[제어공학] 8. 블록선도(2)

[제어공학] 8. 블록선도(2)

제어시스템의 전달함수는 블록선도를 조작해서 하나의 블록으로 변형시킴으로써 얻어진다. 복잡한 블록선도에 대해서는 비교기와 분기점을 이동시켜서 블록선도를 단순하게 할 필요가 있다. 이때 필요한 두 연산은 다음과 같다.

1. 다음의 그림과 같이 분기점을 \(\mathbf{P}\)에서 \(\mathbf{Q}\)로 옮기는 것이다.

위의 왼쪽 그림에서 다음의 식을 얻고$$\begin{align*}Y(s)&=A(s)G_{2}(s)\\B(s)&=Y(s)H_{1}(s)\end{align*}$$위의 오른쪽 그림에서 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}Y(s)&=A(s)G_{2}(s)\\B(s)&=A(s)H_{1}(s)G_{2}(s)\end{align*}$$그러나$$G_{2}(s)=\frac{Y(s)}{A(s)},\,\Rightarrow\,B(s)Y(s)H_{1}(s)$$이므로 다음의 그림에서처럼 비교기의 이동으로 출력 \(Y(s)\)가 바뀌어서는 안된다.

위의 왼쪽 그림에서$$Y(s)=A(s)G_{2}(s)+B(s)H_{1}(s)$$이고, 위의 오른쪽 그림에서$$\begin{align*}Y_{1}(s)&=A(s)+B(s)\frac{H_{1}(s)}{G_{2}(s)}\\Y(s)&=Y_{1}(s)G_{2}(s)\end{align*}$$$$\begin{align*}Y_{1}(s)&=A(s)+B(s)\frac{H_{1}(s)}{G_{2}(s)}\\Y(s)&=Y_{1}(s)G_{2}(s)\end{align*}$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}Y(s)&=A(s)G_{2}(s)+B(s)\frac{H_{1}(s)}{G_{2}(s)}G_{2}(s)\\&=A(s)G_{2}(s)+B(s)H_{1}(s)\end{align*}$$

위의 시스템에 대한 입출력 전달함수를 구하자. 블록선도가 복잡하기 때문에 \(Y_{1}\)의 분기점을 블록 \(G_{2}\)의 왼쪽으로 다음과 같이 옮긴다.

그런 다음 다음과 같이 블록 \(G_{2},\,G_{3}\)과 \(G_{4}\)를 결합하고 두 개의 피드백 루프를 제거한다.

최종적으로 블록선도는 다음과 같고

최종시스템의 전달함수는 \(\displaystyle\frac{Y(s)}{E(s)}=\frac{G_{1}G_{2}G_{3}+G_{1}G_{4}}{1+G_{1}G_{2}H_{1}+G_{1}G_{2}G_{3}+G_{1}G_{4}}\)이다. 

제어시스템에서 외란은 제어기 및 액추에이터에 부담을 주어 제어시스템의 성능에 악영향을 미친다. 다음의 블록선도는 두 개의 입력을 갖는 블록선도이고

여기서 입력 \(D(s)\)는 외란, \(R(s)\)는 기준입력이다. 시스템의 적절한 제어기를 설계하기 전에 시스템에 대한 \(D(s)\)의 영향을 알아둘 필요가 있다.

선형시스템에 있어서 다중 입력시스템의 전체 응답은 각 입력의 응답의 합이다. 즉$$Y_{\text{total}}=Y_{R}|_{D=0}+Y_{D}|_{R=0}$$\(D(s)=0\)일 때, 블록선도는 다음과 같이 단순화되고 그 전달함수는 \(\displaystyle\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_{1}G_{2}}{1+G_{1}G_{2}H_{1}}\)이다.

\(R(s)=0\)일 때, 블록선도는 다음과 같고, 그 전달함수는 \(\displaystyle\frac{Y(s)}{D(s)}=\frac{-G_{2}}{1+G_{1}G_{2}H_{1}}\)이다.

따라서 이 시스템의 전체 응답은 다음과 같다.$$\begin{align*}Y_{\text{total}}&=Y_{R}|_{D=0}+Y_{D}|_{R=0}\\&=\frac{Y(s)}{R(s)}|_{D=0}R(s)+\frac{Y(s)}{D(s)}|_{R=0}D(s)\\&=\frac{G_{1}G_{2}}{1+G_{1}G_{2}H_{1}}R(s)+\frac{-G_{2}}{1+G_{1}G_{2}H_{1}}D(s)\end{align*}$$여기서 음의 부호는 외란신호가 제어신호를 방해하는 것을 의미하며, 따라서 시스템 성능에 악영향을 미친다. 그러므로 이를 보상하기 위해 제어기에 커다란 부담을 주게 된다. 

여기서 다변수시스템의 블록선도와 행렬표현을 다루겠다. \(p\)개의 입력과 \(q\)개의 출력을 갖는 다변수시스템의 두 가지 블록선도 표현이 다음의 그림이다.

맨 위의 그림에는 각각의 입력과 출력신호가 명시되어 있고, 맨 아래의 그림에는 여러 개의 입력과 출력이 벡터로 표현되어 있고, 더 간단해서 이러한 표현을 많이 사용한다. 

다음의 그림은 다변수 피드백 제어시스템의 블록선도이다.

시스템의 전달함수 관계는 다음과 같이 벡터-행렬의 형태가 된다.$$\mathbf{Y}(s)=\mathbf{G}(s)\mathbf{U},(s)\,\mathbf{U}(s)=\mathbf{R}(s)-\mathbf{B}(s),\,\mathbf{B}(s)=\mathbf{H}(s)\mathbf{Y}(s)$$여기서 \(\mathbf{Y}(s)\)는 \(q\times1\)출력벡터, \(\mathbf{U}(s),\,\mathbf{R}(s),\,\mathbf{B}(s)\)는 모두 \(p\times1\)벡터, \(\mathbf{G}(s)\)와 \(\mathbf{H}(s)\)는 각각 \(q\times p\), \(p\times q\)전달함수행렬이다. 위의 식들로부터 다음의 식을 얻고$$\mathbf{Y}(s)=\mathbf{G}(s)\mathbf{R}(s)-\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s)\mathbf{Y}(s)$$이 식을 \(\mathbf{Y}(s)\)에 대해 풀면 다음과 같다.$$\mathbf{Y}(s)=(\mathbf{I}+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s))^{-1}\mathbf{G}(s)\mathbf{R}(s)$$여기서 \(\mathbf{I}+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s)\)는 정칙(역행렬이 존재)이라고 가정한다. 폐루프 전달행렬은 다음과 같이 정의되고$$\mathbf{M}(s)=(\mathbf{I}+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s))^{-1}\mathbf{G}(s)$$\(\mathbf{Y}(s)=\mathbf{M}(s)\mathbf{R}(s)\)로 나타낼 수 있다. 

앞에서 다룬 다변수 피드백 제어시스템의 블록선도에 대해 전방경로 전달함수 행렬과 피드백 경로 전달함수 행렬이 각각$$\mathbf{G}(s)=\begin{pmatrix}\frac{1}{s+1}&-\frac{1}{s}\\2&\frac{1}{s+2}\end{pmatrix},\,\mathbf{H}(s)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$이면$$1+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s)=\begin{pmatrix}1+\frac{1}{s+1}&-\frac{1}{s}\\-2&1+\frac{1}{s+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{s+2}{s+1}&-\frac{1}{s}\\2&\frac{s+3}{s+2}\end{pmatrix}$$이므로 폐루프 전달행렬은$$\mathbf{M}(s)=(1+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s))^{-1}\mathbf{G}(s)=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}\frac{s+3}{s+2}&\frac{1}{s}\\-2&\frac{s+2}{s+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{s+1}&-\frac{1}{s}\\2&\frac{1}{s+2}\end{pmatrix}$$여기서$$\Delta=\det(\mathbf{I}+\mathbf{G}(s)\mathbf{H}(s))=\frac{s+3}{s+1}\cdot\frac{s+3}{s+2}-2\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{s^{2}+5s+2}{s^{2}+s}$$이고 따라서 폐루프 전달함수는 다음과 같다.$$\mathbf{M}(s)=\frac{s^{2}+s}{s^{2}+5s+2}\begin{pmatrix}\frac{3s^{2}+9s+4}{s^{3}+3s^{2}+2s}&-\frac{1}{s}\\2&\frac{3s+2}{s^{2}+s}\end{pmatrix}$$

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley