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3-1 트롯터와 체르노프의 곱 공식



양의 정수 n에 대해 다음의 등식이 성립한다.k=0nkk!(kn)2=nen평균이 λ인 포아송 확률변수 Z에 대해 그 확률측도(확률분포)는P(Z=k)=eλλkk!이고, Z의 평균과 분산 모두 λ이며, 분산이 λ라는 사실로부터 다음의 등식을 얻는다.k=0(kλ)2eλλkk!=λ앞에서 다룬 등식은 λ=n인 경우이다. 


보조정리 3.1(체르노프의 보조정리, Chernoff's lemma) L이 바나흐공간 X상의 유계 선형연산자로 L1이면, 모든 fX와 음이 아닌 정수 n에 대해 다음의 부등식이 성립한다.en(LI)fLnfnLff여기서 LL(X)L1을 만족하면, X상의 수축(contraction)(연산자)이라고 한다.

증명: 임의의 BL(X)αR에 대해 다음의 등식이 성립하고eαI=eαB그 이유는 다음과 같다.eαIB=(IαI+α22!Iα33!I3+)=(1α+α22!α33!+)IB=eαB그러면en(LI)Lnf=enI(enLfenILnf)=enenLfenILnf=enk=0nkk!(LkLn)fenk=0nkk!(LkLn)f가정에서 L1이므로 kn일 때LkfLnf=LnLknfLnf=Ln(Lknff)Lknff이고 비슷하게 k<n일 때LkfLnf=LnfLkf=Lk(Lnkff)Lnkff그러면 음이 아닌 정수 k에 대해 다음의 부등식이 성립한다.LkfLnfL|kn|ff다시 가정 L1을 이용하면 음이 아닌 정수 m에 대해 다음이 성립하고Lmff=(LmfLm1f)+(Lm1fLm2f)++(Lff)mp=1LpfLp1f=mp=1Lp1(Lff)mp=1Lff=mLff따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.en(LI)fLnfenk=0nkk!|kn|Lff=en{k=0nkk!nkk!|kn|}Lffenk=0nkk!k=0nkk!(kn)nLff=enen2nenLff=nLff정리 3.2(체르노프 곱 공식, Chernoff's product formula) {F(t)}t0를 바나흐공간 X에서 F(0)=I인 수축사상들의 집합족, 도함수 F(0)f가 부분공간 D에 속하는 모든 f에 대해 존재하고, 이때 F(0)|D의 폐포 A(C0) 수축 반 군 {T(t)|t0}를 생성한다고 하자. 

그러면 모든 fX에 대해 다음이 성립하고limn(F(tn))nf=T(t)f[0,)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.

증명: A0=A, t>0에 대해An=F(tn)Itn이라 하자. 연산자 F(t)는 가정에 의해 수축이고, 유계연산자 An은 노름연속이고, 강한 연속인 반 군 Tn(t)=etAn을 생성한다. 모든 nN,t0에 대해 Tn(t)1이 성립함을 보이자. 등식 eαIB=eαB(BL(X),αR)로부터 다음이 성립한다.etAn=en{F(tn)I}=enIenF(tn)=enenF(tn)enenF(tn)enen=1그러면 정리 2.65의 안정성 조건을 만족하고(M=1,ω=0), 정리 2.65에 의해 다음이 성립하고limnetAnfT(t)f=0[0,)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.

보조정리 3.1과 fD에 대해 F(0)f가 존재하므로 n일 때 다음이 성립한다.etAnfFn(tn)=en{F(tn)I}Fn(tn)fnF(tn)ff=tnF(tn)fftn0앞의 결과로부터 모든 fD에 대해 n일 때limnFn(tn)fT(t)f=0이고 DX에서 조밀하므로 모든 fX에 대해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.limnFn(tn)fT(t)f=0정리 3.3 (트롯터 곱 공식, Trotter product formula) A,B, ¯A+B가 바나흐공간 X에서 각각 (C0)수축 반군 {SA(t)}t0, {SB(t)}t0, {T(t)}t0를 생성한다고 하자. 그러면 모든 fX에 대해limn(SA(tn)SB(tn))nf=T(t)f이고 이때 힐베르트공간 H에서 노름수렴하고 [0,)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다. 

위의 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.limn(etnAetnB)nf=et¯(A+B)f또한 다음과 같이 나타낼 수 있고slimn(etnAetnB)n=et¯(A+B)여기서의 극한은 강 연산자 극한 또는 L(H)의 강 연산자 위상에서의 극한이다. 

증명: 정리 3.2에서 D=D(A+B)=D(A)D(B), F(t)=SA(t)SB(t)라 하자. SA(t)SB(t)는 수축이므로 F(t)도 수축이고 F(0)=SA(0)SB(0)=I2=I이므로 fD에 대해 t0+일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.F(t)fF(0)ft=SA(t)SB(t)fft=SA(t)SB(t)fSA(t)f+SA(t)fft=SA(t){SB(t)fft}+SA(t)fftSA(0)Bf+Af=(A+B)f(SA(t)1)강 도함수 F(0)가 존재하고 D=D(A+B)에서 F(0)=A+B이므로 이 사실과 가정에 의해 F(0)|D의 폐포, 즉 ¯A+B(C0)수축 반 군 {T(t)}를 생성한다. 체르노프 곱 공식을 적용함으로써 다음의 원하는 결과를 얻는다.limn(SA(tn)SB(tn))n=limnFn(tn)f=T(t)f따름정리 3.4 (유니타리 군에 대한 트롯터 곱 공식) A,B를 복소 힐베르트공간 H에서 자기수반연산자, D(A)D(B)의 부분공간 D가 존재해서 (A+B)|D가 본질적으로 자기수반이라 하자. 즉 C=¯(A+B)|D는 자기수반이다. 그러면 모든 uH에 대해 다음이 성립하고eitCu=limn(eitnAetnB)nuR의 모든 유계 부분집합상의 t에 대해 균등이다. 


정리 3.5 (체르노프의 정리, Chernoff's theorem) {F(t)}t0를 바나흐공간 X상의 수축연산자들의 집합족으로 F(0)=I, (C0) 수축 반 군 {T(t)|t0}가 존재해서 m흩어짐 연산자 C에 의해 생성되어 모든 λ>0, fX에 대해 t0+일 때(λ+t1(IF(t)))1f(λ+C)1f라 하자. 그러면 모든 fX에 대해limn(F(tn))nfT(t)f이고 [0,)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다. 이때 지수공식(정리 2.34)에 의해 T(t)=etC로 나타낼 수 있다.


참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford               

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Posted by skywalker222