[제어공학] 6. 선형시스템의 임펄스 응답, 전달함수

[제어공학] 6. 선형시스템의 임펄스 응답, 전달함수

입력 $u(t)$와 출력 $y(t)$를 갖는 선형시불변시스템이 있다고 하자. 다음과 같이 $\displaystyle\frac{\hat{u}}{2\epsilon}$의 크기를 갖는 구형파 함수 $u(t)$는 $\epsilon\,\rightarrow\,0$일 때, 아주 작은 구간에서 임펄스 함수로 볼 수 있다.

위 구형파 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$u(t)=\begin{cases}0&\,(t\leq\tau-\epsilon)\\ \displaystyle\frac{\hat{u}}{2\epsilon}&\,(\tau-\epsilon<t<\tau+\epsilon)\\0&\,(t\geq\tau+\epsilon)\end{cases}$$ $\hat{u}=1$일 때 $u(t)=\delta(t)$이고, 이것은 단위 임펄스(unit impulse) 또는 디렉 델타(Dirac Delta)함수이다. $\delta(t)$의 라플라스 변환은 유일하다.

어떤 시스템의 응답은 시스템의 임펄스 응답 $g(t)$에 의해 특성화된다. 선형시스템의 임펄스 응답을 알고 있다면, 시스템의 출력 $y(t)$와 입력 $u(t)$를 전달함수를 이용하여 구할 수 있다. 다음의 함수를 시스템의 전달함수(transfer function)라고 정의한다. $$G(s)=\frac{\mathcal{L}(y(t))}{\mathcal{L}(u(t))}=\frac{Y(s)}{F(s)}$$ 다음의 2계 미분방정식에서 $$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+2\zeta\omega_{n}\frac{dy(t)}{dt}+\omega_{n}^{2}y(t)=\omega_{n}^{2}u(t),\,y(0)=0,\,\frac{dy(t)}{dt}_{t=0}=0$$ 전달함수는 다음과 같고 $$G(s)=\frac{\mathcal{L}(y(t))}{\mathcal{u(t)}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$ 임펄스 응답 $g(t)$는 다음과 같다. $$g(t)=\frac{\omega_{n}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\sin\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}t},\,t\geq0$$ $\displaystyle\mathcal{L}(y(t))=G(s)\mathcal{L}(u(t))=\frac{G(s)}{s}$이므로 출력 $y(t)$는 다음과 같다. $$\begin{align*}y(t)&=u_{s}*g(t)=\int_{0}^{t}{u_{s}(\tau)g(t-\tau)d\tau}\\&=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}t+\theta),\,t\geq0\,(\theta=\cos^{-1}\zeta)\end{align*}$$ 선형시불변시스템의 전달함수는 모든 초기조건이 0일 때의 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 정의된다.

$G(s)$는 입력이 $u(t)$, 출력이 $y(t)$, 임펄스 응답이 $g(t)$인 단일입력 단일출력시스템(SISO)의 전달함수이고, $G(s)=\mathcal{L}(g(t))$로 정의된다. 또한 $U(s)=\mathcal{L}(u(t))$, $Y(s)=\mathcal{L}(y(t))$라 할 때, 다음의 관계가 성립한다. $$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$ 이때 모든 초기조건은 0이다. 

다음은 선형시불변시스템의 입출력관계를 나타내는 미분방정식이다. $$\begin{align*}&\frac{d^{n}y(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)\\&=b_{m}\frac{d^{m}u(t)}{dt^{m}}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}u(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_{1}\frac{du(t)}{dt}+b_{0}u(t)\end{align*}$$ 계수 $a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}$과 $b_{0},\,b_{1},\,...,\,b_{m}$은 실수 상수이다. $t\geq t_{0}$에서의 입력 $u(t)$와 초기시각 $t=t_{0}$에서 $y(t)$와 $y(t)$의 도함수의 초기조건이 주어지면 $t\geq t_{0}$에서 출력 응답 $y(t)$는 위의 미분방정식으로부터 구해진다. 그러나 선형시스템의 해석 및 설계에서 미분방정식만을 이용하는 것은 매우 번거로워서 위 식의 미분방정식은 거의 사용되지 않는다.

위 식의 미분방정식으로 표현되는 선형시스템의 전달함수를 구하기 위해 초기조건을 0이라고 가정하고 라플라스 변환을 취하자. $Y(s)=\mathcal{L}(y(t))$라고 하면, $$(s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0})Y(s)=(b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0})U(s)$$ 이고, 전달함수는 다음과 같다. $$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}}$$ 전달함수의 성질을 요약하면 다음과 같다.

-전달함수는 오직 선형시불변시스템에만 정의되고, 비선형시스템에 정의되지 않는다.

-시스템의 입력변수와 출력변수 사이의 전달함수는 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 정의된다. 입출력변수 사이의 전달함수는 출력의 라플라스 변환과 입력의 라플라스 변환과의 비이다.

-시스템의 모든 초기조건은 0으로 한다.

-전달함수는 시스템의 입력과는 무관하다.

-연속치 시스템의 전달함수는 복소변수 $s$만의 함수로 표현된다. 그것은 실변수 시간 또는 독립변수로 쓰이는 어떠한 변수의 함수도 아니다. 차분방정식으로 모델링 되는 이산 시스템에서는 $z$변환을 이용하여 전달함수 $z$의 함수이다.

앞에서의 전달함수 $G(s)$는 분모다항식의 차수가 분자의 차수보다 크면($m>n$) strictly proper, $n=m$이면 proper, $m>n$이면, improper라고 한다.

선형시스템의 특성방정식(characteristic equation)은 전달함수의 분모다항식을 0으로 놓아서 얻어지는 방정식이다. 따라서 $G(s)$의 특성방정식은 다음과 같다. $$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}=0$$ 전달함수의 정의는 여러 개의 입출력을 갖는 시스템에도 쉽게 확장될 수 있고, 이러한 형태의 시스템을 보통 다변수시스템(multivariable system)이라고 한다. 선형시스템에서는 중첩의 원리를 적용할 수 있으므로 모든 입력이 동시에 작용할 때의 어느 출력변수에 대한 전체 효과는 각 입력들에 대한 효과를 합해서 얻을 수 있다.

일반적으로 선형시스템이 $p$개의 입력과 $q$개의 출력을 갖는다면, $j$번째 입력과 $i$번째 출력 사이의 전달함수는 $$G_{ij}(s)=\frac{Y_{i}(s)}{R_{j}(s)}$$ 여기서 $R_{k}(s)=0$, $k=1,\,2,\,...,\,p,\,k\neq j$이다. 위의 식은 $j$번째 입력만 가해지고 다른 입력들은 0으로 두었을 때의 정의식이다. 모든 $p$개의 입력들이 작용할 때 $i$번째 출력의 변환은 다음과 같고 $$Y_{i}(s)=G_{i1}R_{1}(s)+G_{i2}R_{2}(s)+\cdots+G_{ip}(s)R_{p}(s)$$ 위의 식을 행렬을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{Y(s)}=\mathbf{G(s)R(s)}$$ 여기서 $$\mathbf{Y(s)}=\begin{pmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\\ \vdots\\Y_{q}(s)\end{pmatrix},\,\mathbf{R(s)}=\begin{pmatrix}R_{1}(s)\\R_{2}(s)\\ \vdots\\R_{p}(s)\end{pmatrix},\,\mathbf{G(s)}=\begin{pmatrix}G_{11}(s)&G_{12}(s)&\cdots&G_{1p}(s)\\G_{21}(s)&G_{22}(s)&\cdots&G_{2p}(s)\\ \cdot&\cdot&\cdots&\cdot\\G_{q1}(s)&G_{q2}(s)&\cdots&G_{qp}(s)\end{pmatrix}$$ 이고 $\mathbf{Y(s)}$는 $q\times1$ 변환출력벡터(transformed output vector), $\mathbf{R(s)}$는 $p\times1$ 변환입력벡터(transformed input vector), $\mathbf{G(s)}$는 $q\times p$ 전달함수행렬(transfer-function matrix)이다. 

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley