[제어공학] 3. 주파수영역(1)

[제어공학] 3. 주파수영역(1)

폐루프시스템의 주파수영역 해석은 전달함수 \(G(s)\)에서 \(s\)를 \(j\omega\)로 대치하여 주파수영역의 도면으로부터 얻을 수 있다.

\(G(j\omega)\)는 일반적으로 주파수 \(\omega\)의 복소함수로서 \(G(j\omega)=|G(j\omega)|\angle G(j\omega)\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(|G(j\omega)|\)는 \(G(j\omega)\)의 크기, \(\angle G(j\omega)\)는 \(G(j\omega)\)의 위상이다.

\(G(j\omega)\)의 \(\omega\)에 대한 주파수영역의 도면은 주파수영역에서 선형제어시스템의 해석과 설계에 사용된다.

1. 극좌표 도면: \(\omega\)를 0에서 \(\infty\)(무한대)까지 변화시킬 때 극좌표계에서 위상에 대한 크기의 도면

2. 보드(Bode)선도: 반대수 좌표계(또는 직교좌표계)에서 \(\omega\)에 대한 크기를 dB(데시벨)로 표현한 도면

3. 위상 대 크기 도면: 직교좌표계에서 \(\omega\)를 가변 파라미터로 하여 위상에 대한 크기를 dB(데시벨)로 나타낸 도면. 

복소변수 \(s\)의 함수 \(G(s)\)의 극좌표 도면은 \(\omega\)를 0에서 \(\infty\)(무한대)까지 변화시킬 때 극좌표계에서 \(G(j\omega)\)의 위상에 대한 \(G(j\omega)\)의 크기를 그린 것이다. 다음은 \(s\)평면에서 양의 \(j\omega\)축을 \(G(j\omega)\)평면에 사상한 극좌표 도면이다.

함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{1}{1+Ts}\)(\(T\)는 양의 상수)에 대해 \(s=j\omega\)라고 하면 \(\displaystyle G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega T}\)이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$G(j\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^{2}T^{2}}}\angle-\tan^{-1}\omega T$$이때 \(G(j\omega)\)의 극좌표 도면은 다음과 같다.

함수 \(\displaystyle G(j\omega)=\frac{1+j\omega T_{2}}{1+j\omega T_{1}}\)(\(T_{1}\), \(T_{2}\)는 양의 실수)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$G(j\omega)=\sqrt{\frac{1+\omega^{2}T_{2}^{2}}{1+\omega^{2}T_{1}^{2}}}\angle(\tan^{-1}\omega T_{2}-\tan^{-1}\omega T_{1})$$여기서 \(T_{2}\)가 \(T_{1}\)보다 크면 \(G(j\omega)\)의 크기는 \(\omega\)를 0에서 \(\infty\)까지 변화시킬 때 항상 1보다 크고 \(G(j\omega)\)의 위상은 항상 양수이다. \(T_{2}\)가 \(T_{1}\)보다 작으면 \(G(j\omega)\)의 크기는 항상 1보다 작고 위상은 음수가 된다. 다음은 이 두 조건에 대응되는 \(G(j\omega)\)의 극좌표 도면이다.

\(G(j\omega)\)의 극좌표 도면의 일반적인 모향은 다음의 정보로부터 얻을 수 있다.

1. \(\omega=0\)과 \(\omega=\infty\)에서 \(G(j\omega)\)의 크기와 위상의 모습

2. 극좌표 도면이 실수축 및 허수축과 만나는 점과 이때의 \(\omega\)값

함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)에서$$G(s)=\frac{10}{\sqrt{\omega^{2}(\omega^{2}+1)}}\angle\left(-\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\omega\right)=-\frac{10\omega^{2}}{\omega^{4}+\omega^{2}}-j\frac{10\omega}{\omega^{4}+\omega^{2}}$$이므로 \(G(j\omega)\)의 극좌표 도면은 다음과 같다.

함수 \(\displaystyle G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)}\)에서$$\begin{align*}G(j\omega)&=\frac{10}{\sqrt{\omega^{2}(\omega^{2}+1)(\omega^{2}+4)}}\angle\left(-\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}\right)\\&=-\frac{30}{9\omega^{2}+(2-\omega^{2})^{2}}-j\frac{10(2-\omega^{2})}{9\omega^{3}+\omega(2-\omega^{2})^{2}}\end{align*}$$이므로 \(G(j\omega)\)의 극좌표 도면은 다음과 같다.

함수 \(G(j\omega)\)의 보드(Bode)선도는 두 개의 도면으로 구성되는데, 하나는 \(G(j\omega)\)의 크기를 \(\log_{10}\omega\)(상용로그) 또는 \(\omega\)에 대해 dB로 나타낸 것이다. 보드선도는 다음의 특징을 갖는다.

1. 보드선도에서 \(G(j\omega)\)의 크기는 dB로 표현되고 \(G(j\omega)\)의 곱과 나누기는 각각 합과 차로 바뀐다. 위상 관계도 역시 대수적 합과 차로 표현된다.

2. \(G(j\omega)\)의 보드선도의 크기 도면은 선분들에 의해 근사적 표현이 가능하기 때문에 자세한 계산 없이 보드선도를 간단히 그릴 수 있다.

다음의 함수에서$$G(s)=\frac{K(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots(s+z_{m})}{s^{j}(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots(s+p_{n})}e^{-T_{d}s}$$\(K\)와 \(T_{d}\)는 실수 상수이고, \(z_{i}\)와 \(p_{i}\)들은 실수 또는 복소수이다. 

보드선도에서는 \(G(s)\)를 다음과 같이 나타내는 것이 좋다.$$G(s)=\frac{K_{1}(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)\cdots(1+T_{m}s)}{s^{j}(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)\cdots(1+T_{n}s)}e^{-T_{d}s}$$여기서 \(K_{1}\)은 실수 상수, \(T\)들은 실수 또는 복소수, \(T_{d}\)는 실수(시간지연)이다. 

다음의 전달함수$$G(s)=\frac{K(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)}{s(1+T_{a}s)\left(1+\frac{2\zeta s}{\omega_{n}}+\frac{s^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right)}e^{-T_{d}s}$$여기서 \(K,\,T_{d},\,T_{1},\,T_{2},\,T_{a},\,\zeta,\,\omega_{n}\)은 실수 상수이고, 분모의 2차 다항식은 공액복소근을 갖는다고 가정한다. 

dB로 나타낸 \(G(j\omega)\)의 크기는 \(|G(j\omega)|\)의 밑이 10인 상용로그를 취해 20을 곱해서 얻는다. 따라서$$\begin{align*}|G(j\omega)|_{\text{dB}}&=20\log_{10}|G(j\omega)|\\&=20\log_{10}|K|+20\log_{10}|1+j\omega T_{1}|+20\log_{10}|1+j\omega T_{2}|\\&-20\log_{10}|j\omega|-20\log_{10}|1+j\omega T_{a}|-20\log_{10}\left|1+j2\zeta\omega-\frac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right|\end{align*}$$이고, \(G(j\omega)\)의 위상은 다음과 같다.$$\begin{align*}\angle G(j\omega)&=\angle K+\angle(1+j\omega T_{1})+\angle(1+j\omega T_{2})-\angle j\omega-\angle(1+j\omega T_{a})\\&-\angle\left(1+\frac{2\zeta\omega}{\omega_{n}}-\frac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right)-\omega T_{d}\,\text{rad}\end{align*}$$\(G(j\omega)\)는 다음과 같은 5가지 인수의 형태를 갖게 된다.

1. 상수항 \(K\)

2. 원점에 있는 \(p\)차의 극 또는 영점 \((j\omega)^{\pm p}\)

3. \(\displaystyle s=-\frac{1}{T}\)에 있는 \(q\)차의 극 또는 영점 \((1+j\omega T)^{\pm q}\)

4. \(r\)차의 복소극 또는 영점 \(\displaystyle\left(1+j\frac{2\zeta\omega}{\omega_{n}}-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{\pm r}\)

5. 순수한 시간지연 \(e^{-j\omega T_{d}}\), \(T_{d},\,p,\,q,\,r\)은 양의 정수이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley