[제어공학] 6. 선형시스템의 임펄스 응답, 전달함수

[제어공학] 6. 선형시스템의 임펄스 응답, 전달함수

입력 \(u(t)\)와 출력 \(y(t)\)를 갖는 선형시불변시스템이 있다고 하자. 다음과 같이 \(\displaystyle\frac{\hat{u}}{2\epsilon}\)의 크기를 갖는 구형파 함수 \(u(t)\)는 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\)일 때, 아주 작은 구간에서 임펄스 함수로 볼 수 있다.

위 구형파 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$u(t)=\begin{cases}0&\,(t\leq\tau-\epsilon)\\ \displaystyle\frac{\hat{u}}{2\epsilon}&\,(\tau-\epsilon<t<\tau+\epsilon)\\0&\,(t\geq\tau+\epsilon)\end{cases}$$\(\hat{u}=1\)일 때 \(u(t)=\delta(t)\)이고, 이것은 단위 임펄스(unit impulse) 또는 디렉 델타(Dirac Delta)함수이다. \(\delta(t)\)의 라플라스 변환은 유일하다.

어떤 시스템의 응답은 시스템의 임펄스 응답 \(g(t)\)에 의해 특성화된다. 선형시스템의 임펄스 응답을 알고 있다면, 시스템의 출력 \(y(t)\)와 입력 \(u(t)\)를 전달함수를 이용하여 구할 수 있다. 다음의 함수를 시스템의 전달함수(transfer function)라고 정의한다.$$G(s)=\frac{\mathcal{L}(y(t))}{\mathcal{L}(u(t))}=\frac{Y(s)}{F(s)}$$다음의 2계 미분방정식에서$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+2\zeta\omega_{n}\frac{dy(t)}{dt}+\omega_{n}^{2}y(t)=\omega_{n}^{2}u(t),\,y(0)=0,\,\frac{dy(t)}{dt}_{t=0}=0$$전달함수는 다음과 같고$$G(s)=\frac{\mathcal{L}(y(t))}{\mathcal{u(t)}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$임펄스 응답 \(g(t)\)는 다음과 같다.$$g(t)=\frac{\omega_{n}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\sin\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}t},\,t\geq0$$\(\displaystyle\mathcal{L}(y(t))=G(s)\mathcal{L}(u(t))=\frac{G(s)}{s}\)이므로 출력 \(y(t)\)는 다음과 같다.$$\begin{align*}y(t)&=u_{s}*g(t)=\int_{0}^{t}{u_{s}(\tau)g(t-\tau)d\tau}\\&=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}t+\theta),\,t\geq0\,(\theta=\cos^{-1}\zeta)\end{align*}$$선형시불변시스템의 전달함수는 모든 초기조건이 0일 때의 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 정의된다.

\(G(s)\)는 입력이 \(u(t)\), 출력이 \(y(t)\), 임펄스 응답이 \(g(t)\)인 단일입력 단일출력시스템(SISO)의 전달함수이고, \(G(s)=\mathcal{L}(g(t))\)로 정의된다. 또한 \(U(s)=\mathcal{L}(u(t))\), \(Y(s)=\mathcal{L}(y(t))\)라 할 때, 다음의 관계가 성립한다.$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$이때 모든 초기조건은 0이다. 

다음은 선형시불변시스템의 입출력관계를 나타내는 미분방정식이다.$$\begin{align*}&\frac{d^{n}y(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)\\&=b_{m}\frac{d^{m}u(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}u(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_{1}\frac{du(t)}{dt}+b_{0}u(t)\end{align*}$$계수 \(a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}\)과 \(b_{0},\,b_{1},\,...,\,b_{m}\)은 실수 상수이다. \(t\geq t_{0}\)에서의 입력 \(u(t)\)와 초기시각 \(t=t_{0}\)에서 \(y(t)\)와 \(y(t)\)의 도함수의 초기조건이 주어지면 \(t\geq t_{0}\)에서 출력 응답 \(y(t)\)는 위의 미분방정식으로부터 구해진다. 그러나 선형시스템의 해석 및 설계에서 미분방정식만을 이용하는 것은 매우 번거로워서 위 식의 미분방정식은 거의 사용되지 않는다.

위 식의 미분방정식으로 표현되는 선형시스템의 전달함수를 구하기 위해 초기조건을 0이라고 가정하고 라플라스 변환을 취하자. \(Y(s)=\mathcal{L}(y(t))\)라고 하면,$$(s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0})Y(s)=(b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0})U(s)$$이고, 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}}$$전달함수의 성질을 요약하면 다음과 같다.

-전달함수는 오직 선형시불변시스템에만 정의되고, 비선형시스템에 정의되지 않는다.

-시스템의 입력변수와 출력변수 사이의 전달함수는 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 정의된다. 입출력변수 사이의 전달함수는 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라스 변환과의 비이다.

-시스템의 모든 초기조건은 0으로 한다.

-전달함수는 시스템의 입력과는 무관하다.

-연속치 시스템의 전달함수는 복소변수 \(s\)만의 함수로 표현된다. 그것은 실변수 시간 또는 독립변수로 쓰이는 어떠한 변수의 함수도 아니다. 차분방정식으로 모델링 되는 이산 시스템에서는 \(z\)변환을 이용하여 전달함수 \(z\)의 함수이다.

앞에서의 전달함수 \(G(s)\)는 분모다항식의 차수가 분자의 차수보다 크면(\(m>n\)) strictly proper, \(n=m\)이면 proper, \(m>n\)이면, improper라고 한다.

선형시스템의 특성방정식(characteristic equation)은 전달함수의 분모다항식을 0으로 놓아서 얻어지는 방정식이다. 따라서 \(G(s)\)의 특성방정식은 다음과 같다.$$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}=0$$전달함수의 정의는 여러 개의 입출력을 갖는 시스템에도 쉽게 확장될 수 있고, 이러한 형태의 시스템을 보통 다변수시스템(multivariable system)이라고 한다. 선형시스템에서는 중첩의 원리를 적용할 수 있으므로 모든 입력이 동시에 작용할 때의 어느 출력변수에 대한 전체 효과는 각 입력들에 대한 효과를 합해서 얻을 수 있다.

일반적으로 선형시스템이 \(p\)개의 입력과 \(q\)개의 출력을 갖는다면, \(j\)번째 입력과 \(i\)번째 출력 사이의 전달함수는$$G_{ij}(s)=\frac{Y_{i}(s)}{R_{j}(s)}$$여기서 \(R_{k}(s)=0\), \(k=1,\,2,\,...,\,p,\,k\neq j\)이다. 위의 식은 \(j\)번째 입력만 가해지고 다른 입력들은 0으로 두었을 때의 정의식이다. 모든 \(p\)개의 입력들이 작용할 때 \(i\)번째 출력의 변환은 다음과 같고$$Y_{i}(s)=G_{i1}R_{1}(s)+G_{i2}R_{2}(s)+\cdots+G_{ip}(s)R_{p}(s)$$위의 식을 행렬을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\mathbf{Y(s)}=\mathbf{G(s)R(s)}$$여기서$$\mathbf{Y(s)}=\begin{pmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\\ \vdots\\Y_{q}(s)\end{pmatrix},\,\mathbf{R(s)}=\begin{pmatrix}R_{1}(s)\\R_{2}(s)\\ \vdots\\R_{p}(s)\end{pmatrix},\,\mathbf{G(s)}=\begin{pmatrix}G_{11}(s)&G_{12}(s)&\cdots&G_{1p}(s)\\G_{21}(s)&G_{22}(s)&\cdots&G_{2p}(s)\\ \cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\G_{q1}(s)&G_{q2}(s)&\cdots&G_{qp}(s)\end{pmatrix}$$이고 \(\mathbf{Y(s)}\)는 \(q\times1\) 변환출력벡터(transformed output vector), \(\mathbf{R(s)}\)는 \(p\times1\) 변환입력벡터(transformed input vector), \(\mathbf{G(s)}\)는 \(q\times p\) 전달함수행렬(transfer-function matrix)이다. 

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley