2-6 비유계 자기수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

2-6 비유계 자기수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

$(\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)$를 유한 측도공간, $\mathcal{H}=L^{2}(\mu)=L^{2}((\omega,\,\mathcal{A},\,\mu))$를 $\Omega$에서 제곱적분 가능한 복소함수들의 공간, $f$를 $\Omega$에서 가측인 실함수로 $\mu-a.e.$ 유한하다고 하자. $M=M_{f}$를 $L^{2}(\mu)$에서의 연산자로 다음과 같이 함수 $f$를 곱하는 연산이라 하자. $$M_{f}(\phi)=f\phi$$ 여기서 $$D(M_{f})=\{\phi\in L^{2}(\mu)\,|\,f\phi\in L^{2}(\mu)\}$$ 명제 2.69 $f$를 $L^{\infty}(\mu)$상의 실함수라 하자. 그러면 $M_{f}$는 $L^{2}(\mu)$에서의 유계 자기수반 연산자이고 $\|M_{f}\|=\|f\|_{\infty}$이다. 

명제 2.70 $f$를 실함수이고 $\mu-a.e.$ 유한하다고 하자. 그러면 정의역이 $D(M_{f})$인 $M_{f}$는 $L^{2}(\mu)$에서 자기수반 연산자이다. 

증명: $M_{f}$가 대칭임을 보이는 것은 쉽다. $\phi,\,\psi\in D(M_{f})$라 하자. 그러면 다음이 성립하고 $$\langle M_{f}\phi,\,\psi\rangle=\int_{\Omega}{f\phi\overline{\psi}d\mu}=\int_{\Omega}{\phi\overline{f\psi}d\mu}=\langle\phi,\,M_{f}\psi\rangle$$ 따라서 $M_{f}$는 대칭이고 $M_{f}\subset M_{f}^{*}$이다. $M_{f}$가 자기수반임을 보이기 위해서는 $M_{f}^{*}\subset M_{f}$임을 보이면 충분하다. $\psi\in D(M_{f}^{*})$라 하자. $f\psi\in L^{2}(\mu)$가 성립하는지 확인해야 한다. 즉 $\psi\in D(M_{f})$이고, 양의 정수 $N$에 대해 $$\tau_{N}(\omega)=\begin{cases}1&\,(|f(\omega)|\leq N)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 라 하자. 단조수렴정리와 명제 2.69, $\tau_{N}\phi\in D(M_{f})$이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\|M_{f}^{*}\psi\|&=\left\{\int_{\Omega}{|M_{f}^{*}\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{\Omega}{|\tau_{N}M_{f}^{*}\psi|d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}M_{f}^{*}\psi\|}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\phi,\,\tau_{N}M_{f}^{*}\psi\rangle|}\right)}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\tau_{N}\phi,\,M_{f}^{*}\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle M_{f}\tau_{N}\phi,\,\psi\rangle|}\right)}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle f\tau_{N}\phi,\,\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\tau_{N}f\phi,\,\psi\rangle|}\right)}\end{align*}$$ 위의 등식과 $\tau_{N}f$가 유계 실함수라는 사실, 명제 2.69에 의해 당므과 같이 나타낼 수 있고 $$\|M_{f}^{*}\psi\|=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\phi,\,\tau_{N}f\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}f\psi\|}$$ 단조수렴정리와 위 식으로부터 $$\left\{\int_{\Omega}{|f\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{\Omega}{|\tau_{N}f\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}f\psi\|}=\|M_{f}^{*}\psi\|<\infty$$ 따라서 $f\psi\in L^{2}(\mu)$이고 $\psi\in D(M_{f})$이다. 

정의 2.71 $(\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)$를 측도공간, $f:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 가측함수라 하자. $\lambda\in\mathbb{R}$가 $f$의 본질적 치역(essential range)에 있을 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음이 성립하는 것이다. $$\mu(\{\omega\in\Omega\,|\,f(\omega)\in(\lambda-\epsilon,\,\lambda+\epsilon)\})>0$$ 명제 2.72 $f$가 가측 실함수로 $\mu-a.e.$유한하다고 하자. 그러면 $\sigma(M_{f})$는 $f$의 본질적 치역과 같고, 특히 (i) $\sigma(M_{f})\subset\mathbb{R}$이고 따라서 (ii) $\mathbb{C}-\mathbb{R}\subset\rho(M_{f})$이고, 또한 추가로 $f\in L^{\infty}(\mu)$이면, $\sigma(M_{f})\subset[-\|f\|_{\infty},\,\|f\|_{\infty}]=[-\|M_{f}\|,\,|M_{f}|]$이다. 

*$A$가 임의의 (비유계) 자기수반 연산지이면, $\sigma(A)\subset\mathbb{R}$이고 따라서 $\mathbb{C}-\mathbb{R}\subset\rho(\mathbb{R})=\mathbb{C}-\sigma(A)$이다. 게다가 $A$가 유계이면, $\sigma(A)\subset[-\|A\|,\,\|A\|]$이고 이것은 스펙트럼 정리(2.72)와 명제 2.71로부터 성립한다. 

정리 2.72(스펙트럼 정리: 곱 연산자 형태, spectral theorem: multiplication operator form) $A$를 가분 힐베르트공간 $\mathcal{H}$상의 자기수반 연산자이고, 정의역이 $D(A)$라 하자. 그러면 유한 측도공간 $(\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)$와 유니타리 연산자 $U:\mathcal{H}\,\rightarrow\,L^{2}(\mu)$, $\Omega$에서의 가측 실함수이고 $\mu-a.e.$인 실함수 $f$가 존재하고

(i) $h\in D(A)$일 필요충분조건은 $f(\cdot)(Uh)(\cdot)\in L^{2}(\mu)((Uh)(\cdot)\in D(M_{f}))$이고, (ii) $\phi\in U(D(A))$이면, $(UAU^{-1}\phi)(\omega)=f(\omega)\phi(\omega)=(M_{f}\phi)(\omega)$이다. 

*위 정리의 (ii)에서 $UAU^{-1}=M_{f}$로 나타낼 수 있고 또한 $h\in D(A)$에 대해 $A=U^{-1}M_{f}U$로 나타낼 수 있다. 이 $A$를 $M_{f}$와 유니타리 동치(unitary equivalent)라고 한다. 

정의 2.73 $A$를 힐베르트공간 $\mathcal{H}$상의 자기수반 연산자라고 하자. 임의의 $\sigma(A)$에서 유계 복소 보렐 가측함수 $g$에 대해 $g(A)=U^{-1}M_{g\circ f}U$라 하자. 여기서 $f$와 $U$는 정리 2.72에 있는 것이고, 또한 다음과 같이 나타낸다. $$\Phi_{A}(g)=\Phi(g)=g(A)$$ 정리 2.74(스펙트럼 정리: 범함수의 계산형태, spectral theorem: functional calculus form) $A$를 힐베르트공간 $\mathcal{H}$에서 정의역이 $D(A)$인 자기수반 연산자라고 하자. 유일한 $\sigma(A)$에서 $\mathcal{L}(\mathcal{H})$로의 유니타리 사상 $\Phi$가 존재해서 다음이 성립한다.

(i) $\Phi$는 대수적 *-준동형사상이다. 즉, $$\Phi(g_{1}+g_{2})=\Phi(g_{1})+\Phi(g_{2}),\,\Phi(cg)=c\Phi(g),\,\Phi(\overline{g})=\Phi(g)^{*},\,\Phi(g_{1}g_{2})=\Phi(g_{1})\Phi(g_{2})$$ (ii) $\Phi$는 노름연속이고 $\displaystyle\|\Phi(g)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\leq\|g\|_{\infty}=\sup_{x\in\sigma(A)}{|g(x)|}$

(iii) $g\geq0$이면, $\Phi(g)\geq0$이다(* $\Phi(g)\geq0$은 모든 $h\in\mathcal{H}$에 대해 $\langle\Phi(g)h,\,h\rangle)\geq0$을 뜻한다).

(iv) 모든 $x\in\sigma(A)$에 대해 $g_{n}(x)\,\rightarrow\,g(x)$이고 수열 $\{\|g_{n}\|_{\infty}\}$이 유계이면, $\mathcal{L}(\mathcal{H})$상의 강 연산자 위상에서 $\Phi(g_{n})=g_{n}(A)\,\rightarrow\,g(A)=\Phi(g)$이다(고정된 $h\in\mathcal{H}$에 대해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\mathcal{H}$에서 $g_{n}(A)h\,\rightarrow\,g(A)h$).

(vi) $\{g_{n}\}$을 $\sigma(A)$에서의 유계 보렐 가측함수열로 $x\in\sigma(A)$에 대해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $g_{n}(x)\,\rightarrow\,x$이고 모든 $x$와 $n$에 대해 $|g_{n}(x)|\leq|x|$라 하자. 그러면 임의의 $h\in D(A)$에 대해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\Phi(g_{n})h=g_{n}(A)h\,\rightarrow\,Ah$이다. 

정리 2.75(스펙트럼 정리: 강한 곱 연산자 형태, spectral theorem: multiplication operator form, concrete version) $A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}$를 가분 힐베르트공간 $\mathcal{H}$상의 자기수반 연산자라고 하자. 그러면 $N\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$과 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$상의 양의 측도 $\mu_{1},\,...,\,\mu_{N}$이 존재해서 $\mu_{p}(\sigma(A))=\mu_{p}(\mathbb{R})(p=1,\,...,\,N)$, $\displaystyle\sum_{p=1}^{N}{\mu_{p}(\mathbb{R})}<\infty$로 $A$가 힐베르트공간 $\displaystyle\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}$(힐베르트공간 $L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})$의 직교 직합)에서 $x$를 곱하는 곱 연산자와 유니타리 등가이고, $A=U^{-1}BU$, 여기서 $\displaystyle U:\mathcal{H}\,\rightarrow\,\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}$는 유니타리 사상이고 $$D(B)=\left\{(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\,|\,\sum_{p=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}}{|x|^{2}|\varphi_{p}(x)|^{2}d\mu_{p}}<\infty}\right\}$$ 와 $$B(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})=(x\varphi_{1}(x),\,...,\,x\varphi_{N}(x)),\,(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in D(B)$$ 를 얻는다. 여기서 $N=\infty$일 때 $(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})$을 무한수열 $(\varphi_{1},\,\varphi_{2},\,...)$로 볼 수 있다.      

$\mathbb{R}$상의 임의의 보렐집합 $B$에 대해 $$P_{B}=\Phi(\chi_{B})=\chi_{B}(A)$$ 라 하자. 여기서 $\chi_{B}$는 $B$의 특성함수(characteristic function)이다. $\mathcal{L}(\mathcal{H})$에서의 연산자들의 집합족 $\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$은 다음의 성질들을 갖는다.

(i) 각 $P_{B}$들은 직교사영이다. 즉 $P_{B}^{2}=P_{B}$이고 $P_{B}^{*}=P_{B}$ 

(ii) $P_{\emptyset}=0$, $P_{\mathbb{R}}=1$ 

(iii) $\displaystyle B=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\,(n\neq m\,\Rightarrow\, B_{n}\cap B_{m}=\emptyset)$이면 $\displaystyle P_{B}=\sum_{n=1}^{\infty}{P_{B_{n}}}$이고 여기서 무한급수의 극한은 강 연산자 위상에서의 극한이다.   

(iv) $P_{B_{1}}P_{B_{2}}=P_{B_{1}\cap B_{2}}$

정의 2.76 위의 성질 (i)-(iv)들을 만족하는 집합족 $\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$를 사영값 측도(projection-valued measure)라고 한다.  

임의의 $h\in\mathcal{H}$에 대하여 집합함수 $B\,\mapsto\,\langle h,\,P_{B}h\rangle$는 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$에서의 실수값 측도이고, 이것을 $d\langle h,\,P_{\lambda,\,h}\rangle$로 나타낸다($P_{\lambda}=\Phi(\chi_{(-\infty,\,\lambda]})$). 주어진 $h_{1},\,h_{2}\in\mathcal{H}$에 대해 $\sigma(A)$에서의 유계 보렐함수 $g$에 대해 $g(A)$가 다음과 같이 유일하게 정의될 수 있음을 보일 수 있다. $$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\sigma(A)}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle},\,h\in\mathcal{H}$$ 이고 측도 $d\langle h_{1},\,P_{\lambda}h_{2}\rangle$들은 $\sigma(A)$에서 받침을 가지므로 위의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}$$ 앞에서의 사상 $g\,\mapsto\,g(A)$는 정리 2.74에 의해 $\Phi$와 같다. 이것은 모든 $h\in\mathcal{H}$에 대해 다음이 성립함을 뜻한다. $$\langle h,\,\Phi(g)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}$$ 이제 $g$를 비유계 복소 보렐함수라 하고 $$D_{g}=\left\{h\in\mathcal{H}\,|\,\int_{\mathbb{R}}{|g(\lambda)|^{2}d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}<\infty\right\}$$ 라 하자. 그러면 $D_{g}$는 $\mathcal{H}$에서 조밀하고 연산자 $g(A)$는 $D_{g}$에서 다음과 같이 유일하게 정의된다. $$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle},\,(h\in D_{g})$$ $g(A)$를 다음과 같이 나타내고 $$g(A)=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)dP_{\lambda}}$$ $h_{1},\,h_{2}\in D(A)$에 대해 $$\langle h_{1},\,Ah_{2}\rangle=\int_{\mathbb{R}}{\lambda d\langle h_{1},\,P_{\lambda}h_{2}\rangle}$$ 이다 $g$가 실수이면, $g(A)$는 자기수반이다.

이 내용들을 다음과 같이 정리할 수 있다.

정리 2.77(스펙트럼 정리: 사영값 측도형태, spectral theorem: projection-valued measure form) $\mathcal{H}$를 가분 힐베르트공간이라고 하자. 그러면 다음과 같은 $\mathcal{H}$에서의 자기수반 연산자 $A$와 $\mathcal{H}$상의 사영값 측도들의 집합족 $\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$사이의 일대일 대응이 존재한다. $$A=\int_{\mathbb{R}}{\lambda dP_{\lambda}}$$ $g$가 $\mathbb{R}$에서의 보렐 실함수이면, $D_{g}$에서 $$g(A)=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)dP_{\lambda}}$$ 는 자기수반이다. $g$가 $\sigma(A)$에서 유계이면, $g(A)$는 유계이고, 정리 2.74의 $\Phi(g)$와 같다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford