[제어공학] 5. 라플라스 변환의 응용

[제어공학] 5. 라플라스 변환의 응용

미분방정식의 라플라스 변환의 해가 $s$에 대한 유리함수일 때 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$G(s)=\frac{Q(s)}{P(s)}$$ 여기서 $P(s)$와 $Q(s)$는 $s$의 다항식이고, $P(s)$의 $s$의 차수가 $Q(s)$의 차수보다 크다고 가정한다. 다항식 $P(s)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$P(s)=s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}$$ $a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}$은 실수 계수이다. 

$G(s)$가 단순극, 중복극, 공액복소극인 각 경우에 대해 부분분수로 나타내어 구할 수 있다.

$G(s)$가 단순극을 갖는 경우: $G(s)$의 모든 극이 단순하고 실수이면, $G(s)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$G(s)=\frac{Q(s)}{P(s)}=\frac{Q(s)}{(s+s_{1})(s+s_{2})\cdots(s+s_{n})}$$ 여기서 $s_{1}\neq s_{2}\neq\cdots\neq s_{n}$이다. 부분분수로 전개하면 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$G(s)=\frac{K_{s_{1}}}{s+s_{1}}+\frac{K_{s_{2}}}{s+s_{2}}+\cdots+\frac{K_{s_{n}}}{s+s_{n}}$$ 계수 $K_{s_{i}}\,(i=1,\,2,\,...,\,n)$은 다음과 같이 구할 수 있다. $$K_{s_{i}}=\left\{(s+s_{i})\frac{Q(s)}{P(s)}\right\}_{s=-s_{i}}=\frac{Q(-s_{i})}{(s_{2}-s_{i})(s_{3}-s_{i})\cdots(s-s_{i-1})(s-s_{i+1})\cdots(s_{n}-s_{i})}$$ 예를들어 다음의 함수 $$G(s)=\frac{5s+3}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$ 를 다음과 같이 부분분수로 나타내자. $$G(s)=\frac{K_{-1}}{s+1}+\frac{K_{-2}}{s+2}+\frac{K_{-3}}{s+3}$$ $K_{-1},\,K_{-2},\,K_{-3}$은 다음과 같이 구할 수 있다. $$\begin{align*}K_{-1}&=\{(s+1)G(s)\}_{s=-1}=\frac{5(-1)+3}{(2-1)(3-1)}=-1\\K_{-2}&=\{(s+2)G(s)\}_{s=-2}=\frac{5(-2)+3}{(1-2)(3-2)}=7\\K_{-3}&=\{(s+3)G(s)\}_{s=-3}=\frac{5(-3)+3}{(1-3)(2-3)}=-6\end{align*}$$ 따라서 $G(s)$를 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다. $$G(s)=-\frac{1}{s+1}+\frac{7}{s+2}-\frac{6}{s+3}$$ $G(s)$가 중복근을 갖는 경우: $G(s)$의 $n$개의 극 중 $r$개가 같다면, 즉 $s=-s_{i}$의 극이 $r$차의 중근이라면, $G(s)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$G(s)=\frac{Q(s)}{P(s)}=\frac{Q(s)}{(s+s_{1})(s+s_{2})\cdots(s+s_{n-r})(s+s_{i})^{r}}$$ ($i\neq1,\,2,\,...,\,n-r$) $G(s)$는 다음과 같이 전개할 수 있다. $$G(s)=\frac{K_{s_{1}}}{s+s_{1}}+\cdots+\frac{K_{s_{(n-r)}}}{s+s_{n-r}}+\frac{A_{1}}{s+s_{i}}+\cdots+\frac{A_{r}}{(s+s_{i})^{r}}$$ 단순극에 대응되는 $n-r$개의 계수 $K_{s_{1}},\,...,\,K_{s_{n-r}}$은 앞에서와 같은 방법으로 구하면 되고, 중복극에 대응되는 계수의 결정은 다음과 같이 하면 된다. $$\begin{align*}A_{r}&=\{(s+s_{i})^{r}G(s)\}_{s=-s_{i}}\\A_{r-1}&=\frac{d}{ds}\{(s+s_{i})^{r}G(s)\}_{s=-s_{i}}\\A_{r-2}&=\frac{1}{2!}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\{(s+s_{i})^{r}G(s)\}_{s=-s_{i}}\\&\vdots\\A_{1}&=\frac{1}{(r-1)!}\frac{d^{r-1}}{ds^{r-1}}\{(s+s_{i})^{r}G(s)\}_{s=-s_{i}}\end{align*}$$ 예를들어 다음의 함수 $$G(s)=\frac{1}{s(s+1)^{3}(s+2)}$$ 를 다음과 같이 부분분수로 나타내자. $$G(s)=\frac{K_{0}}{s}+\frac{K_{-2}}{s+2}+\frac{A_{1}}{s+1}+\frac{A_{2}}{(s+1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(s+1)^{3}}$$ $K_{0},\,K_{-2},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3}$은 다음과 같이 구할 수 있다. $$\begin{align*}K_{0}&=\{sG(s)\}_{s=0}=\frac{1}{2},\,K_{-2}=\{(s+2)G(s)\}_{s=-2}=\frac{1}{2}\\A_{3}&=\{(s+1)^{3}G(s)\}_{s=-1}=-1\\A_{2}&=\frac{d}{ds}\{(s+1)^{3}G(s)\}_{s=-1}=\frac{d}{ds}\left\{\frac{1}{s(s+2)}\right\}_{s=-1}=0\\A_{1}&=\frac{1}{2!}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\{(s+1)^{3}G(s)\}=\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left\{\frac{1}{s(s+2)}\right\}=-1\end{align*}$$ 따라서 $G(s)$를 다음과 같이 부분분수로 나타낼 수 있다. $$G(s)=\frac{1}{2s}+\frac{1}{2(s+2)}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{3}}$$ $G(s)$가 단순복소극을 갖는 경우: $G(s)$가 공액복소극 $s=-\sigma\pm j\omega$를 갖는다고 가정하자. 이 극에 대응되는 계수들은 앞과 같은 방법으로 다음과 같이 구해진다. $$\begin{align*}K_{-\sigma+j\omega}&=\{(s+\sigma-j\omega)G(s)\}_{s=-\sigma+j\omega}\\K_{-\sigma-j\omega}&=\{(s+\sigma+j\omega)G(s)\}_{s=-\sigma-j\omega}\end{align*}$$ 예를들어 다음의 함수 $$G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}\,(\zeta<1)$$ 라 하자. 그러면 $$G(s)=\frac{K_{-\sigma+j\omega}}{s+\sigma-j\omega}+\frac{K_{-\sigma-j\omega}}{s+\sigma+j\omega}$$ 이고 $$\sigma=\zeta\omega_{n},\,\omega=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$$ 이며 $$\begin{align*}K_{-\sigma+j\omega}&=\{(s+\sigma-j\omega)G(s)\}_{s=-\sigma+j\omega}=\frac{\omega_{n}^{2}}{2j\omega}\\K_{-\sigma-j\omega}&=\{(s+\sigma+j\omega)G(s)\}_{s=-\sigma-j\omega}=-\frac{\omega_{n}^{2}}{2j\omega}\end{align*}$$ 이므로 $$G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{2j\omega}\left\{\frac{1}{s+\sigma-j\omega}-\frac{1}{s+\sigma+j\omega}\right\}$$ 이다.  

다음은 선형 1, 2계 상미분방정식이다. $$\begin{align*}&\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)\\&\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)\end{align*}$$ 다음의 과정을 거쳐 라플라스 변환을 이용해 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

1. 라플라스 변환표를 이용하여 미분방정식을 라플라스 변환에 의해 $s$에 대한 함수로 변환한다.

2. 변환된 대수방정식으로부터 출력변수(구하고자 하는 해)를 구한다.

3. 변환된 대수방정식에 대해 부분분수 전개를 한다.

4. 라플라스 변환표로부터 역 라플라스 변환을 구한다.

다음의 1계 미분방정식 $$\tau\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=u_{s}(t),\,y(0)=0$$ 에 대해 $\displaystyle y(0)=0,\,\mathcal{L}(u_{s}(t))=\frac{1}{s}$이므로 $\mathcal{L}(y(t))=Y(s)$라고 하면 위의 미분방정식의 라플라스 변환은 $$\tau sY(s)+Y(s)=\frac{1}{s}$$ 이고, $$Y(s)=\frac{1}{s(\tau s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{\tau}{\tau s+1}$$ 이므로 그 해는 다음과 같고, $$y(t)=1-e^{-\frac{t}{\tau}}$$ 여기서 $\tau$는 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{y(t)}=1$의 최종값의 63%에 도달하는데 걸리는 시간이다.

다음의 2계 미분방정식 $$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+34.5\frac{dy(t)}{dt}+1000y(t)=1000u_{s}(t),\,y(0)=0,\,\frac{dy}{dt}_{t=0}=0$$ 에서 $\mathcal{L}(f(t))=Y(s)$라 하고, 라플라스변환을 해서 $Y(s)$에 대해 풀면 다음과 같다. $$Y(s)=\frac{1000}{s(s^{2}+34.5s+1000)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2})}=\frac{K_{0}}{s}+\frac{K_{-\sigma+j\omega}}{s+\sigma-j\omega}+\frac{K_{-\sigma-j\omega}}{s+\sigma+j\omega}$$ 여기서 $\zeta=0.5455,\,\omega_{n}=\sqrt{1000}=31.62$이다. $K_{0},\,K_{-\sigma+j\omega},\,K_{-\sigma-j\omega}$를 구하면 $$\begin{align*}&K_{0}=\{sY(s)\}_{s=0}=1\\&K_{-\sigma+j\omega}=\{(s+\sigma-j\omega)Y(s)\}_{s=-\sigma+j\omega}=\frac{e^{-j\phi}}{2j\sqrt{1-\zeta^{2}}}\\&K_{-\sigma-j\omega}=\{(s+\sigma+j\omega)Y(s)\}_{s=-\sigma-j\omega}=-\frac{e^{-j\omega}}{2j\sqrt{1-\zeta^{2}}}\end{align*}$$ 이고 여기서 $\phi=\pi-\cos^{-1}\zeta$이다. 따라서 $$\begin{align*}y(t)&=1+\frac{1}{2j\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\left\{e^{j(\omega t-\phi)}-e^{-j(\omega t-\phi)}\right\}\\&=1+\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\sin(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}t-\phi)\\&=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\sin(\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}+\cos^{-1}\zeta)\,(t\geq0)\end{align*}$$ 이고 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$y(t)=1-1.193e^{-17.25t}\sin(26.5t+0.9938)\,(t\geq0)$$

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley