Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

반응형

3-1 트롯터와 체르노프의 곱 공식



양의 정수 n에 대해 다음의 등식이 성립한다.k=0nkk!(kn)2=nen평균이 λ인 포아송 확률변수 Z에 대해 그 확률측도(확률분포)는P(Z=k)=eλλkk!이고, Z의 평균과 분산 모두 λ이며, 분산이 λ라는 사실로부터 다음의 등식을 얻는다.k=0(kλ)2eλλkk!=λ앞에서 다룬 등식은 λ=n인 경우이다. 


보조정리 3.1(체르노프의 보조정리, Chernoff's lemma) L이 바나흐공간 X상의 유계 선형연산자로 L1이면, 모든 fX와 음이 아닌 정수 n에 대해 다음의 부등식이 성립한다.en(LI)fLnfnLff여기서 LL(X)L1을 만족하면, X상의 수축(contraction)(연산자)이라고 한다.

증명: 임의의 BL(X)αR에 대해 다음의 등식이 성립하고eαI=eαB그 이유는 다음과 같다.eαIB=(IαI+α22!Iα33!I3+)=(1α+α22!α33!+)IB=eαB그러면en(LI)Lnf=enI(enLfenILnf)=enenLfenILnf=enk=0nkk!(LkLn)fenk=0nkk!(LkLn)f가정에서 L1이므로 kn일 때LkfLnf=LnLknfLnf=Ln(Lknff)Lknff이고 비슷하게 k<n일 때LkfLnf=LnfLkf=Lk(Lnkff)Lnkff그러면 음이 아닌 정수 k에 대해 다음의 부등식이 성립한다.LkfLnfL|kn|ff다시 가정 L1을 이용하면 음이 아닌 정수 m에 대해 다음이 성립하고Lmff=(LmfLm1f)+(Lm1fLm2f)++(Lff)mp=1LpfLp1f=mp=1Lp1(Lff)mp=1Lff=mLff따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.en(LI)fLnfenk=0nkk!|kn|Lff=en{k=0nkk!nkk!|kn|}Lffenk=0nkk!k=0nkk!(kn)nLff=enen2nenLff=nLff정리 3.2(체르노프 곱 공식, Chernoff's product formula) {F(t)}t0를 바나흐공간 X에서 F(0)=I인 수축사상들의 집합족, 도함수 F(0)f가 부분공간 D에 속하는 모든 f에 대해 존재하고, 이때 F(0)|D의 폐포 A(C0) 수축 반 군 {T(t)|t0}를 생성한다고 하자. 

그러면 모든 fX에 대해 다음이 성립하고lim[0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.

증명: A_{0}=A, t>0에 대해A_{n}=\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)-I}{\frac{t}{n}}이라 하자. 연산자 F(t)는 가정에 의해 수축이고, 유계연산자 A_{n}은 노름연속이고, 강한 연속인 반 군 T_{n}(t)=e^{tA_{n}}을 생성한다. 모든 n\in\mathbb{N},\,t\geq0에 대해 \|T_{n}(t)\|\leq1이 성립함을 보이자. 등식 e^{-\alpha I}B=e^{-\alpha}B\,(B\in\mathcal{L}(X),\,\alpha\in\mathbb{R})로부터 다음이 성립한다.\begin{align*}\|e^{tA_{n}}\|&=\|e^{n\left\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\right\}}\|=\|e^{-nI}e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\\&=e^{-n}\|e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\leq e^{-n}e^{n\|F\left(\frac{t}{n}\right)\|}\\&\leq e^{-n}e^{n}=1\end{align*}그러면 정리 2.65의 안정성 조건을 만족하고(M=1,\,\omega=0), 정리 2.65에 의해 다음이 성립하고\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\|e^{tA_{n}}f-T(t)f\|=0[0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다.

보조정리 3.1과 f\in D에 대해 F'(0)f가 존재하므로 n\,\rightarrow\,\infty일 때 다음이 성립한다.\begin{align*}\left\|e^{tA_{n}f}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)\right\|&=\left\|e^{n\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\}}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f\right\|\\&\leq\sqrt{n}\left\|F\left(\frac{t}{n}\right)f-f\right\|\\&=\frac{t}{\sqrt{n}}\left\|\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)f-f}{\frac{t}{n}}\right\|\,\rightarrow\,0\end{align*}앞의 결과로부터 모든 f\in D에 대해 n\,\rightarrow\,\infty일 때\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0이고 DX에서 조밀하므로 모든 f\in X에 대해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0정리 3.3 (트롯터 곱 공식, Trotter product formula) A,\,B, \overline{A+B}가 바나흐공간 X에서 각각 (C_{0})수축 반군 \{S_{A}(t)\}_{t\geq0}, \{S_{B}(t)\}_{t\geq0}, \{T(t)\}_{t\geq0}를 생성한다고 하자. 그러면 모든 f\in X에 대해\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}=T(t)f이고 이때 힐베르트공간 \mathcal{H}에서 노름수렴하고 [0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다. 

위의 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}f}=e^{-t\overline{(A+B)}}f또한 다음과 같이 나타낼 수 있고s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}}=e^{-t\overline{(A+B)}}여기서의 극한은 강 연산자 극한 또는 \mathcal{L}(\mathcal{H})의 강 연산자 위상에서의 극한이다. 

증명: 정리 3.2에서 D=D(A+B)=D(A)\cap D(B), F(t)=S_{A}(t)S_{B}(t)라 하자. S_{A}(t)S_{B}(t)는 수축이므로 F(t)도 수축이고 F(0)=S_{A}(0)S_{B}(0)=I^{2}=I이므로 f\in D에 대해 t\,\rightarrow\,0+일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.\begin{align*}\frac{F(t)f-F(0)f}{t}&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-f}{t}\\&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-S_{A}(t)f+S_{A}(t)f-f}{t}\\&=S_{A}(t)\left\{\frac{S_{B}(t)f-f}{t}\right\}+\frac{S_{A}(t)f-f}{t}\\&\rightarrow\,S_{A}(0)Bf+Af=(A+B)f\,(\|S_{A}(t)\|\leq1)\end{align*}강 도함수 F'(0)가 존재하고 D=D(A+B)에서 F'(0)=A+B이므로 이 사실과 가정에 의해 F'(0)|_{D}의 폐포, 즉 \overline{A+B}(C_{0})수축 반 군 \{T(t)\}를 생성한다. 체르노프 곱 공식을 적용함으로써 다음의 원하는 결과를 얻는다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f}=T(t)f따름정리 3.4 (유니타리 군에 대한 트롯터 곱 공식) A,\,B를 복소 힐베르트공간 \mathcal{H}에서 자기수반연산자, D(A)\cap D(B)의 부분공간 D가 존재해서 (A+B)|_{D}가 본질적으로 자기수반이라 하자. 즉 C=\overline{(A+B)|_{D}}는 자기수반이다. 그러면 모든 u\in\mathcal{H}에 대해 다음이 성립하고e^{-itC}u=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}u}\mathbb{R}의 모든 유계 부분집합상의 t에 대해 균등이다. 


정리 3.5 (체르노프의 정리, Chernoff's theorem) \{F(t)\}_{t\geq0}를 바나흐공간 X상의 수축연산자들의 집합족으로 F(0)=I, (C_{0}) 수축 반 군 \{T(t)\,|\,t\geq0\}가 존재해서 m-흩어짐 연산자 C에 의해 생성되어 모든 \lambda>0, f\in X에 대해 t\,\rightarrow\,0+일 때(\lambda+t^{-1}(I-F(t)))^{-1}f\,\rightarrow\,(\lambda+C)^{-1}f라 하자. 그러면 모든 f\in X에 대해\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(F\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}\,\rightarrow\,T(t)f이고 [0,\,\infty)의 컴팩트 부분집합에 속하는 t에 대해 균등이다. 이때 지수공식(정리 2.34)에 의해 T(t)=e^{-tC}로 나타낼 수 있다.


참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford               

반응형
Posted by skywalker222