3-1 트롯터와 체르노프의 곱 공식
양의 정수 n에 대해 다음의 등식이 성립한다.∞∑k=0nkk!(k−n)2=nen평균이 λ인 포아송 확률변수 Z에 대해 그 확률측도(확률분포)는P(Z=k)=e−λλkk!이고, Z의 평균과 분산 모두 λ이며, 분산이 λ라는 사실로부터 다음의 등식을 얻는다.∞∑k=0(k−λ)2e−λλkk!=λ앞에서 다룬 등식은 λ=n인 경우이다.
보조정리 3.1(체르노프의 보조정리, Chernoff's lemma) L이 바나흐공간 X상의 유계 선형연산자로 ‖L‖≤1이면, 모든 f∈X와 음이 아닌 정수 n에 대해 다음의 부등식이 성립한다.‖en(L−I)f−Lnf‖≤√n‖Lf−f‖여기서 L∈L(X)가 ‖L‖≤1을 만족하면, X상의 수축(contraction)(연산자)이라고 한다.
증명: 임의의 B∈L(X)와 α∈R에 대해 다음의 등식이 성립하고e−αI=e−αB그 이유는 다음과 같다.e−αIB=(I−αI+α22!I−α33!I3+⋯)=(1−α+α22!−α33!+⋯)IB=e−αB그러면‖en(L−I)−Lnf‖=‖e−nI(enLf−enILnf)‖=en‖enLf−enILnf‖=e−n‖∞∑k=0nkk!(Lk−Ln)f‖≤e−n∞∑k=0nkk!‖(Lk−Ln)f‖가정에서 ‖L‖≤1이므로 k≥n일 때‖Lkf−Lnf‖=‖LnLk−nf−Lnf‖=‖Ln(Lk−nf−f)‖≤‖Lk−nf−f‖이고 비슷하게 k<n일 때‖Lkf−Lnf‖=‖Lnf−Lkf‖=‖Lk(Ln−kf−f)‖≤‖Ln−kf−f‖그러면 음이 아닌 정수 k에 대해 다음의 부등식이 성립한다.‖Lkf−Lnf‖≤‖L|k−n|f−f‖다시 가정 ‖L‖≤1을 이용하면 음이 아닌 정수 m에 대해 다음이 성립하고‖Lmf−f‖=‖(Lmf−Lm−1f)+(Lm−1f−Lm−2f)+⋯+(Lf−f)‖≤m∑p=1‖Lpf−Lp−1f‖=m∑p=1‖Lp−1(Lf−f)‖≤m∑p=1‖Lf−f‖=m‖Lf−f‖따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.‖en(L−I)f−Lnf‖≤e−n∞∑k=0nkk!|k−n|‖Lf−f‖=e−n{∞∑k=0√nkk!√nkk!|k−n|}‖Lf−f‖≤e−n√∞∑k=0nkk!√∞∑k=0nkk!(k−n)n‖Lf−f‖=e−nen2√nen‖Lf−f‖=√n‖Lf−f‖정리 3.2(체르노프 곱 공식, Chernoff's product formula) {F(t)}t≥0를 바나흐공간 X에서 F(0)=I인 수축사상들의 집합족, 도함수 F′(0)f가 부분공간 D에 속하는 모든 f에 대해 존재하고, 이때 F′(0)|D의 폐포 A가 (C0) 수축 반 군 {T(t)|t≥0}를 생성한다고 하자.
그러면 모든 f∈X에 대해 다음이 성립하고lim[0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.
증명: A_{0}=A, t>0에 대해A_{n}=\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)-I}{\frac{t}{n}}이라 하자. 연산자 F(t)는 가정에 의해 수축이고, 유계연산자 A_{n}은 노름연속이고, 강한 연속인 반 군 T_{n}(t)=e^{tA_{n}}을 생성한다. 모든 n\in\mathbb{N},\,t\geq0에 대해 \|T_{n}(t)\|\leq1이 성립함을 보이자. 등식 e^{-\alpha I}B=e^{-\alpha}B\,(B\in\mathcal{L}(X),\,\alpha\in\mathbb{R})로부터 다음이 성립한다.\begin{align*}\|e^{tA_{n}}\|&=\|e^{n\left\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\right\}}\|=\|e^{-nI}e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\\&=e^{-n}\|e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\leq e^{-n}e^{n\|F\left(\frac{t}{n}\right)\|}\\&\leq e^{-n}e^{n}=1\end{align*}그러면 정리 2.65의 안정성 조건을 만족하고(M=1,\,\omega=0), 정리 2.65에 의해 다음이 성립하고\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\|e^{tA_{n}}f-T(t)f\|=0[0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.
보조정리 3.1과 f\in D에 대해 F'(0)f가 존재하므로 n\,\rightarrow\,\infty일 때 다음이 성립한다.\begin{align*}\left\|e^{tA_{n}f}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)\right\|&=\left\|e^{n\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\}}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f\right\|\\&\leq\sqrt{n}\left\|F\left(\frac{t}{n}\right)f-f\right\|\\&=\frac{t}{\sqrt{n}}\left\|\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)f-f}{\frac{t}{n}}\right\|\,\rightarrow\,0\end{align*}앞의 결과로부터 모든 f\in D에 대해 n\,\rightarrow\,\infty일 때\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0이고 D가 X에서 조밀하므로 모든 f\in X에 대해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0정리 3.3 (트롯터 곱 공식, Trotter product formula) A,\,B, \overline{A+B}가 바나흐공간 X에서 각각 (C_{0})수축 반군 \{S_{A}(t)\}_{t\geq0}, \{S_{B}(t)\}_{t\geq0}, \{T(t)\}_{t\geq0}를 생성한다고 하자. 그러면 모든 f\in X에 대해\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}=T(t)f이고 이때 힐베르트공간 \mathcal{H}에서 노름수렴하고 [0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.
위의 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}f}=e^{-t\overline{(A+B)}}f또한 다음과 같이 나타낼 수 있고s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}}=e^{-t\overline{(A+B)}}여기서의 극한은 강 연산자 극한 또는 \mathcal{L}(\mathcal{H})의 강 연산자 위상에서의 극한이다.
증명: 정리 3.2에서 D=D(A+B)=D(A)\cap D(B), F(t)=S_{A}(t)S_{B}(t)라 하자. S_{A}(t)와 S_{B}(t)는 수축이므로 F(t)도 수축이고 F(0)=S_{A}(0)S_{B}(0)=I^{2}=I이므로 f\in D에 대해 t\,\rightarrow\,0+일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.\begin{align*}\frac{F(t)f-F(0)f}{t}&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-f}{t}\\&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-S_{A}(t)f+S_{A}(t)f-f}{t}\\&=S_{A}(t)\left\{\frac{S_{B}(t)f-f}{t}\right\}+\frac{S_{A}(t)f-f}{t}\\&\rightarrow\,S_{A}(0)Bf+Af=(A+B)f\,(\|S_{A}(t)\|\leq1)\end{align*}강 도함수 F'(0)가 존재하고 D=D(A+B)에서 F'(0)=A+B이므로 이 사실과 가정에 의해 F'(0)|_{D}의 폐포, 즉 \overline{A+B}는 (C_{0})수축 반 군 \{T(t)\}를 생성한다. 체르노프 곱 공식을 적용함으로써 다음의 원하는 결과를 얻는다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f}=T(t)f따름정리 3.4 (유니타리 군에 대한 트롯터 곱 공식) A,\,B를 복소 힐베르트공간 \mathcal{H}에서 자기수반연산자, D(A)\cap D(B)의 부분공간 D가 존재해서 (A+B)|_{D}가 본질적으로 자기수반이라 하자. 즉 C=\overline{(A+B)|_{D}}는 자기수반이다. 그러면 모든 u\in\mathcal{H}에 대해 다음이 성립하고e^{-itC}u=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}u}\mathbb{R}의 모든 유계 부분집합상의 t에 대해 균등이다.
정리 3.5 (체르노프의 정리, Chernoff's theorem) \{F(t)\}_{t\geq0}를 바나흐공간 X상의 수축연산자들의 집합족으로 F(0)=I, (C_{0}) 수축 반 군 \{T(t)\,|\,t\geq0\}가 존재해서 m-흩어짐 연산자 C에 의해 생성되어 모든 \lambda>0, f\in X에 대해 t\,\rightarrow\,0+일 때(\lambda+t^{-1}(I-F(t)))^{-1}f\,\rightarrow\,(\lambda+C)^{-1}f라 하자. 그러면 모든 f\in X에 대해\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(F\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}\,\rightarrow\,T(t)f이고 [0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다. 이때 지수공식(정리 2.34)에 의해 T(t)=e^{-tC}로 나타낼 수 있다.
참고자료:
The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford
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