{H}$에서 자기수반연산자, $A$는 음이 아니고 $Q(A)\cap Q(B_{+})$는 $\mathcal{H}$에서 조밀하다고 하자. 

(i) $B_{-}$가 크기가 1보다 작은 $A-$연산자 유계이면, 크기가 1보다 작은 $A-$형 유계연산자 이다.

(ii) $B_{-}$가 크기가 1보다 작은 $A-$형 유계로 $A+B$가 잘 정의된다고 하자. $A+B|_{D}$($D$는 부분공간)가 본질적 자기수반이면, $A$와 $B$의 형식적 합 $A+B$와 같은 유일한 자기수반 확장 $\overline{(A+B)|_{D}}$를 갖는다.  

정리 3.13 (가토, Kato) $V=V_{+}-V_{-}$를 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 가측 실함수로 $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $V_{-}$를 $H_{0}$(자유 해밀토니안)-연산자 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 그러면 $H_{0}+V$는 $\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$에서 본질적 자기수반이다. 

정의 3.14 $W:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측, $S_{n}$에 속할 필요충분조건은 다음과 같다.

(a) $n\geq5$ $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}\int_{\|x-y\|\leq r}{\|W(y)\|^{4-n}|W(y)|^{2}dy}}=0$

(b) $n=4$ $\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{4}}\int_{\|x-y\|\leq r}{\{\ln\|x-y\|^{-1}\}|W(y)|^{2}dy}}=0$

(c) $n\leq3$ $\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}\int_{\|x-y\|\leq1}{|W(y)|^{2}dy}<\infty$

$n\leq3$에 대해 $S_{n}=L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})_{u}$이다. 

명제 3.15 $W\in S_{n}$이면, $W$는 $H_{0}-$연산자유계이고 크기는 1보다 작다.

명제 3.16 

(a) 모든 양의 정수 $n$에 대해 $S_{n}\subset L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})_{u}$이다.

(b) $n\geq4$에 대해 $\displaystyle p>\frac{n}{2}$이고 $n\leq3$에 대해 $p=2$이면, 다음이 성립한다. $$L^{p}(\mathbb{R}^{n})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\subset L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})_{u}\subset S_{n}$$ 보조정리 3.17 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측이고 $\lambda-a.e.$($\lambda$는 르베그측도) 유한하다고 하자. 그러면 모든 $t\in\mathbb{R}$와 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $\lambda-a.e.\,v$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}&\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)=\\&\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{n}-x_{n-1}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{it}{n}V(x_{n-1})\right)\\&\times\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{n-1}-x_{n-2}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{n-2})\right)\times\cdots\\&\times\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{2}-x_{1}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{1})\right)\\&\times\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{1}-x_{0}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{0})\right)\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-2}dx_{n-1}\end{align*}$$ 정리 3.18 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그가측, $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $V_{-}$를 크기가 1보다 작은 $H_{0}$(자유 해밀토니안) 연산자, $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이라 하자. 그러면 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $$\psi_{n}(t,\,v)=\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)$$ 는 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서의 한 함수를 정의하고, 거의 모든 $v\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 보조정리 3.17의 적분식으로 주어진다. 

게다가 함수 $\psi:(-\infty,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 존재해서 $\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이고 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\|\psi(t,\,\cdot)-\psi_{n}(t,\,\cdot)\|_{2}\,\rightarrow\,0$$ 이다. 여기서 극한은 $\mathbb{R}$의 모든 유계 부분집합에 속하는 $t$에 대해서 균등이다. 함수 $\psi(t,\,\cdot)$는 $\varphi$에서 유니타리 군 $e^{-itH}$의 작용으로 주어진다. 즉, $$\psi(t,\,v)=(e^{-itH}\varphi)(v)\,\lambda-a.e.\,v$$ ($\lambda$는 르베그측도)여기서 $H=\overline{(H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}}$는 본질적 자기수반 연산자 $(H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}$의 유일한 자기수반 확장이고, $\varphi\in D(H)$에 대해 $\psi(t,\,v)$는 다음의 슈뢰딩거 방정식의 유일한 해이다. $$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-iH\psi,\,\psi(0,\,\cdot)=\varphi$$ 정의 3.19 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측이고, $\lambda-a.e.$($\lambda$는 르베그측도)유한하다고 하자.  $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자 $\displaystyle\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}$는 모든 양의 정수 $n$과 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $v\,\lambda-a.e.$에 대해 $\displaystyle\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)$는 보조정리 3.17의 적분식과 같다. 위치에너지 $V$의 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분(Feynman integral via TPF(Trotter Product Formula))을 $\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)$로 나타내고, 다음과 같이 $\mathcal{L}(L^{2}(\mathbb{R}^{n}))$에서 강 연산자 극한으로 정의하는데 $$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)=s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}}$$ 이때 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음의 극한이 존재해야 한다. $$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)\varphi=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi}$$ 따름정리 3.20 (트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분의 존재성, Existence of the Feynman integral via the Trotter product formula) $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측, $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $V_{-}$는 크기가 1보다 작은 $H_{0}$에 대한 상대적 연산자 유계라 하자. 그러면 강한 연산자 극한일 때 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}$가 존재하고, 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R^{n}})$와 $\mathbb{R}$의 유계 부분집합상의 $t$에 대해 균등이다. 게다가 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)=e^{-itH},\,H=\overline{(H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}}(=H_{0}+V)$$ 이고 마지막으로 $\varphi\in D(H)$에 대해 $\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)\varphi$는 초기상태가 $\varphi$인 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford