[제어공학] 7. 블록선도(1)

[제어공학] 7. 블록선도(1)

블록선도(block diagram) 모델링은 제어공학자가 시스템의 구성요소들의 조합과 결합에 대한 이해를 돕고 전달함수와 함께 시스템 전체의 인과관계를 나타내는데 사용된다. 

다음은 난방시스템에 대한 단순화된 블록선도이다.

희망온도(입력, input)를 설정해서 실내의 온도를 높이기 위한 보일러를 가동시킨다. 실제 실내온도는 출력(output)이고, 온도조절장치에 있는 센서(sensor)로 측정된다. 온도조절장치 내부의 전자회로가 실제의 실내온도와 희망온도를 비교한다(비교기, comparator). 실내온도가 희망온도보다 낮으면 편차(error)전압이 발생되고, 이 편차전압이 가스밸브를 열어 보일러를 가동시킨다(액추에이터, actuator). 창문이나 문을 열면 열손실이 발생해 난방을 방해한다(외란, disturbance). 실내온도는 출력센서에 의해 계속 측정되고, 출력을 측정하고 그 출력을 입력과 비교해 편차신호를 발생시키는 것을 피드백(feedback)이라고 한다. 편차전압에 의해 보일러가 작동하고, 편차가 0이 되면 작동이 중단된다.

대부분의 제어시스템의 구성요소는 다음과 같다.

-비교기, 각 구성요소의 전달함수를 나타내는 블록(기준센서(입력센서), 출력센서, 액추에이터, 제어기, 플랜트(변수를 제어하는 구성요소)), 입력 또는 기준신호, 출력신호, 외란신호, 피드백 루프

다음의 블록선도는 일반적인 제어시스템의 블록선도이다.

하나의 블록은 제어시스템의 한 요소를 나타내며, 각 요소는 하나 이상의 수식으로 모델링된다. 이 수식들은 시간 또는 라플라스 영역으로 표현된다. 

제어시스템의 중요한 구송요소 중 하나는 센싱과 신호비교에 사용되는 전자장치(sensing device, 비교기라고도 한다)이다. 일반적으로 이들 장치는 덧셈, 뺄셈 같은 간단한 수학적 연산을 수행한다. 다음은 비교기의 세 가지 예이다.

(제어시스템의 대표적인 감지장치의 블록선도, 왼쪽: 차, 가운데: 합, 오른쪽: 합과 차)

위의 왼쪽과 가운데에서 합, 차 연산은 선형이므로 이 블록선도 요소의 입력과 출력변수는 시간 또는 라플라스영역의 변수이다. 그러므로 위의 왼쪽 그림의 블록선도는 다음을 의미한다.$$e(t)=r(t)-y(t)\,\text{or}\,E(s)=R(s)-Y(s)$$

위의 그림에서 알 수 있듯이 블록은 시간영역 또는 라플라스영역에서의 시스템의 전달함수를 나타낸다. 라플라스 영역에서 시스템의 입출력 관계는 다음과 같고$$X(s)=G(s)U(s)$$만약 신호 \(X(s)\)가 출력, 신호 \(U(s)\)가 입력을 나타내면 위의 그림에 있는 블록의 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=\frac{X(s)}{U(s)}$$대부분의 제어시스템에서 자주 나타나는 블록요소는 플랜트, 제어기, 액추에이터, 센서이다.   

다음과 같이 직렬로 연결된 두 전달함수 \(G_{1}(s)\), \(G_{2}(s)\)에 대한 블록선도에서

\(X(s)=G_{2}(s)A(s)\), \(A(s)=G_{1}(s)U(s)\)이므로 \(X(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)U(s)\)이고, 따라서 이 시스템의 전체 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)$$다음과 같이 병렬로 연결된 두 전달함수 \(G_{1}(s)\), \(G_{2}(s)\)에 대한 블록선도에서

\(A_{1}=U(s)\), \(A_{2}(s)=G_{1}(s)A_{1}(s)\), \(A_{3}(s)=G_{2}(s)A_{1}(s)\), \(X(s)=A_{2}(s)+A_{3}(s)\)이므로 \(X(s)=(G_{1}(s)+G_{2}(s))U(s)\)이고, 따라서 이 시스템의 전체 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=G_{1}(s)+G_{2}(s)$$다음은 피드백 제어시스템의 기본 블록선도이다.

피드백 제어시스템에서는 제어변수가 피드백되어 기준 입력과 비교되어야 한다. 비교된 후에 오차신호가 발생되어 제어시스템을 구동하게 되고, 오차에 의해 액추에이터가 활성화되어 그 오차를 줄이거나 없앤다. 피드백 제어시스템에서 필요한 구성요소는 출력센서이고 출력신호를 변환해서 기준입력과 같은 단위의 양이 되도록 한다. 피드백시스템을 폐루프시스템이라고도 한다. 위의 그림에 대해 다음의 용어를 정의한다.

\(r(t),\,R(s)\)s는 기준입력(지시), \(y(t),\,Y(s)\)는 출력(제어변수), \(b(t),\,B(s)\)는 피드백신호, \(u(t),\,U(s)\)는 구동신호, \(e(t),\,E(s)\)는 오차신호, \(H(s)\)는 피드백 전달함수, \(G(s)H(s)=L(s)\)는 루프 전달함수, \(G(s)\)는 전방경로 전달함수, \(\displaystyle M(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}\)는 폐루프 전달함수 또는 시스템 전달함수이다.

위의 그림에서 \(Y(s)=G(s)U(s)\)이고, \(B(s)=H(s)Y(s)\)이다. 구동신호는 \(U(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)Y(s)\)이므로$$\begin{align*}Y(s)&=G(s)U(s)\\&=G(s)\{R(s)-B(s)\}\\&=G(s)\{R(s)-H(s)Y(s)\}\\&=G(s)R(s)-G(s)H(s)Y(s)\end{align*}$$이고,$$Y(s)\{1+G(s)H(s)\}=R(s)G(s)$$이므로 폐루프 전달함수는 \(\displaystyle M(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)이다.   

앞의 그림의 피드백시스템은 비교기가 감산을 하므로 음의 피드백루프를 갖는다고 하고, 만약 비교기가 피드백을 더하면 양의 피드백이라고 하고, 이때 폐루프 전달함수는 \(\displaystyle M(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}\)이다. 

\(G\)와 \(H\)가 상수이면, 이것을 이득이라고 하고, \(H=1\)이면, 단위피드백루프라고 하고, \(H=0\)이면, 개루프라고 한다.   

다음의 2차 시스템을$$\ddot{x}(t)+2\zeta\omega_{n}\dot{x}(t)+\omega_{n}^{2}x(t)=\omega_{n}^{2}u(t),\,x(0)=\dot{x}(0)=0$$라플라스 변환하면 다음과 같고$$s^{2}X(s)+2\zeta\omega_{n}sX(s)+\omega_{n}^{2}X(s)=\omega_{n}^{2}U(s)$$이고 이 식은 일정한 제동비 \(\zeta\), 일정한 고유 주파수 \(\omega_{n}\), 입력 \(U(s)\), 출력 \(X(s)\)로 되어있다. 위의 식을 다음과 같이 나타냈을 때$$(*)\,\omega_{n}^{2}U(s)-2\zeta\omega_{n}sX(s)-\omega_{n}^{2}X(s)=s^{2}X(s)$$위 식을 비교기를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

신호 \(2\zeta\omega_{n}sX(s)\)와 \(\omega_{n}^{2}X(s)\)는 신호 \(X(s)\)가 각각 전달함수 \(2\zeta\omega_{n}s\)와 \(\omega_{n}^{2}\)의 블록을 지난 것으로 간주할 수 있고, 신호 \(X(s)\)는 다음의 블록선도처럼 \(s^{2}X(s)\)를 두 번 적분하거나 \(\displaystyle\frac{1}{s^{2}}\)를 곱해서 얻을 수 있다.

위 그림의 오른쪽의 \(X(s)\)가 같으므로 다음과 같이 식 (*)의 블록선도 표현이 가능하다.

  필요하다면 위 그림의 블록선도를 더욱 쪼개서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 오른쪽 그림에서 입력 및 피드백 신호의 \(\omega_{n}^{2}\)의 블록은 비교기의 오른쪽으로 옮겨질 수 있고, 이것은 다음과 같이 \(\omega_{n}^{2}\)에 대해 묶는 것과 같다.$$\omega_{n}^{2}U(s)-\omega_{n}^{2}X(s)=\omega_{n}^{2}\{U(s)-X(s)\}$$다음의 왼쪽 그림은 위 식의 과정을 거쳐 다음의 오른쪽 그림과 같은 단순한 블록선도를 보여준다. 위의 오른쪽 그림과 아래의 오른쪽 그림은 등가시스템이다.

내부 피드백루프는 다음과 같고$$M(s)=\frac{V(s)}{A(s)}=\frac{\frac{1}{s}}{1+\frac{2\zeta\omega_{n}}{s}}=\frac{s}{s+2\zeta\omega_{n}}$$위의 식에 대한 블록선도의 앞뒤에 \(\omega_{n}^{2}\)와 \(\displaystyle\frac{1}{s}\)를 각각 곱하면 블록선도는 다음과 같이 되고

시스템의 전달함수(폐루프 전달함수)는 다음과 같게 된다.$$\frac{X(s)}{U(s)}=\frac{\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta\omega_{n})}}{1+\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta\omega_{n})}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$$만약 이 시스템이 스프링-질량-댐퍼 시스템에 해당된다면 위의 오른쪽 그림에서처럼 내부변수 \(A(s)\)와 \(V(s)\)를 각각 시스템의 가속도와 속도로 나타낼 수 있다(\(\displaystyle\frac{1}{s}\)는 라플라스 영역에서 적분연산이다).

블록선도로 시스템 모델을 나타내는 방법은 다양하다. 시스템의 전체 전달함수가 변하지 않으면 다른 목적으로 다른 형태의 블록선도를 사용할 수 있다. 위의 오른쪽 그림으로부터 \(V(s)\)를 시스템 출력으로 하여 다음의 그림을 얻고, 이것은 입력 \(U(s)\)에 대해 속도신호의 동작을 결정할 수 있게 한다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley