3-3 수정된 파인만 적분, 파인만-칵 공식

3-3 수정된 파인만 적분, 파인만-칵 공식

\(\mathcal{H}\)를 복소 힐베르트공간으로 내적은 \(\langle\cdot,\,\cdot\rangle\), 노름은 \(\|\cdot\|\)라고 하자. \(A,\,B\)를 \(\mathcal{H}\)에서 (비유계) 자기수반 연산자로 \(A\)는 음이 아니고, \(B_{+}\)와 \(B_{-}\)를 각각 \(B\)의 양의 부분, 음의 부분으로 2-9의 스펙트럼 정리로부터 정의된다고 하자. 그러면 \(B_{+}\)와 \(B_{-}\)는 음이 아닌 자기수반 연산자이고 \(B=B_{+}-B_{-}\)이다. 

\(B_{-}\)를 \(A\)에 대한 상대적 형태의 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 즉 \(Q(A)\subset Q(B_{-})\)이고 양의 상수 \(\gamma<1\)와 \(\delta\)가 존재해서 다음이 성립한다고 하자.$$\|B_{-}^{\frac{1}{2}}x\|^{2}\leq\gamma\|A^{\frac{1}{2}}x\|^{2}+\delta\|x\|^{2},\,x\in Q(A)$$\(Q(A)\cap Q(B_{+})(=Q(A)\cap Q(B))\)가 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하다고 하자. 그러면 2-9로부터 다음의 2차형식$$x\,\mapsto\,\|A^{\frac{1}{2}}x\|^{2}+\|B_{+}^{\frac{1}{2}}x\|^{2}-\|B_{-}^{\frac{1}{2}}\|^{2},\,x\in Q(A)\cap Q(B_{+})$$은 아래로 유계이고 닫혀있고, 유일한(아래로 유계) 이 이차형식과 관련된 자기수반 연산자 \(A+B\)가 존재한다. 이 연산자 \(A+B\)를 \(A\)와 \(B\)의 형식적 합(form sum)이라고 한다.

정리 3.21 (허수 역핵에 대한 곱 공식, Product formula for imaginary resolvents) 앞에서의 가정 하에서 모든 \(u\in\mathcal{H}\)에 대해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{n}A\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{n}B\right\}^{-1}\right)^{n}u}=e^{-it(A+B)}u$$이고 \(\mathbb{R}\)의 컴팩트(유계) 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등이다. 이것을 강 연산자 극한으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{n}A\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{n}B\right\}^{-1}\right)^{n}}=e^{-it(A+B)}$$\(\displaystyle H_{0}=-\frac{1}{2}\Delta\)를 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 작용하는 자유 해밀토니안이라고 하자. \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(G=G(x,\,y,\,t):\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 정리 2.89에서의 그린함수라 하자. 이것은 \(t\in\mathbb{R}-\{0\}\)에 대해 \(G(\cdot,\,\cdot,\,t)\)가 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 작용하는 합성곱 연산자 \((I+itH_{0})^{-1}\)의 적분핵(integral kernel)이고, 따라서 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)와 \(\lambda-a.e.\)(르베그측도) \(x\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 다음이 성립한다.$$(\{I+itH_{0}\}^{-1}\varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{G(x,\,y,\,t)\varphi(y)dy}$$여기서 위 식의 우변은 르베그적분이다. 정리 2.89에 의해 \(t>0\)일 때 \(n=1\)에 대해$$G(x,\,y,\,t)=\left(\frac{-i}{2t}\right)^{\frac{1}{2}}e^{-(1-i)\frac{|x-y|}{\sqrt{t}}}$$이고 \(n=3\)에 대해$$G(x,\,y,\,t)=\left(\frac{-i}{2\pi t}\right)\frac{e^{-(1-i)\frac{\|x-y\|}{\sqrt{t}}}}{\|x-y\|}$$이다.

보조정리 3.22 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측이고 \(\lambda-a.e.\)(르베그측도)유한하다고 하자. 그러면 모든 \(t\in\mathbb{R}\)와 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(\lambda-a.e.\,v\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}&\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi\right\}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{m-1},\,x_{m},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{m-1})\right)^{-1}\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{m-2},\,x_{m-1},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{m-2})\right)^{-1}\times\cdots\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{1},\,x_{2},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{1})\right)^{-1}\\&\times\int_{\mathbb{R}^{n}}G\left(x_{0},\,x_{1},\,\frac{t}{m}\right)\left(1+i\frac{t}{m}V(x_{0})\right)^{-1}\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{m-2}dx_{m-1}\\&=\int_{(\mathbb{R}^{n})^{m}}{\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)\prod_{j=1}^{m}{\left(1+i\frac{t}{n}V(x_{j})\right)^{-1}}\varphi(x_{0})dx_{0}dx_{1}\cdots dx_{m-2}dx_{m-1}}\end{align*}$$여기서 \(x_{m}=v\)이고 위 식의 첫 번째 \(m\)중적분과 두 번째 다중적분은 \(\lambda-a.e.\)(르베그측도) \(v\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 르베그적분으로서 존재하고, \(v\)의 함수로서 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 함수를 정의한다.

여기서 \(\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)\)는 합성곱 연산자 \(\displaystyle\left(1+i\frac{t}{n}H_{0}\right)^{-1}\)의 \(n\)중 핵(kernel)으로 다음과 같이 정의된다.$$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)=\prod_{j=1}^{n}{G\left(x_{j-1},\,x_{j},\,\frac{t}{m}\right)}$$특히 \(t>0\)일 때 \(n=1\)에 대해$$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)=\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}e^{\displaystyle\tiny-(1-i)\sum_{j=1}^{m}{\frac{|x_{j}-x_{j-1}|}{\sqrt{\frac{t}{n}}}}}$$이고 \(n=3\)에 대해$$\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n},\,t)=\left(\frac{-i}{2\frac{t}{n}}\right)^{\frac{m}{2}}\left(\prod_{j=1}^{m}{\|x_{j}-x_{j-1}\|}\right)^{-1}e^{\displaystyle\tiny-(1-i)\sum_{j=1}^{n}{\frac{\|x_{j}-x_{j-1}\|}{\sqrt{\frac{t}{n}}}}}$$게다가 \(t<0\)에 대해 위의 \(\mathcal{G}_{m}(x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{m},\,t)\)는 \(\displaystyle\frac{1-i}{\sqrt{\frac{t}{n}}}\)이 \(\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt{\frac{t}{n}}}\)로 교체되었다는 점을 제외하면 같다.

정리 3.23 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그가측함수로 \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\)이고 \(V_{-}\)는 \(H_{0}-\)형 유계로 크기가 1보다 작다고 하자. 또한 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)라 하자. 

그러면 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해$$\Phi_{m}(t,\,v)=\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{n}\varphi\right\}(v)$$는 거의 모든 \(v\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 함수를 정의하고, 보조정리 3.22의 적분식과 같다. 

게다가 함수 \(\psi:(-\infty,\,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 존재해서 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\psi(t,\,\cdot)\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)이고 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\|\psi(t,\,\cdot)-\Phi_{m}(t,\,\cdot)\|_{2}\,\rightarrow\,0$$이고 극한은 \(\mathbb{R}\)의 모든 유계 부분집합상의 \(t\)에 대해 균등이다.  함수 \(\psi(t,\,\cdot)\)는 \(\varphi\)에서의 유니타리 군 \(e^{-itH}\)의 작용에 의해 다음과 같이 정의되고$$\psi(t,\,v)=(e^{-itH}\varphi)(v)\,\lambda-a.e.\,v$$여기서 \(H=H_{0}+V\)는 \(H_{0}\)와 \(V\)의 형식적 합이다.

마지막으로 \(\varphi\in D(H)\)에 대해 \(\psi(t,\,v)\)는 다음의 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다.$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-iH\psi,\,\psi(0,\,\cdot)=\varphi$$정의 3.24 (수정된 파인만 적분, modified Feynman integral) \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측, 모든 양의 정수 \(n\)과 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)상의 연산자 \(\displaystyle\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\)가 잘 정의된다. \(\displaystyle\left\{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi\right\}(v)\)는 보조정리 3.22의 적분식 중 하나와 같고, 그 적분은 르베그적분이다.

위치에너지 \(V\)의 수정된 파인만 적분(modified Feynman integral)을 \(\mathcal{F}_{M}^{t}(V)\)로 나타내고, 다음의 \(\mathcal{L}(L^{2}(\mathbb{R}^{n}))\)상의 강 연산자 극한으로 정의되고$$\mathcal{F}_{M}^{t}=s-\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}}$$이때 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 다음의 극한이 존재한다.$$\mathcal{F}_{M}^{t}\varphi=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{\left(\left\{I+i\frac{t}{m}H_{0}\right\}^{-1}\left\{I+i\frac{t}{m}V\right\}^{-1}\right)^{m}\varphi}$$따름정리 3.25 \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측으로 \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)는 크기가 1보다 작은 \(H_{0}\)에 대한 형식적 유계라고 하자. 그러면 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\mathcal{F}_{M}^{t}\)가 모든 \(\varphi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 정의 3.24의 강 연산자 극한으로서 존재한다. 게다가 모든 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해$$\mathcal{F}_{M}^{t}(V)=e^{-itH},\,H=H_{0}+V$$이고 마지막으로 \(\varphi\in D(H)\)와 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\mathcal{F}_{M}^{t}(V)\varphi\)는 정리 3.23의 슈뢰딩거방정식의 유일한 해이다.

정리 3.26 (파인만-칵 공식, Feynman-Kac Formula) \(V:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)라 하고, \(V_{+}\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{n})\), \(V_{-}\)는 크기가 1보다 작은 \(H_{0}-\)형 유계라고 하자. 그러면 모든 \(t>0\)에 대해 열 반 군 \(e^{-tH}\)는 다음과 같이 주어지고$$(e^{-tH}\psi)(\xi)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s)+\xi)ds}}\psi(x(t)+\xi)d\mathfrak{m}(x)}$$여기서 \(\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\), \(\xi\in\mathbb{R}^{n}\), \(\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 위 식의 양변은 \(\lambda-a.e.\)(르베그측도) \(\xi\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 같다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford