3-3 수정된 파인만 적분, 파인만-칵 공식

3-3 수정된 파인만 적분, 파인만-칵 공식

$\mathcal{H}$를 복소 힐베르트공간으로 내적은 $\langle\cdot,\,\cdot\rangle$, 노름은 $\|\cdot\|$라고 하자. $A,\,B$를 $\mathcal{H}$에서 (비유계) 자기수반 연산자로 $A$는 음이 아니고, $B_{+}$와 $B_{-}$를 각각 $B$의 양의 부분, 음의 부분으로 2-9의 스펙트럼 정리로부터 정의된다고 하자. 그러면 $B_{+}$와 $B_{-}$는 음이 아닌 자기수반 연산자이고 $B=B_{+}-B_{-}$이다. 

$B_{-}$를 $A$에 대한 상대적 형태의 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 즉 $Q(A)\subset Q(B_{-})$이고 양의 상수 $\gamma<1$와 $\delta$가 존재해서 다음이 성립한다고 하자. $$\|B_{-}^{\frac{1}{2}}x\|^{2}\leq\gamma\|A^{\frac{1}{2}}x\|^{2}+\delta\|x\|^{2},\,x\in Q(A)$$ $Q(A)\cap Q(B_{+})(=Q(A)\cap Q(B))$가 $\mathcal{H}$에서 조밀하다고 하자. 그러면 2-9로부터 다음의 2차형식 $$x\,\mapsto\,\|A^{\frac{1}{2}}x\|^{2}+\|B_{+}^{\frac{1}{2}}x\|^{2}-\|B_{-}^{\frac{1}{2}}\|^{2},\,x\in Q(A)\cap Q(B_{+})$$ 은 아래로 유계이고 닫혀있고, 유일한(아래로 유계) 이 이차형식과 관련된 자기수반 연산자 $A+B$가 존재한다. 이 연산자 $A+B$를 $A$와 $B$의 형식적 합(form sum)이라고 한다.

정리 3.21 (허수 역핵에 대한 곱 공식, Product formula for imaginary resolvents) 앞에서의 가정 하에서 모든 $u\in\mathcal{H}$에 대해 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{n}A\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{n}B\right\}^{-1}\right)^{n}u}=e^{-it(A+B)}u$$ 이고 $\mathbb{R}$의 컴팩트(유계) 부분집합에 속하는 $t$에 대해 균등이다. 이것을 강 연산자 극한으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{n}A\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{n}B\right\}^{-1}\right)^{n}}=e^{-it(A+B)}$$ $\displaystyle H_{0}=-\frac{1}{2}\Delta$를 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 작용하는 자유 해밀토니안이라고 하자. $t\in\mathbb{R}$에 대해 $G=G(x,\,y,\,t):\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 정리 2.89에서의 그린함수라 하자. 이것은 $t\in\mathbb{R}-\{0\}$에 대해 $G(\cdot,\,\cdot,\,t)$가 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 작용하는 합성곱 연산자 $(I+itH_{0})^{-1}$의 적분핵(integral kernel)이고, 따라서 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$와 $\lambda-a.e.$(르베그측도) $x\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 다음이 성립한다. $$(\{I+itH_{0}\}^{-1}\varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{G(x,\,y,\,t)\varphi(y)dy}$$ 여기서 위 식의 우변은 르베그적분이다. 정리 2.89에 의해 $t>0$일 때 $n=1$에 대해 $$G(x,\,y,\,t)=\left(\frac{-i}{2t}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-(1-i)\frac{|x-y|}{\sqrt{t}}}$$ 이고 $n=3$에 대해 $$G(x,\,y,\,t)=\left(\frac{-i}{2\pi t}\right)\frac{e^{-(1-i)\frac{\|x-y\|}{\sqrt{t}}}}{\|x-y\|}$$ 이다.

보조정리 3.22 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측이고 $\lambda-a.e.$(르베그측도)유한하다고 하자. 그러면 모든 $t\in\mathbb{R}$와 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $\lambda-a.e.\,v\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}&\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi\right\}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{m-1},\,x_{m},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{m-1})\right)^{-1}\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{m-2},\,x_{m-1},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{m-2})\right)^{-1}\times\cdots\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{1},\,x_{2},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{1})\right)^{-1}\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{0},\,x_{1},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{0})\right)^{-1}\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{m-2}dx_{m-1}\\&=\int_{(\mathbb{R}^{n})^{m}}{\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)\prod_{j=1}^{m}{\left(1+i\frac{t}{n}V(x_{j})\right)^{-1}}\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{m-2}dx_{m-1}}\end{align*}$$ 여기서 $x_{m}=v$이고 위 식의 첫 번째 $m$중적분과 두 번째 다중적분은 $\lambda-a.e.$(르베그측도) $v\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 르베그적분으로서 존재하고, $v$의 함수로서 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서의 함수를 정의한다.

여기서 $\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)$는 합성곱 연산자 $\displaystyle\left(1+i\frac{t}{n}H_{0}\right)^{-1}$의 $n$중 핵(kernel)으로 다음과 같이 정의된다. $$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)=\prod_{j=1}^{n}{G\left(x_{j-1},\,x_{j},\,\frac{t}{m}\right)}$$ 특히 $t>0$일 때 $n=1$에 대해 $$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)=\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}e^{\displaystyle\tiny-(1-i)\sum_{j=1}^{m}{\frac{|x_{j}-x_{j-1}|}{\sqrt{\frac{t}{n}}}}}$$ 이고 $n=3$에 대해 $$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n},\,t)=\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}\left(\prod_{j=1}^{m}{\|x_{j}-x_{j-1}\|}\right)^{-1}e^{\displaystyle\tiny-(1-i)\sum_{j=1}^{n}{\frac{\|x_{j}-x_{j-1}\|}{\sqrt{\frac{t}{n}}}}}$$ 게다가 $t<0$에 대해 위의 $\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)$는 $\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt{\frac{t}{n}}}$이 $\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt{\frac{t}{n}}}$로 교체되었다는 점을 제외하면 같다.

정리 3.23 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그가측함수로 $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})$이고 $V_{-}$는 $H_{0}-$형 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 또한 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$라 하자. 

그러면 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $$\Phi_{m}(t,\,v)=\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{n}\varphi\right\}(v)$$ 는 거의 모든 $v\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에서의 함수를 정의하고, 보조정리 3.22의 적분식과 같다. 

게다가 함수 $\psi:(-\infty,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$가 존재해서 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$이고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\|\psi(t,\,\cdot)-\Phi_{m}(t,\,\cdot)\|_{2}\,\rightarrow\,0$$ 이고 극한은 $\mathbb{R}$의 모든 유계 부분집합상의 $t$에 대해 균등이다.  함수 $\psi(t,\,\cdot)$는 $\varphi$에서의 유니타리 군 $e^{-itH}$의 작용에 의해 다음과 같이 정의되고 $$\psi(t,\,v)=(e^{-itH}\varphi)(v)\,\lambda-a.e.\,v$$ 여기서 $H=H_{0}+V$는 $H_{0}$와 $V$의 형식적 합이다.

마지막으로 $\varphi\in D(H)$에 대해 $\psi(t,\,v)$는 다음의 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다. $$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-iH\psi,\,\psi(0,\,\cdot)=\varphi$$ 정의 3.24 (수정된 파인만 적분, modified Feynman integral) $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측, 모든 양의 정수 $n$과 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$상의 연산자 $\displaystyle\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}$가 잘 정의된다. $\displaystyle\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi\right\}(v)$는 보조정리 3.22의 적분식 중 하나와 같고, 그 적분은 르베그적분이다.

위치에너지 $V$의 수정된 파인만 적분(modified Feynman integral)을 $\mathcal{F}_{M}^{t}(V)$로 나타내고, 다음의 $\mathcal{L}(L^{2}(\mathbb{R}^{n}))$상의 강 연산자 극한으로 정의되고 $$\mathcal{F}_{M}^{t}=s-\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}}$$ 이때 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 다음의 극한이 존재한다. $$\mathcal{F}_{M}^{t}\varphi=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi}$$ 따름정리 3.25 $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 르베그 가측으로 $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, $V_{-}$는 크기가 1보다 작은 $H_{0}$에 대한 형식적 유계라고 하자. 그러면 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $\mathcal{F}_{M}^{t}$가 모든 $\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 정의 3.24의 강 연산자 극한으로서 존재한다. 게다가 모든 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $$\mathcal{F}_{M}^{t}(V)=e^{-itH},\,H=H_{0}+V$$ 이고 마지막으로 $\varphi\in D(H)$와 $t\in\mathbb{R}$에 대해 $\mathcal{F}_{M}^{t}(V)\varphi$는 정리 3.23의 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다.

정리 3.26 (파인만-칵 공식, Feynman-Kac Formula) $V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$라 하고, $V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, $V_{-}$는 크기가 1보다 작은 $H_{0}-$형 유계라고 하자. 그러면 모든 $t>0$에 대해 열 반 군 $e^{-tH}$는 다음과 같이 주어지고 $$(e^{-tH}\psi)(\xi)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s)+\xi)ds}}\psi(x(t)+\xi)d\mathfrak{m}(x)}$$ 여기서 $\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$, $\xi\in\mathbb{R}^{n}$, $\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 위 식의 양변은 $\lambda-a.e.$(르베그측도) $\xi\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 같다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford