3-1 트롯터와 체르노프의 곱 공식

3-1 트롯터와 체르노프의 곱 공식

양의 정수 \(n\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}(k-n)^{2}}=ne^{n}$$평균이 \(\lambda\)인 포아송 확률변수 \(Z\)에 대해 그 확률측도(확률분포)는$$P(Z=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$$이고, \(Z\)의 평균과 분산 모두 \(\lambda\)이며, 분산이 \(\lambda\)라는 사실로부터 다음의 등식을 얻는다.$$\sum_{k=0}^{\infty}{(k-\lambda)^{2}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}}=\lambda$$앞에서 다룬 등식은 \(\lambda=n\)인 경우이다. 

보조정리 3.1(체르노프의 보조정리, Chernoff's lemma) \(L\)이 바나흐공간 \(X\)상의 유계 선형연산자로 \(\|L\|\leq1\)이면, 모든 \(f\in X\)와 음이 아닌 정수 \(n\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\|e^{n(L-I)}f-L^{n}f\|\leq\sqrt{n}\|Lf-f\|$$여기서 \(L\in\mathcal{L}(X)\)가 \(\|L\|\leq1\)을 만족하면, \(X\)상의 수축(contraction)(연산자)이라고 한다.

증명: 임의의 \(B\in\mathcal{L}(X)\)와 \(\alpha\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 등식이 성립하고$$e^{-\alpha I}=e^{-\alpha}B$$그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}e^{-\alpha I}B&=\left(I-\alpha I+\frac{\alpha^{2}}{2!}I-\frac{\alpha^{3}}{3!}I^{3}+\cdots\right)\\&=\left(1-\alpha+\frac{\alpha^{2}}{2!}-\frac{\alpha^{3}}{3!}+\cdots\right)IB\\&=e^{-\alpha}B\end{align*}$$그러면$$\begin{align*}\|e^{n(L-I)}-L^{n}f\|&=\|e^{-nI}(e^{nL}f-e^{nI}L^{n}f)\|\\&=e^{n}\|e^{nL}f-e^{nI}L^{n}f\|\\&=e^{-n}\left\|\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}(L^{k}-L^{n})f}\right\|\\&\leq e^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}\|(L^{k}-L^{n})f\|}\end{align*}$$가정에서 \(\|L\|\leq1\)이므로 \(k\geq n\)일 때$$\begin{align*}\|L^{k}f-L^{n}f\|&=\|L^{n}L^{k-n}f-L^{n}f\|=\|L^{n}(L^{k-n}f-f)\|\\&\leq\|L^{k-n}f-f\|\end{align*}$$이고 비슷하게 \(k<n\)일 때$$\begin{align*}\|L^{k}f-L^{n}f\|&=\|L^{n}f-L^{k}f\|=\|L^{k}(L^{n-k}f-f)\|\\&\leq\|L^{n-k}f-f\|\end{align*}$$그러면 음이 아닌 정수 \(k\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\|L^{k}f-L^{n}f\|\leq\|L^{|k-n|}f-f\|$$다시 가정 \(\|L\|\leq1\)을 이용하면 음이 아닌 정수 \(m\)에 대해 다음이 성립하고$$\begin{align*}\|L^{m}f-f\|&=\|(L^{m}f-L^{m-1}f)+(L^{m-1}f-L^{m-2}f)+\cdots+(Lf-f)\|\\&\leq\sum_{p=1}^{m}{\|L^{p}f-L^{p-1}f\|}=\sum_{p=1}^{m}{\|L^{p-1}(Lf-f)\|}\\&\leq\sum_{p=1}^{m}{\|Lf-f\|}=m\|Lf-f\|\end{align*}$$따라서 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\|e^{n(L-I)}f-L^{n}f\|&\leq e^{-n}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}|k-n|\|Lf-f\|}\\&=e^{-n}\left\{\sum_{k=0}^{\infty}{\sqrt{\frac{n^{k}}{k!}}\sqrt{\frac{n^{k}}{k!}}}|k-n|\right\}\|Lf-f\|\\&\leq e^{-n}\sqrt{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}}}\sqrt{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{n^{k}}{k!}(k-n)^{n}}}\|Lf-f\|\\&=e^{-n}e^{\frac{n}{2}}\sqrt{ne^{n}}\|Lf-f\|\\&=\sqrt{n}\|Lf-f\|\end{align*}$$정리 3.2(체르노프 곱 공식, Chernoff's product formula) \(\{F(t)\}_{t\geq0}\)를 바나흐공간 \(X\)에서 \(F(0)=I\)인 수축사상들의 집합족, 도함수 \(F'(0)f\)가 부분공간 \(D\)에 속하는 모든 \(f\)에 대해 존재하고, 이때 \(F'(0)|_{D}\)의 폐포 \(A\)가 \((C_{0})\) 수축 반 군 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)를 생성한다고 하자. 

그러면 모든 \(f\in X\)에 대해 다음이 성립하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(F\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}}f=T(t)f$$\([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등이다.

증명: \(A_{0}=A\), \(t>0\)에 대해$$A_{n}=\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)-I}{\frac{t}{n}}$$이라 하자. 연산자 \(F(t)\)는 가정에 의해 수축이고, 유계연산자 \(A_{n}\)은 노름연속이고, 강한 연속인 반 군 \(T_{n}(t)=e^{tA_{n}}\)을 생성한다. 모든 \(n\in\mathbb{N},\,t\geq0\)에 대해 \(\|T_{n}(t)\|\leq1\)이 성립함을 보이자. 등식 \(e^{-\alpha I}B=e^{-\alpha}B\,(B\in\mathcal{L}(X),\,\alpha\in\mathbb{R})\)로부터 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\|e^{tA_{n}}\|&=\|e^{n\left\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\right\}}\|=\|e^{-nI}e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\\&=e^{-n}\|e^{nF\left(\frac{t}{n}\right)}\|\leq e^{-n}e^{n\|F\left(\frac{t}{n}\right)\|}\\&\leq e^{-n}e^{n}=1\end{align*}$$그러면 정리 2.65의 안정성 조건을 만족하고(\(M=1,\,\omega=0\)), 정리 2.65에 의해 다음이 성립하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\|e^{tA_{n}}f-T(t)f\|=0$$\([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등이다.

보조정리 3.1과 \(f\in D\)에 대해 \(F'(0)f\)가 존재하므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\left\|e^{tA_{n}f}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)\right\|&=\left\|e^{n\{F\left(\frac{t}{n}\right)-I\}}-F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f\right\|\\&\leq\sqrt{n}\left\|F\left(\frac{t}{n}\right)f-f\right\|\\&=\frac{t}{\sqrt{n}}\left\|\frac{F\left(\frac{t}{n}\right)f-f}{\frac{t}{n}}\right\|\,\rightarrow\,0\end{align*}$$앞의 결과로부터 모든 \(f\in D\)에 대해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0$$이고 \(D\)가 \(X\)에서 조밀하므로 모든 \(f\in X\)에 대해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\|F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f-T(t)f\right\|}=0$$정리 3.3 (트롯터 곱 공식, Trotter product formula) \(A,\,B\), \(\overline{A+B}\)가 바나흐공간 \(X\)에서 각각 \((C_{0})\)수축 반군 \(\{S_{A}(t)\}_{t\geq0}\), \(\{S_{B}(t)\}_{t\geq0}\), \(\{T(t)\}_{t\geq0}\)를 생성한다고 하자. 그러면 모든 \(f\in X\)에 대해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}=T(t)f$$이고 이때 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 노름수렴하고 \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등이다. 

위의 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}f}=e^{-t\overline{(A+B)}}f$$또한 다음과 같이 나타낼 수 있고$$s-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}}=e^{-t\overline{(A+B)}}$$여기서의 극한은 강 연산자 극한 또는 \(\mathcal{L}(\mathcal{H})\)의 강 연산자 위상에서의 극한이다. 

증명: 정리 3.2에서 \(D=D(A+B)=D(A)\cap D(B)\), \(F(t)=S_{A}(t)S_{B}(t)\)라 하자. \(S_{A}(t)\)와 \(S_{B}(t)\)는 수축이므로 \(F(t)\)도 수축이고 \(F(0)=S_{A}(0)S_{B}(0)=I^{2}=I\)이므로 \(f\in D\)에 대해 \(t\,\rightarrow\,0+\)일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\frac{F(t)f-F(0)f}{t}&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-f}{t}\\&=\frac{S_{A}(t)S_{B}(t)f-S_{A}(t)f+S_{A}(t)f-f}{t}\\&=S_{A}(t)\left\{\frac{S_{B}(t)f-f}{t}\right\}+\frac{S_{A}(t)f-f}{t}\\&\rightarrow\,S_{A}(0)Bf+Af=(A+B)f\,(\|S_{A}(t)\|\leq1)\end{align*}$$강 도함수 \(F'(0)\)가 존재하고 \(D=D(A+B)\)에서 \(F'(0)=A+B\)이므로 이 사실과 가정에 의해 \(F'(0)|_{D}\)의 폐포, 즉 \(\overline{A+B}\)는 \((C_{0})\)수축 반 군 \(\{T(t)\}\)를 생성한다. 체르노프 곱 공식을 적용함으로써 다음의 원하는 결과를 얻는다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(S_{A}\left(\frac{t}{n}\right)S_{B}\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F^{n}\left(\frac{t}{n}\right)f}=T(t)f$$따름정리 3.4 (유니타리 군에 대한 트롯터 곱 공식) \(A,\,B\)를 복소 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 자기수반연산자, \(D(A)\cap D(B)\)의 부분공간 \(D\)가 존재해서 \((A+B)|_{D}\)가 본질적으로 자기수반이라 하자. 즉 \(C=\overline{(A+B)|_{D}}\)는 자기수반이다. 그러면 모든 \(u\in\mathcal{H}\)에 대해 다음이 성립하고$$e^{-itC}u=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(e^{-i\frac{t}{n}A}e^{-\frac{t}{n}B}\right)^{n}u}$$\(\mathbb{R}\)의 모든 유계 부분집합상의 \(t\)에 대해 균등이다. 

정리 3.5 (체르노프의 정리, Chernoff's theorem) \(\{F(t)\}_{t\geq0}\)를 바나흐공간 \(X\)상의 수축연산자들의 집합족으로 \(F(0)=I\), \((C_{0})\) 수축 반 군 \(\{T(t)\,|\,t\geq0\}\)가 존재해서 \(m-\)흩어짐 연산자 \(C\)에 의해 생성되어 모든 \(\lambda>0\), \(f\in X\)에 대해 \(t\,\rightarrow\,0+\)일 때$$(\lambda+t^{-1}(I-F(t)))^{-1}f\,\rightarrow\,(\lambda+C)^{-1}f$$라 하자. 그러면 모든 \(f\in X\)에 대해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(F\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n}f}\,\rightarrow\,T(t)f$$이고 \([0,\,\infty)\)의 컴팩트 부분집합에 속하는 \(t\)에 대해 균등이다. 이때 지수공식(정리 2.34)에 의해 \(T(t)=e^{-tC}\)로 나타낼 수 있다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford