[제어공학] 3. 주파수영역(2)

[제어공학] 3. 주파수영역(2)

실수 상수 \(K\)를 dB로 나타내면 $$K_{\text{dB}}=20\log_{10}K,\,\angle K=\begin{cases}0^{\circ}&\,(K>0)\\180^{\circ}&\,(K<0)\end{cases}$$이므로 상수 \(K\)의 보드선도는 다음과 같다.

\((j\omega)^{\pm p}\)의 크기를 dB로 나타내면$$20\log_{10}|(j\omega)^{\pm p}|=\pm20p\log_{10}\omega\,\text{dB}$$이고, 직선의 기울기는 주파수에 대해 \(\pm20p\text{dB/decade}\)이다.

decade 대신 octave를 이용해 두 주파수의 분리 정도를 나타낸다. \(\displaystyle\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=2\)일 때 주파수 \(\omega_{1}\)과 \(\omega_{2}\)는 한 octave만큼 떨어져 있다. 다음은 두 주파수 \(\omega_{1}\)과 \(\omega_{2}\)사이의 decade수이다.$$\text{number of decades}=\frac{\log_{10}\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}}{\log_{10}10}=\log_{10}\frac{\omega_{2}}{\omega_{2}}$$마찬가지로 \(\omega_{1}\)과 \(\omega_{2}\)사이의 octave수는 다음과 같다.$$\text{number of octaves}=\frac{\log_{10}\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}}{\log_{10}2}=\frac{1}{0.301}\log_{10}\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}$$따라서 octave와 decade의 관계는 다음과 같다.$$\text{number of octaves}=\frac{1}{0.301}\text{decades}=3.32\text{decades}$$그러면$$\pm20p\text{dB/decade}=\pm20p\times0.301\simeq6p\text{dB/octave}$$함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{1}{s}\)의 전달함수 \(G(j\omega)\)는 \(s=0\)에서 단순극을 갖고, 크기 곡선은 기울기가 \(-20\text{dB/decade}\)이고, \(\omega=0\)에서 \(0\text{dB}\)축을 지난다.

\((j\omega)^{\pm p}\)의 위상은 \(\angle(j\omega)^{\pm p}=\pm p\times90^{\circ}\)이고, 다음은 \(p\)에 따른 함수의 크기 및 위상 도면이다.

\(G(j\omega)=1+j\omega T\)(\(T\)는 양의 상수)일 때$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}=20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}\sqrt{1+\omega^{2}T^{2}}$$이고 \(|G(j\omega)|_{\text{dB}}\)의 점근 근사식을 얻으려면 \(\omega\)가 매우 큰 경우와 작은 경우를 고려한다.

매우 작은 주파수(\(\omega T\ll 1\))일 때는$$|G(j\omega)|\simeq20\log_{10}1=0\text{dB}$$이고, 매우 큰 주파수(\(\omega T\gg1\))일 때는 다음과 같다.$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}=20\log_{10}\sqrt{\omega^{2}T^{2}}=20\log{10}\omega T$$이때 주파수에 대한 기울기는 \(20\text{dB/decade}\)이다. 이들 두 직선(점근선)의 교점은 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{T}\)이고, 이 주파수를 보드선도의 절점 주파수(corner frequency)라고 한다. 

다음은 \((1+j\omega T)_{\text{dB}}\)의 개형을 그리는 과정이다.

1. 주파수 축 위에 절점 주파수 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{T}\)를 잡는다.

2. \(\displaystyle\omega=\frac{1}{T}\)에서 만나도록 \(20\text{dB/decade}(6\text{dB/octave})\)기울기의 직선과 \(0\text{dB}\)의 수평직선을 그린다.

3. 필요하다면 특정 주파수에서 점근도 면에 편차를 더해 실제의 크기 곡선을 얻는다. 통상적으로 절점 주파수에서 \(3\text{dB}\)점을 잡고 절점 주파수의 위와 아래의 \(1\text{octave}\)에서는 \(1\text{dB}\)점들을 잡아 완만한 곡선을 그릴 수 있다. \(G(j\omega T)=1+j\omega T\)의 위상은 \(\angle G(j\omega)=\tan^{-1}\omega T\)이다.

함수 \(\displaystyle G(j\omega)=\frac{1}{1+Ts}\)의 dB크기는 로그의 정의로부터 다음과 같고,$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}=-20\log_{10}\sqrt{1+\omega^{2}T^{2}}$$\(|G(j\omega)|_{\text{dB}}\)의 점근 근사식은 다음과 같다.$$\begin{align*}\omega T\ll1&\,|G(j\omega)|_{\text{dB}}\simeq0\text{dB}\\ \omega T\gg1&\,|G(j\omega)|\simeq-20\log_{10}\omega T\end{align*}$$다음은 \(\displaystyle G(s)=1+Ts\)와 \(\displaystyle G(s)=\frac{1}{1+Ts}\)의 보드선도이다.

다음은 2차 전달함수이다.$$G(s)=\frac{\omega^{2}_{n}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}=\frac{1}{1+\left(\frac{2\zeta}{\omega_{n}}\right)s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}}s^{2}}$$\(G(s)\)가 두 개의 다른 실수 극을 가지면 \(G(s)\)를 단순극을 갖는 두 전달함수의 곱으로 나타내어 보드선도를 얻을 수 있기 때문에 \(\zeta\leq1\)인 경우만 고려한다.

위의 2차 전달함수에서 \(s=j\omega\)라 하면, \(\displaystyle G(j\omega)=\frac{1}{\left\{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right\}+j2\xi\frac{\omega}{\omega_{n}}}\)이고, dB로 \(G(j\omega)\)의 크기는 다음과 같다.$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}=20\log_{10}|G(j\omega)|=-20\log_{10}\sqrt{\left\{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right\}+4\zeta^{2}\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}}$$매우 낮은 주파수\(\displaystyle\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\ll1\right)\)에서$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}=20\log_{10}|G(j\omega)|\simeq-20\log_{10}1=0$$이고, 매우 높은 주파수\(\displaystyle\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\gg1\right)\)에서$$|G(j\omega)|_{\text{dB}}\simeq-20\log_{10}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{4}}=-40\log_{10}\frac{\omega}{\omega_{n}}\text{dB}$$이다. 두 점근선의 교점은 \(\omega=\omega_{n}\)(절점주파수), \(G(j\omega)\)의 위상은 다음과 같다.$$\angle G(j\omega)=-\tan^{-1}\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_{n}}\left\{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{n}}\right)^{2}\right\}\right)$$다음은 감쇠비 \(\zeta\)에 따른 보드선도이다.

다음의 그림은 앞에서 다루었던 2차 전달함수 \(G(s)\)의 감쇠비 \(\xi\)에 따른 크기 곡선의 편차를 나타낸 것이다.

다음의 2차 전달함수의 보드선도 해석은$$G(s)=1+\frac{2\zeta}{\omega_{n}}s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}}s^{2}$$앞에서 다룬 2차 전달함수의 해석방법을 적용할 수 있고, 크기와 위상곡선은 앞에서 다룬 보드선도의 곡선을 뒤집어서 얻는다.     

 

순수시간 지연항의 크기는 모든 \(\omega\)에 대해 1이다. 그 위상은 \(\angle e^{-j\omega T_{d}}=-\omega T_{d}\)으로 \(\omega\)의 함수로서 선형적으로 감소한다. 따라서 전달함수 \(G(j\omega)=G_{1}(j\omega)e^{-j\omega T_{d}}\)의 크기 도면 \(|G(j\omega)|_{\text{dB}}\)는 \(|G_{1}(j\omega)|_{\text{dB}}\)의 크기 도면과 동일하고, 위상도면 \(\angle G(j\omega)\)는 여러 \(\omega\)에서의 \(G_{1}(j\omega)\)의 위상 도면으로부터 \(\omega T_{d}\)라디안을 빼서 얻는다.  

함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{10(s+10)}{s(s+2)(s+5)}\)에 대해 \(s=j\omega\)라 하면$$G(j\omega)=\frac{10(1+j0.1\omega)}{j\omega(1+j0.5\omega)(1+j0.2\omega)}$$이고, 절점주파수는 \(\omega=2,\,5,\,10\text{rad/s}\)이다. \(s=0\)의 극은 그 크기 곡선이 기울기 \(-20\text{dB/decade}\)이고 \(0\text{dB}\)축에서 \(\omega=1\text{rad/s}\)인 점을 통과하는 직선을 갖는다. 다음은 이 절달함수의 보드선도이다.

다음은 함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{10(s+10)}{s(s+2)(s+5)}\)의 극 선도와

   위상에 대한 크기 도면이다.

주파수영역 도면에서 이득 및 위상교차점은 제어시스템의 설계와 해석에서 중요하다.

이득교차점: \(G(j\omega)\)의 주파수영역의 도면에서 이득교차점(gain-crossover point)은 \(|G(j\omega)|=1\) 또는 \(|G(j\omega)|_{\text{dB}}=0\text{dB}\)인 점이다. 이득교차점에서의 주파수를 이득교차 주파수(gain-crossover frequency) \(\omega_{g}\)라고 한다.

위상교차점: \(G(j\omega)\)의 주파수영역의 도면에서 위상교차점(phase-crossover point)은 \(\angle G(j\omega)=180^{\circ}\)인 점이다. 위상교차점에서의 주파수를 위상교차 주파수(phase-crossover frequency) \(\omega_{p}\)라고 한다. 

극좌표도면: 이득교차점(들)은 \(|G(j\omega)|=1\)위에 있다. 위상교차점(들)은 \(\angle G(j\omega)=180^{\circ}\)에 있다. 

보드선도: 이득교차점(들)은 크기 곡선 \(|G(j\omega)|_{\text{dB}}\)가 \(0\text{dB}\)축과 만나는 점이다. 

위상에 대한 크기도면: 이득교차점(들)은 \(G(j\omega)\)곡선이 \(0\text{dB}\)축과 만나는 점이다. 위상교차점(들)은 \(G(j\omega)\)곡선이 \(180^{\circ}\)축과 만나는 점이다.

선형제어 시스템에서 다루는 대부분의 전달함수는 \(s\)평면 오른쪽에 극 또는 영점을 갖지 않고, 이러한 종류의 전달함수를 최소위상 전달함수(minimum-phase transfer function), 오른쪽 \(s\)평면에 극이나 영점 또는 두 가지 모두를 가지고 있을 때 이러한 전달함수를 비최소위상 전달함수(nonminimum-phase transfer function)라고 한다. 

하나의 최소위상함수가 주어지면 그 크기특성 \(|G(j\omega)|\)는 완전히 위상특성 \(\angle G(j\omega)\)를 결정하고, 역으로 \(\angle G(j\omega)\)가 주어지면 \(|G(j\omega)|\)가 결정된다. 비최소위상 전달함수는 위상과 크기의 관계가 일의적이지 않다.

다음은 최소위상 전달함수의 성질이다.

-\(m\)개의 영점과 \(s=0\)인 극을 제외하고 \(n\)개의 극을 갖는 최소위상 전달함수 \(G(s)\)에 대해 \(s=j\omega\)로 놓고 \(\omega\)가 0에서 \(\infty\)까지 변할 때, \(G(j\omega)\)의 전체 위상변화는 \(\displaystyle\frac{(n-m)\pi}{2}\)이다.

-최소위상 전달함수의 값은 유한한 0이 아닌 주파수에서 0 또는 무한대가 될 수 없다. 

-비최소위상 전달함수는 \(\omega\)가 \(\infty\)에서 0으로 변할 때 항상 더 많은 양의 위상변이를 가질 것이다.

다음은 함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{10(s-10)}{s(s+2)(s+5)}\)의 보드선도의 위상곡선,

극좌표 선도이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley