2-6 비유계 자기수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

2-6 비유계 자기수반 연산자에 대한 스펙트럼 정리

\((\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)\)를 유한 측도공간, \(\mathcal{H}=L^{2}(\mu)=L^{2}((\omega,\,\mathcal{A},\,\mu))\)를 \(\Omega\)에서 제곱적분 가능한 복소함수들의 공간, \(f\)를 \(\Omega\)에서 가측인 실함수로 \(\mu-a.e.\) 유한하다고 하자. \(M=M_{f}\)를 \(L^{2}(\mu)\)에서의 연산자로 다음과 같이 함수 \(f\)를 곱하는 연산이라 하자.$$M_{f}(\phi)=f\phi$$여기서$$D(M_{f})=\{\phi\in L^{2}(\mu)\,|\,f\phi\in L^{2}(\mu)\}$$명제 2.69 \(f\)를 \(L^{\infty}(\mu)\)상의 실함수라 하자. 그러면 \(M_{f}\)는 \(L^{2}(\mu)\)에서의 유계 자기수반 연산자이고 \(\|M_{f}\|=\|f\|_{\infty}\)이다. 

명제 2.70 \(f\)를 실함수이고 \(\mu-a.e.\) 유한하다고 하자. 그러면 정의역이 \(D(M_{f})\)인 \(M_{f}\)는 \(L^{2}(\mu)\)에서 자기수반 연산자이다. 

증명: \(M_{f}\)가 대칭임을 보이는 것은 쉽다. \(\phi,\,\psi\in D(M_{f})\)라 하자. 그러면 다음이 성립하고$$\langle M_{f}\phi,\,\psi\rangle=\int_{\Omega}{f\phi\overline{\psi}d\mu}=\int_{\Omega}{\phi\overline{f\psi}d\mu}=\langle\phi,\,M_{f}\psi\rangle$$따라서 \(M_{f}\)는 대칭이고 \(M_{f}\subset M_{f}^{*}\)이다. \(M_{f}\)가 자기수반임을 보이기 위해서는 \(M_{f}^{*}\subset M_{f}\)임을 보이면 충분하다. \(\psi\in D(M_{f}^{*})\)라 하자. \(f\psi\in L^{2}(\mu)\)가 성립하는지 확인해야 한다. 즉 \(\psi\in D(M_{f})\)이고, 양의 정수 \(N\)에 대해$$\tau_{N}(\omega)=\begin{cases}1&\,(|f(\omega)|\leq N)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$라 하자. 단조수렴정리와 명제 2.69, \(\tau_{N}\phi\in D(M_{f})\)이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\|M_{f}^{*}\psi\|&=\left\{\int_{\Omega}{|M_{f}^{*}\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{\Omega}{|\tau_{N}M_{f}^{*}\psi|d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}M_{f}^{*}\psi\|}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\phi,\,\tau_{N}M_{f}^{*}\psi\rangle|}\right)}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\tau_{N}\phi,\,M_{f}^{*}\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle M_{f}\tau_{N}\phi,\,\psi\rangle|}\right)}\\&=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle f\tau_{N}\phi,\,\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\tau_{N}f\phi,\,\psi\rangle|}\right)}\end{align*}$$위의 등식과 \(\tau_{N}f\)가 유계 실함수라는 사실, 명제 2.69에 의해 당므과 같이 나타낼 수 있고$$\|M_{f}^{*}\psi\|=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left(\sup_{\|\phi\|=1}{|\langle\phi,\,\tau_{N}f\psi\rangle|}\right)}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}f\psi\|}$$단조수렴정리와 위 식으로부터$$\left\{\int_{\Omega}{|f\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{\Omega}{|\tau_{N}f\psi|^{2}d\mu}\right\}^{\frac{1}{2}}}=\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\|\tau_{N}f\psi\|}=\|M_{f}^{*}\psi\|<\infty$$따라서 \(f\psi\in L^{2}(\mu)\)이고 \(\psi\in D(M_{f})\)이다. 

정의 2.71 \((\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)\)를 측도공간, \(f:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 가측함수라 하자. \(\lambda\in\mathbb{R}\)가 \(f\)의 본질적 치역(essential range)에 있을 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$\mu(\{\omega\in\Omega\,|\,f(\omega)\in(\lambda-\epsilon,\,\lambda+\epsilon)\})>0$$명제 2.72 \(f\)가 가측 실함수로 \(\mu-a.e.\)유한하다고 하자. 그러면 \(\sigma(M_{f})\)는 \(f\)의 본질적 치역과 같고, 특히 (i) \(\sigma(M_{f})\subset\mathbb{R}\)이고 따라서 (ii) \(\mathbb{C}-\mathbb{R}\subset\rho(M_{f})\)이고, 또한 추가로 \(f\in L^{\infty}(\mu)\)이면, \(\sigma(M_{f})\subset[-\|f\|_{\infty},\,\|f\|_{\infty}]=[-\|M_{f}\|,\,|M_{f}|]\)이다. 

*\(A\)가 임의의 (비유계) 자기수반 연산지이면, \(\sigma(A)\subset\mathbb{R}\)이고 따라서 \(\mathbb{C}-\mathbb{R}\subset\rho(\mathbb{R})=\mathbb{C}-\sigma(A)\)이다. 게다가 \(A\)가 유계이면, \(\sigma(A)\subset[-\|A\|,\,\|A\|]\)이고 이것은 스펙트럼 정리(2.72)와 명제 2.71로부터 성립한다. 

정리 2.72(스펙트럼 정리: 곱 연산자 형태, spectral theorem: multiplication operator form) \(A\)를 가분 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)상의 자기수반 연산자이고, 정의역이 \(D(A)\)라 하자. 그러면 유한 측도공간 \((\Omega,\,\mathcal{A},\,\mu)\)와 유니타리 연산자 \(U:\mathcal{H}\,\rightarrow\,L^{2}(\mu)\), \(\Omega\)에서의 가측 실함수이고 \(\mu-a.e.\)인 실함수 \(f\)가 존재하고

(i) \(h\in D(A)\)일 필요충분조건은 \(f(\cdot)(Uh)(\cdot)\in L^{2}(\mu)((Uh)(\cdot)\in D(M_{f}))\)이고, (ii) \(\phi\in U(D(A))\)이면, \((UAU^{-1}\phi)(\omega)=f(\omega)\phi(\omega)=(M_{f}\phi)(\omega)\)이다. 

*위 정리의 (ii)에서 \(UAU^{-1}=M_{f}\)로 나타낼 수 있고 또한 \(h\in D(A)\)에 대해 \(A=U^{-1}M_{f}U\)로 나타낼 수 있다. 이 \(A\)를 \(M_{f}\)와 유니타리 동치(unitary equivalent)라고 한다. 

정의 2.73 \(A\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)상의 자기수반 연산자라고 하자. 임의의 \(\sigma(A)\)에서 유계 복소 보렐 가측함수 \(g\)에 대해 \(g(A)=U^{-1}M_{g\circ f}U\)라 하자. 여기서 \(f\)와 \(U\)는 정리 2.72에 있는 것이고, 또한 다음과 같이 나타낸다.$$\Phi_{A}(g)=\Phi(g)=g(A)$$정리 2.74(스펙트럼 정리: 범함수의 계산형태, spectral theorem: functional calculus form) \(A\)를 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)에서 정의역이 \(D(A)\)인 자기수반 연산자라고 하자. 유일한 \(\sigma(A)\)에서 \(\mathcal{L}(\mathcal{H})\)로의 유니타리 사상 \(\Phi\)가 존재해서 다음이 성립한다.

(i) \(\Phi\)는 대수적 *-준동형사상이다. 즉,$$\Phi(g_{1}+g_{2})=\Phi(g_{1})+\Phi(g_{2}),\,\Phi(cg)=c\Phi(g),\,\Phi(\overline{g})=\Phi(g)^{*},\,\Phi(g_{1}g_{2})=\Phi(g_{1})\Phi(g_{2})$$(ii) \(\Phi\)는 노름연속이고 \(\displaystyle\|\Phi(g)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{H})}\leq\|g\|_{\infty}=\sup_{x\in\sigma(A)}{|g(x)|}\)

(iii) \(g\geq0\)이면, \(\Phi(g)\geq0\)이다(* \(\Phi(g)\geq0\)은 모든 \(h\in\mathcal{H}\)에 대해 \(\langle\Phi(g)h,\,h\rangle)\geq0\)을 뜻한다).

(iv) 모든 \(x\in\sigma(A)\)에 대해 \(g_{n}(x)\,\rightarrow\,g(x)\)이고 수열 \(\{\|g_{n}\|_{\infty}\}\)이 유계이면, \(\mathcal{L}(\mathcal{H})\)상의 강 연산자 위상에서 \(\Phi(g_{n})=g_{n}(A)\,\rightarrow\,g(A)=\Phi(g)\)이다(고정된 \(h\in\mathcal{H}\)에 대해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\mathcal{H}\)에서 \(g_{n}(A)h\,\rightarrow\,g(A)h\)).

(vi) \(\{g_{n}\}\)을 \(\sigma(A)\)에서의 유계 보렐 가측함수열로 \(x\in\sigma(A)\)에 대해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(g_{n}(x)\,\rightarrow\,x\)이고 모든 \(x\)와 \(n\)에 대해 \(|g_{n}(x)|\leq|x|\)라 하자. 그러면 임의의 \(h\in D(A)\)에 대해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\Phi(g_{n})h=g_{n}(A)h\,\rightarrow\,Ah\)이다. 

정리 2.75(스펙트럼 정리: 강한 곱 연산자 형태, spectral theorem: multiplication operator form, concrete version) \(A:D(A)\,\rightarrow\,\mathcal{H}\)를 가분 힐베르트공간 \(\mathcal{H}\)상의 자기수반 연산자라고 하자. 그러면 \(N\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}\)과 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)상의 양의 측도 \(\mu_{1},\,...,\,\mu_{N}\)이 존재해서 \(\mu_{p}(\sigma(A))=\mu_{p}(\mathbb{R})(p=1,\,...,\,N)\), \(\displaystyle\sum_{p=1}^{N}{\mu_{p}(\mathbb{R})}<\infty\)로 \(A\)가 힐베르트공간 \(\displaystyle\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\)(힐베르트공간 \(L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})\)의 직교 직합)에서 \(x\)를 곱하는 곱 연산자와 유니타리 등가이고, \(A=U^{-1}BU\), 여기서 \(\displaystyle U:\mathcal{H}\,\rightarrow\,\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\)는 유니타리 사상이고$$D(B)=\left\{(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in\bigoplus_{p=1}^{N}{L^{2}(\mathbb{R},\,\mu_{p})}\,|\,\sum_{p=1}^{N}{\int_{\mathbb{R}}{|x|^{2}|\varphi_{p}(x)|^{2}d\mu_{p}}<\infty}\right\}$$와$$B(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})=(x\varphi_{1}(x),\,...,\,x\varphi_{N}(x)),\,(\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\in D(B)$$를 얻는다. 여기서 \(N=\infty\)일 때 \((\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{N})\)을 무한수열 \((\varphi_{1},\,\varphi_{2},\,...)\)로 볼 수 있다.      

\(\mathbb{R}\)상의 임의의 보렐집합 \(B\)에 대해$$P_{B}=\Phi(\chi_{B})=\chi_{B}(A)$$라 하자. 여기서 \(\chi_{B}\)는 \(B\)의 특성함수(characteristic function)이다. \(\mathcal{L}(\mathcal{H})\)에서의 연산자들의 집합족 \(\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}\)은 다음의 성질들을 갖는다.

(i) 각 \(P_{B}\)들은 직교사영이다. 즉 \(P_{B}^{2}=P_{B}\)이고 \(P_{B}^{*}=P_{B}\) 

(ii) \(P_{\emptyset}=0\), \(P_{\mathbb{R}}=1\) 

(iii) \(\displaystyle B=\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_{n}}\,(n\neq m\,\Rightarrow\, B_{n}\cap B_{m}=\emptyset)\)이면 \(\displaystyle P_{B}=\sum_{n=1}^{\infty}{P_{B_{n}}}\)이고 여기서 무한급수의 극한은 강 연산자 위상에서의 극한이다.   

(iv) \(P_{B_{1}}P_{B_{2}}=P_{B_{1}\cap B_{2}}\)

정의 2.76 위의 성질 (i)-(iv)들을 만족하는 집합족 \(\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}\)를 사영값 측도(projection-valued measure)라고 한다.  

임의의 \(h\in\mathcal{H}\)에 대하여 집합함수 \(B\,\mapsto\,\langle h,\,P_{B}h\rangle\)는 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)에서의 실수값 측도이고, 이것을 \(d\langle h,\,P_{\lambda,\,h}\rangle\)로 나타낸다(\(P_{\lambda}=\Phi(\chi_{(-\infty,\,\lambda]})\)). 주어진 \(h_{1},\,h_{2}\in\mathcal{H}\)에 대해 \(\sigma(A)\)에서의 유계 보렐함수 \(g\)에 대해 \(g(A)\)가 다음과 같이 유일하게 정의될 수 있음을 보일 수 있다.$$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\sigma(A)}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle},\,h\in\mathcal{H}$$이고 측도 \(d\langle h_{1},\,P_{\lambda}h_{2}\rangle\)들은 \(\sigma(A)\)에서 받침을 가지므로 위의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}$$앞에서의 사상 \(g\,\mapsto\,g(A)\)는 정리 2.74에 의해 \(\Phi\)와 같다. 이것은 모든 \(h\in\mathcal{H}\)에 대해 다음이 성립함을 뜻한다.$$\langle h,\,\Phi(g)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}$$이제 \(g\)를 비유계 복소 보렐함수라 하고$$D_{g}=\left\{h\in\mathcal{H}\,|\,\int_{\mathbb{R}}{|g(\lambda)|^{2}d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle}<\infty\right\}$$라 하자. 그러면 \(D_{g}\)는 \(\mathcal{H}\)에서 조밀하고 연산자 \(g(A)\)는 \(D_{g}\)에서 다음과 같이 유일하게 정의된다.$$\langle h,\,g(A)h\rangle=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)d\langle h,\,P_{\lambda}h\rangle},\,(h\in D_{g})$$\(g(A)\)를 다음과 같이 나타내고$$g(A)=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)dP_{\lambda}}$$\(h_{1},\,h_{2}\in D(A)\)에 대해$$\langle h_{1},\,Ah_{2}\rangle=\int_{\mathbb{R}}{\lambda d\langle h_{1},\,P_{\lambda}h_{2}\rangle}$$이다 \(g\)가 실수이면, \(g(A)\)는 자기수반이다.

이 내용들을 다음과 같이 정리할 수 있다.

정리 2.77(스펙트럼 정리: 사영값 측도형태, spectral theorem: projection-valued measure form) \(\mathcal{H}\)를 가분 힐베르트공간이라고 하자. 그러면 다음과 같은 \(\mathcal{H}\)에서의 자기수반 연산자 \(A\)와 \(\mathcal{H}\)상의 사영값 측도들의 집합족 \(\{P_{B}\,|\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}\)사이의 일대일 대응이 존재한다.$$A=\int_{\mathbb{R}}{\lambda dP_{\lambda}}$$\(g\)가 \(\mathbb{R}\)에서의 보렐 실함수이면, \(D_{g}\)에서$$g(A)=\int_{\mathbb{R}}{g(\lambda)dP_{\lambda}}$$는 자기수반이다. \(g\)가 \(\sigma(A)\)에서 유계이면, \(g(A)\)는 유계이고, 정리 2.74의 \(\Phi(g)\)와 같다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford