[제어공학] 10. 역학시스템의 모델링(1)

[제어공학] 10. 역학시스템의 모델링(1)

역학시스템은 집중 질량시스템(강체) 또는 분산 질량시스템(연속)으로 모델링된다. 강체는 상미분방정식으로, 연속적인 질량시스템은 편미분방정식으로 모델링된다. 

질량은 병진운동의 운동에너지를 저장하는 요소의 성질이다. \(W\)가 물체의 중력이면, 그 물체의 질량 \(M\)은 다음과 같다.$$M=\frac{W}{g}$$여기서 \(g\)는 중력가속도이다.

선형역학시스템의 방정식은 선형요소를 포함하는 시스템의 모델을 구하고, 자유-물체선도(FBD, Free-Body Diagram)에 뉴턴의 운동법칙을 적용해 구한다. 

역학시스템 요소의 운동은 병진, 회전 또는 이 두 가지의 조합으로 이루어져 있고, 역학시스템의 방정식은 뉴턴의 운동법칙으로부터 얻어진다.      

병진운동은 직선 또는 곡선을 따라 일어나는 운동이고, 가속도(acceleration), 속도(velocity), 변위(displacement)를 이용해 병진운동을 설명한다. 

뉴턴의 운동법칙 중 제 2법칙에 따르면 주어진 방향에서 강체에 작용하는 힘의 대수적 합은 물체의 질량과 동일 방향의 가속도의 곱과 같다. 즉$$\sum_{\text{external}}{F}=Ma$$여기서 \(M\)은 물체의 질량, \(a\)는 물체의 가속도이다. 다음의 그림은 힘이 질량이 \(M\)인 물체에 작용하는 것을 나타내고 있다.

힘방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(t)=Ma(t)=M\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}=M\frac{dv(t)}{dt}$$여기서 \(a(t)\)는 가속도, \(v(t)\)는 속도, \(y(t)\)는 변위이다. 

다음은 여러가지 직선운동의 예시들이다. 

-선형스프링: 선형스프링(용수철)은 실제 스프링 또는 케이블이나 벨트의 구성요소의 모델이다. 일반적으로 스프링은 위치에너지를 저장하는 요소로 볼 수 있고, 그 힘은 다음과 같다.$$f(t)=Ky(t)$$여기서 \(K\)는 스프링 상수(또는 뻣뻣한 정도, stiffness)이다. 위 식은 스프링에 작용하는 힘은 그 스프링의 변위(변형)에 비례함을 의미하고, 선형스프링 요소의 모델은 다음과 같다.

만약 스프링에 미리 가해진 장력(인장) \(T\)를 먼저 가했다면, 힘에 대한 방정식은 다음과 같이 수정되어야 한다.$$f(t)-T=Ky(t)$$-병진운동에서의 마찰: 실제로 두 물리적 요소 사이에 움직임이 있을 때 항상 마찰력이 존재한다. 대부분은 비선형적이고, 요인이 다양해서 정확하게 수학적으로 모델링하기 어렵다. 실제 시스템에서 자주 사용되는 마찰에는 점성마찰(viscous friction), 정지마찰(static friction), 쿨롱마찰(Coulomb friction)이 있다.

점성마찰은 물체에 가해진 힘과 속도 사이에 선형관계가 있는 마찰력을 나타낸다. 점성마찰에 대한 모델은 다음과 같고,

점성마찰에 대한 방정식은 다음과 같다.$$f(t)=B\frac{dy(t)}{dt}$$여기서 \(B\)는 점성마찰계수이다.

정지마찰은 물체가 움직이기 시작할 때 이를 방해하려는 마찰력을 나타낸다. 정지마찰력은 다음과 같이 나타낼 수 있고$$f(t)=\pm F_{s}$$이 식은 물체가 정지상태에 있다가 움직이려고 하는 경향을 가질 때만 존재하는 마찰력으로 정의되고, 마차르이 부호는 움직이는 방향이나 속도의 초기방향에 따른다. 운동이 시작되면 정지마찰력은 없어지고 운동마찰력이 작용한다.

쿨롱마찰은 속도의 변화에 대해 일정한 진폭을 가지며 마찰력의 부호가 속도방향의 반대로 되는 마찰력이다. 쿨롱마찰은 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$f(t)=F_{c}\frac{\displaystyle\frac{dy(t)}{dt}}{\displaystyle\left|\frac{dy(t)}{dt}\right|}$$여기서 \(F_{c}\)는 쿨롱마찰계수이다.  

다음의 그래프들은 각각 점성마찰, 정지마찰, 쿨롱마찰의 속도에 대한 그래프를 나타낸 것이다.

다음의 표는 기본적인 병진 기계적 운동의 성질을 SI단위 및 다른 단위와 함께 나타낸 것이다.

다음의 질량-스프링-마찰시스템에서

자유물체선도는 다음과 같고

이 시스템의 힘 방정식은 다음과 같다.$$f(t)-B\frac{dy(y)}{dt}-Ky(t)=M\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}$$위의 힘 방정식을 차수가 높은 미분항에 대한 식으로 나타내면 다음과 같고$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}=-\frac{B}{M}\frac{dy(t)}{dt}-\frac{K}{M}y(t)+\frac{1}{M}f(t)$$이때 \(\displaystyle\dot{y}(t)=\frac{dy(t)}{dt}\), \(\displaystyle\ddot{y}(t)=\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}\)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\ddot{y}(t)+\frac{B}{M}\dot{y}(t)+\frac{K}{M}y(t)=\frac{1}{M}f(t)$$여기서 \(y(t)\)는 출력, \(\displaystyle\frac{f(t)}{M}\)을 입력으로 볼 수 있다. 

초기조건을 0으로 놓고 위의 방정식을 라플라스 변환하면 다음의 식을 얻고$$\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{1}{Ms^{2}+Bs+K}$$다음 그림의 블록선도에 이득공식을 적용하면 같은 결과가 나온다.

또는 \(n\)개의 행을 갖는 상태벡터 \(\mathbf{x(t)}\)를 이용해 다음의 상태방정식으로 나타낼 수 있다.$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bu}$$여기서$$\mathbf{x(t)}=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{u(t)}=\frac{f(t)}{M},\,y(t)=x_{1}(t),\,\dot{y}(t)=x_{2}(t)$$이다. 그러면 앞에서 다루었던 미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac{K}{M}&-\frac{B}{M}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}+\frac{f(t)}{M}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$위의 행렬식을 다음과 같이 1계 미분방정식으로 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}\frac{dx_{1}(t)}{dt}&=x_{2}(t)\\ \frac{dx_{2}(t)}{dt}&=-\frac{K}{M}x_{1}(t)-\frac{B}{M}x_{2}(t)+\frac{1}{M}f(t)\\y(t)&=x_{1}(t)\end{align*}$$초기조건을 0으로 하고 위의 미분방정식을 라플라스변환하면$$\begin{align*}sX_{1}(s)&=X_{2}(s)\\sX_{2}(s)&=-\frac{B}{M}X_{2}(s)-\frac{K}{M}X_{1}(s)+\frac{1}{M}F(s)\\Y(s)&=X_{1}(s)\\ \frac{Y(s)}{F(s)}&=\frac{1}{Ms^{2}+Bs+K}\end{align*}$$위의 라플라스 변환식에 대한 블록선도는 다음과 같다.

만약 초기조건이 0이 아니면 라플라스 변환식은 다음과 같고$$\begin{align*}sX_{1}(s)-x_{1}(0)&=X_{2}(s)\\sX_{2}(s)-x_{2}(0)&=-\frac{B}{M}X_{2}(s)-\frac{K}{M}X_{1}(s)+\frac{1}{M}F(s)\\Y(s)&=X_{1}(s)\end{align*}$$이 라플라스 변환식으로부터 출력은 다음과 같고$$Y(s)=\frac{1}{Ms^{2}+Bs+K}F(s)+\frac{Ms}{Ms^{2}+Bs+K}x_{1}(0)+\frac{M}{Ms^{2}+Bs+K}x_{2}(0)$$블록선도는 다음과 같다.

다음의 시스템에서

자유물체선도는 다음과 같고

이 시스템의 힘 방정식은 다음과 같다.$$f(t)=K\{y_{1}(t)-y_{2}(t)\},\,-K\{y_{2}(t)-y_{1}(t)\}-B\frac{dy_{2}}{dt}=M\frac{d^{2}y_{2}(t)}{dt^{2}}$$앞에서 얻은 힘 방정식을 다음과 같이 입출력 형태로 나타내면$$\frac{d^{2}y_{2}(t)}{dt^{2}}+\frac{B}{M}\frac{dy_{2(t)}}{dt}+\frac{K}{M}y_{2}(t)=\frac{K}{M}y_{1}(t)$$이고 초기조건을 0으로 해서 라플라스 변환하면 다음의 전달함수를 얻고$$\frac{Y_{2}(s)}{Y_{1}(s)}=\frac{K}{Ms^{2}+Bs+K}$$그 신호흐름선도와 블록선도는 다음과 같다.

상태변수를 \(x_{1}(t)=y_{2}(t)\), \(\displaystyle x_{2}(t)=\frac{dy_{2}(t)}{dt}\)로 정의하면 상태방정식은 다음과 같고$$\begin{align*}\frac{dx_{1}(t)}{dt}&=x_{2}(t)\\ \frac{dx_{2}(t)}{dt}&=-\frac{B}{M}x_{2}(t)+\frac{1}{M}f(t)\end{align*}$$그 블록선도는 다음과 같다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley