3-2 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분

3-2 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분

정리 3.6 (양의 연산자의 본질적 자기수반성의 판정법, criteria for essential self-adjointness of positive operators) \(\mathcal{H}\)를 힐베르트공간, \(A\)를 \(\mathcal{H}\)에서 대칭연산자로 양의 연산자, 즉 \(c>0\)가 존재해서 모든 \(\varphi\in D(A)\)에 대해 \(\langle A\varphi,\,\varphi\rangle\geq c\langle\varphi,\,\varphi\rangle\)라 하자. 그러면 다음의 명제들은 서로 동치이다.

(i) \(A\)가 본질적 자기수반이다. 즉, 유일한 자기수반 확장을 갖는다(폐포 \(\overline{A}\)).

(ii) \(\text{Ker}(A^{*})=\{0\}\)

(iii) \(R(A)\)(\(A\)의 치역)는 조밀하다.

(iv) \(A\)는 오직 하나의 반유계 자기수반 확장을 갖는다. 

시험함수(test function)들의 공간 \(\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\)은 무한번 미분가능하고, \(\mathbb{R}^{n}\)에서 컴팩트 받침을 갖는 복소함수들의 공간이다. \(\{\varphi_{n}\}\)과 \(\varphi\)가 \(\mathcal{D}\)에 있다고 하자. \(\varphi_{n}\)이 \(\varphi\)로 수렴할 필요충분조건은 컴팩트집합 \(K\)가 존재해서 \(K\)에서 받침을 갖고, 모든 음이 아닌 정수들의 다중지표 \(\alpha\)에 대해 \(D^{\alpha}\varphi_{n}\)이 \(D^{\alpha}\varphi\)로 균등수렴하는 것이다. 여기서$$D^{\alpha}\varphi=\frac{\partial^{|\alpha|}\varphi}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}},\,\alpha=(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}),\,|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}$$분포들의 공간 \(\mathcal{D}'\)은 \(\mathcal{D}\)상의 연속 선형범함수들의 공간이다(\(\mathcal{D}'\)의 원소를 분포(distribution)라고 한다). \(\mathcal{D}'\)상의 \(\{T_{n}\}\)과 \(T\)에 대해 \(T_{n}\)이 \(T\)로 수렴할 필요충분조건은 모든 \(\varphi\in D\)에 대해 \(T_{n}(\varphi)\,\rightarrow\,T(\varphi)\)가 성립하는 것이다. \(T\)의 \(\alpha\)(\(\alpha\)는 다중지수로 \(\varphi\in D\)에서 작용한다)번째 도함수는 다음과 같다.$$(D^{\alpha}T)(\varphi)=T((-1)^{|\alpha|}D^{\alpha}(\varphi))$$미분연산자는 \(\mathcal{D}'\)에서 연속연산자이고, 함수 \(u\in L^{2}\)에서 작용하는 분포적 라플라시안(distributional Laplacian) \(\displaystyle\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}\)에 대해 \(\Delta u\in L^{2}\)이다.

\(\mathbb{R}^{n}\)의 모든 컴팩트 부분집합에서 적분가능한(국소 적분가능한, locally integrable) \(\mathbb{R}^{n}\)상의 복소함수들의 공간 \(L_{\text{loc}}^{1}=L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\)은 다음의 공식으로부터 \(\mathcal{D}'\)의 부분공간으로서 매입(embedded)된다.$$T_{v}\varphi=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi vdx}$$\(T_{v}=T_{w}\)이면, \(v=w\)이고 \(v=w\in L_{\text{loc}}^{1}\)이다. 게다가 \(L_{\text{loc}}^{1}\)에서 \(v_{n}\,\rightarrow\,v\)이면 즉, 모든 컴팩트집합 \(K\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{K}{|v_{n}-v|dx}\,\rightarrow\,0\)이면, \(D'\)에서 \(T_{v_{n}}\,\rightarrow\,T_{v}\)이다. 모호함의 여지가 없을 때는 \(T_{v}\)대신 \(v\)로 나타낸다.

\(T\in\mathcal{D}'\)가 양(positive)의 연산자(\(T\geq0\)으로 나타낸다)일 필요충분조건은 음이 아닌 모든 \(\varphi\in\mathcal{D}\)에 대해 \(T\varphi\geq0\)이 성립하는 것이다. 주어진 두 분포 \(T_{1},\,T_{2}\)에 대해 \(T_{2}\geq T_{1}\)일 필요충분조건은 \(T_{2}-T_{1}\geq0\)이다. 양의 분포 \(T\)는 하나의 양측도와 대응한다. 즉, 측도 \(\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\,\rightarrow\,[0,\,\infty)\)가 존재해서 컴팩트집합에서 유한하고 모든 \(\varphi\in\mathcal{D}\)에 대해 다음이 성립한다.$$T\varphi=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\varphi(x)d\mu(x)}$$정리 3.7 (가토의 부등식, Kato's inequality) \(u\in L_{\text{loc}}^{1}\)에 대해 \(\Delta u\in L_{\text{loc}}^{1}\),$$(\text{sgn}u)(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\overline{u}(x)}{|u(x)|}&\,(u(x)\neq0)\\0&\,(u(x)=0)\end{cases}$$라 하자. 물론 \(\text{sgn}u\in L^{\infty}\)이고 \(\text{sgn}u,\,(\text{sgn}u)\Delta u,\,\text{Re}\{(\text{sgn}u)\Delta u\}\in L^{1}\)이고 따라서 이들은 모두 분포이다. 

그러면 다음의 부등식을 얻는다.$$\Delta|u|\geq\text{Re}\{(\text{sgn}u)\Delta u\}$$보조정리 3.8 \(V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\)를 \(V\geq0\,\lambda-a.e.\)(\(\lambda\)는 르베그측도)라 하자. \(u\in D\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}\)이면, \(\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}u\)와 \((-\Delta+V+1)u\)은 분포이고 다음이 성립한다.$$\{(-\Delta+V+1)|_{\mathcal{D}}\}^{*}u=(-\Delta+V+1)u\in\mathcal{D}'$$앞의 보조정리에 의해 \(u\in D\{(-\Delta+V+1)|_{D}^{*}\}\)이면, \((-\Delta+V+1)u\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이다. 

정리 3.9 (가토, Kato) \(V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(V\geq0\,\text{pointwise}\)라 하자. 그러면 \(-\Delta+V\)는 \(\mathcal{D}\)에서 본질적 자기수반이다.

따름정리 3.10 \(V\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(c\)를 음이 아닌 상수로 \(V\geq-c\,\text{pointwise}\,a.e.\)라 하자. 그러면 \(-\Delta+V\)는 \(\mathcal{D}\)에서 본질적 자기수반이다. 

정의 3.11 복소 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 \(A\)를 자기수반 \(B\)를 (조밀하게 정의된) 대칭연산자라 하자. \(B\)가 크기가 1보다 작은 \(A\)에 대한 상대적 연산자 유계(relatively operator bounded)일 필요충분조건은 \(D(A)\subset D(B)\)이고 양의 상수 \(a<1\)과 \(b\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\|B\varphi\|\leq a\|A\varphi\|+b\|\varphi\|\,\varphi\in D(A)$$이러한 \(a\)의 최대하계를 \(B\)의 \(A-\)연산자 유계라고 한다. 

명제 3.12 \(A,\,B\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 자기수반연산자, \(A\)는 음이 아니고 \(Q(A)\cap Q(B_{+})\)는 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하다고 하자. 

(i) \(B_{-}\)가 크기가 1보다 작은 \(A-\)연산자 유계이면, 크기가 1보다 작은 \(A-\)형 유계연산자 이다.

(ii) \(B_{-}\)가 크기가 1보다 작은 \(A-\)형 유계로 \(A+B\)가 잘 정의된다고 하자. \(A+B|_{D}\)(\(D\)는 부분공간)가 본질적 자기수반이면, \(A\)와 \(B\)의 형식적 합 \(A+B\)와 같은 유일한 자기수반 확장 \(\overline{(A+B)|_{D}}\)를 갖는다.  

정리 3.13 (가토, Kato) \(V=V_{+}-V_{-}\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그 가측 실함수로 \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)를 \(H_{0}\)(자유 해밀토니안)-연산자 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 그러면 \(H_{0}+V\)는 \(\mathcal{D}=\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\)에서 본질적 자기수반이다. 

정의 3.14 \(W:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측, \(S_{n}\)에 속할 필요충분조건은 다음과 같다.

(a) \(n\geq5\) \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}\int_{\|x-y\|\leq r}{\|W(y)\|^{4-n}|W(y)|^{2}dy}}=0\)

(b) \(n=4\) \(\displaystyle\lim_{r\,\rightarrow\,0+}{\sup_{x\in\mathbb{R}^{4}}\int_{\|x-y\|\leq r}{\{\ln\|x-y\|^{-1}\}|W(y)|^{2}dy}}=0\)

(c) \(n\leq3\) \(\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}^{n}}\int_{\|x-y\|\leq1}{|W(y)|^{2}dy}<\infty\)

\(n\leq3\)에 대해 \(S_{n}=L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})_{u}\)이다. 

명제 3.15 \(W\in S_{n}\)이면, \(W\)는 \(H_{0}-\)연산자유계이고 크기는 1보다 작다.

명제 3.16 

(a) 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 \(S_{n}\subset L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})_{u}\)이다.

(b) \(n\geq4\)에 대해 \(\displaystyle p>\frac{n}{2}\)이고 \(n\leq3\)에 대해 \(p=2\)이면, 다음이 성립한다.$$L^{p}(\mathbb{R}^{n})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\subset L_{\text{loc}}^{p}(\mathbb{R}^{n})_{u}\subset S_{n}$$보조정리 3.17 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측이고 \(\lambda-a.e.\)(\(\lambda\)는 르베그측도) 유한하다고 하자. 그러면 모든 \(t\in\mathbb{R}\)와 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(\lambda-a.e.\,v\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}&\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)=\\&\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{n}-x_{n-1}\|^{2}\right)\exp\left(-\frac{it}{n}V(x_{n-1})\right)\\&\times\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{n-1}-x_{n-2}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{n-2})\right)\times\cdots\\&\times\left(\frac{-i}{2\pi\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{2}-x_{1}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{1})\right)\\&\times\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp\left(\frac{i}{2\frac{t}{n}}\|x_{1}-x_{0}\|^{2}\right)\exp\left(\frac{-it}{n}V(x_{0})\right)\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{n-2}dx_{n-1}\end{align*}$$정리 3.18 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그가측, \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)를 크기가 1보다 작은 \(H_{0}\)(자유 해밀토니안) 연산자, \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이라 하자. 그러면 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해$$\psi_{n}(t,\,v)=\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)$$는 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 한 함수를 정의하고, 거의 모든 \(v\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 보조정리 3.17의 적분식으로 주어진다. 

게다가 함수 \(\psi:(-\infty,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 존재해서 \(\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이고 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\|\psi(t,\,\cdot)-\psi_{n}(t,\,\cdot)\|_{2}\,\rightarrow\,0$$이다. 여기서 극한은 \(\mathbb{R}\)의 모든 유계 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해서 균등이다. 함수 \(\psi(t,\,\cdot)\)는 \(\varphi\)에서 유니타리 군 \(e^{-itH}\)의 작용으로 주어진다. 즉,$$\psi(t,\,v)=(e^{-itH}\varphi)(v)\,\lambda-a.e.\,v$$(\(\lambda\)는 르베그측도)여기서 \(H=\overline{(H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}}\)는 본질적 자기수반 연산자 \((H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}\)의 유일한 자기수반 확장이고, \(\varphi\in D(H)\)에 대해 \(\psi(t,\,v)\)는 다음의 슈뢰딩거 방정식의 유일한 해이다.$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-iH\psi,\,\psi(0,\,\cdot)=\varphi$$정의 3.19 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측이고, \(\lambda-a.e.\)(\(\lambda\)는 르베그측도)유한하다고 하자.  \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자 \(\displaystyle\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\)는 모든 양의 정수 \(n\)과 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(v\,\lambda-a.e.\)에 대해 \(\displaystyle\left\{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi\right\}(v)\)는 보조정리 3.17의 적분식과 같다. 위치에너지 \(V\)의 트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분(Feynman integral via TPF(Trotter Product Formula))을 \(\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)\)로 나타내고, 다음과 같이 \(\mathcal{L}(L^{2}(\mathbb{R}^{n}))\)에서 강 연산자 극한으로 정의하는데$$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)=s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}}$$이때 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음의 극한이 존재해야 한다.$$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)\varphi=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}H_{0}}e^{-i\frac{t}{n}V}\right)^{n}\varphi}$$따름정리 3.20 (트롯터 곱 공식에 의한 파인만 적분의 존재성, Existence of the Feynman integral via the Trotter product formula) \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측, \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)는 크기가 1보다 작은 \(H_{0}\)에 대한 상대적 연산자 유계라 하자. 그러면 강한 연산자 극한일 때 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}\)가 존재하고, 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R^{n}})\)와 \(\mathbb{R}\)의 유계 부분집합상의 \(t\)에 대해 균등이다. 게다가 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해$$\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)=e^{-itH},\,H=\overline{(H_{0}+V)|_{\mathcal{D}}}(=H_{0}+V)$$이고 마지막으로 \(\varphi\in D(H)\)에 대해 \(\mathcal{F}_{\text{TP}}^{t}(V)\varphi\)는 초기상태가 \(\varphi\)인 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford