[제어공학] 11. 역학시스템의 모델링(2)

[제어공학] 11. 역학시스템의 모델링(2)

물체의 회전운동은 고정축 둘레의 운동으로 볼 수 있고, 회전운동에 관한 뉴턴의 운동법칙은 한 고정축에 대한 모멘트나 토크의 대수적 합이 그 축에 대한 관성모멘트와 각가속도의 곱과 같다고 한다. 즉$$\sum{T}=J\alpha$$여기서 \(T\)는 토크, \(J\)는 관성모멘트, \(\alpha\)는 각가속도이다. 회전운동을 설명하는데 일반적으로 사용되는 변수로 토크 \(T\), 각속도 \(\omega\), 각변위 \(\theta\)가 있다. 

다음은 회전운동에 포함되는 요소들이다.

-관성능률: 관성능률 \(J\)는 회전운동의 운동에너지를 저장하는 요소로 보면 된다. 주어진 요소의 관성모멘트은 회전축과 그 밀도에 관한 조성에 의해 결정된다. 예를들어 질량이 \(M\)이고 반지름이 \(r\)인 원판의 관성모멘트는 \(\displaystyle J=\frac{1}{2}Mr^{2}\)이다. 

토크 \(T\)가 다음의 그림에서처럼 관성모멘트가 \(J\)인 물체에 인가될 때

토크방정식은 다음과 같다.$$T(t)=J\alpha(t)=J\frac{d\omega(t)}{dt}=J\frac{d^{2}\omega(t)}{dt^{2}}$$여기서 \(\theta(t)\)는 각변위, \(\omega(t)\)는 각속도, \(\alpha(t)\)는 각가속도이다. 

-비틀림스프링: 병진운동에서의 선형스프링처럼 단위 각변위당 토크인 비틀림스프링 상수 \(K\)는 토크가 인가되었을 때 막대 또는 축의 구성요소를 나타내기 위해 정의된 것이다. 다음 그림은 간단한 토크-스프링 시스템이고

이 시스템에 대한 토크방정식은 다음과 같다.$$T(t)=K\theta(t)$$만약 비틀림스프링에 사전부하 \(TP\)가 부하되면 토크방정식은 다음과 같이 바뀐다.$$T(t)-TP=K\theta(t)$$-회전운동에서의 마찰: 병진운동에서 다루었던 세 가지 마찰이 회전운동에도 적용할 수 있다. 

점성마찰은 \(\displaystyle T(t)=B\frac{d\theta(t)}{dt}\), 정지마찰은 \(T(t)=\pm F_{s}\), 쿨롱마찰은 다음과 같다.$$T(t)=F_{c}\frac{\displaystyle\frac{d\theta(t)}{dt}}{\displaystyle\left|\frac{d\theta(t)}{dt}\right|}$$다음의 표는 기본적인 회전 기계적 운동의 성질을 SI단위와 다른 단위로 나타낸 것이다.

다음의 회전시스템은 한 끝이 고정된 축 위에 설치된 원판으로 구성되어있다.

회전축에 대한 원판의 관성능률은 \(J\), 그 원판의 모서리는 표면에 접촉되어있고, 그 두 표면의 점성마찰계수는 \(B\), 비틀림 스프링상수는 \(K\), 축의 관성모멘트는 무시한다.

위의 회전시스템에 토크가 원판에 인가되면 다음의 자유물체선도로부터

다음과 같다.$$T(t)=J\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+B\frac{d\theta(t)}{dt}+K\theta(t)$$이 시스템은 다음 그림의 질량-스프링-마찰시스템과 유사하다.

상태방정식은 \(x_{1}(t)=\theta(t)\), \(\displaystyle x_{2}(t)=\frac{dx_{1}(t)}{dt}\)로서 상태변수를 정의해서 쓴다.

다음의 그림은 스프링상수 \(K\)를 갖는 축을 거쳐 관성모멘트가 있는 부하에 결합된 전동기의 선도이다.

이 시스템에서 변수와 파라미터는 다음과 같이 정의된다.

\(T_{m}(t)\)는 전동기의 토크, \(B_{m}\)은 전동기의 점성마찰계수, \(K\)는 축의 스프링상수, \(\theta_{m}(t)\)는 전동기의 변위, \(\omega_{m}(t)\)는 전동기의 속도, \(J\)는 전동기의 관성모멘트, \(\theta_{L}(t)\)는 부하의 변위, \(\theta_{L}(t)\)는 부하의 속도, \(J_{L}\)은 부하의 관성모멘트이다.

다음은 위 전동기의 시스템에 대한 자유물체선도이고

이 시스템의 토크방정식은 다음과 같다.$$\begin{align*}\frac{d^{2}\theta_{m}(t)}{dt^{2}}&=-\frac{B_{m}}{J_{m}}\frac{d\theta_{m}(t)}{dt}-\frac{K}{J_{m}}\{\theta_{m}(t)-\theta_{L}(t)\}+\frac{1}{J_{m}}T_{m}(t)\\K\{\theta_{m}(t)-\theta_{L}(t)\}&=J_{L}\frac{d^{2}\theta_{L}(t)}{dt^{2}}\end{align*}$$이 시스템은 세 개의 에너지 저장요소 \(J_{m},\,J_{L},\,K\)를 포함한다. 이때 상태변수는 \(x_{1}(t)=\theta_{m}(t)-\theta_{L}(t)\), \(\displaystyle x_{2}(t)=\frac{d\theta_{L}(t)}{dt}\), \(\displaystyle x_{3}(t)=\frac{d\theta_{m}(t)}{dt}\)로 정의되고 상태방정식은 다음과 같으며$$\begin{align*}\frac{dx_{1}}{dt}&=x_{3}(t)-x_{2}(t)\\ \frac{dx_{2}(t)}{dt}&=\frac{K}{J_{L}}x_{1}(t)\\ \frac{dx_{3}(t)}{dt}&=-\frac{K}{J_{m}}x_{1}(t)-\frac{B_{m}}{J_{m}}x_{3}(t)+\frac{1}{J_{m}}T_{m}(t)\end{align*}$$다음은 이 시스템에 대한 신호흐름선도이다.

회전운동을 병진운동으로 변환시킬 필요가 있는 경우가 있다.

위의 왼쪽 그림처럼 한 부하가 회전전동기 및 스크루 조합체를 거쳐 직선에 따라 움직이도록 제어되는 경우가 있고, 위의 가운데 그림에서 래크와 피니언(톱니가 달린 축)이 기계적 연동체로서 사용되어 비슷한 상황을 보인다. 위의 그림의 모든 시스템들은 모두 구동전동기에 직접 연결된 등가 관성모멘트를 가지는 단순한 시스템으로 나타낼 수 있다.

위의 오른쪽 그림에서 질량은 도르래 주변을 움직이는 질점으로 볼 수 있고, 도르래의 반지름은 \(r\)이다. 도르래의 관성모멘트를 무시하면 전동기에 대한 등가 관성모멘트는 \(\displaystyle J=Mr^{2}=\frac{W}{g}r^{2}\)이고, 위의 가운데 그림에서 피니언의 반지름이 \(r\)일 때 전동기에 대한 등가 관성모멘트도 위의 오른쪽 그림과 같다. 이 것은 위의 가운데 그림과 오른쪽 그림의 시스템이 등가임을 뜻한다.

위의 왼쪽 그림에서 스크루의 리드 \(L\)은 스크루의 회전당 이동하는 질점의 직선거리이고, 위의 가운데 그림에서 피니언의 회전당 질점의 이동거리는 \(2\pi r\)이다. 그러면 위의 왼쪽 그림의 시스템에 대한 등가 관성모멘트를 \(\displaystyle J=\frac{W}{g}\left(\frac{L}{2\pi}\right)^{2}\)로 나타낼 수 있다.  

톱니열(치차(齒車)열), 지레 및 타이밍 벨트는 시스템의 한 부분에서 다른 부분으로 에너지를 전달하는 기계적 장치이다. 다음의 그림은 두 톱니가 맞물려 있는 것을 나타낸 것이다.

이상적인 톱니의 관성모멘트와 마찰은 없다고 가정한다. 

토크 \(T_{1},\,T_{2}\)와 각변위 \(\theta_{1},\,\theta_{2}\), 톱니열의 톱니 수 \(N_{1},\,N_{2}\)사이의 상호관계는 다음의 사실로부터 얻어진다.

1. 톱니표면 위에 있는 톱니의 수는 그 톱니의 반지름 \(r_{1}\)과 \(r_{2}\)에 비례한다(\(r_{1}N_{2}=r_{2}N_{1}\)). 즉$$\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}$$2. 각 톱니의 둘레에 따라 이동한 거리는 같다. 즉$$\theta_{1}r_{1}=\theta_{2}r_{2}$$3. 역학적 에너지의 손실이 없다고 가정하면 한 톱니가 한 일은 다른 톱니가 한 일과 같다. 즉$$T_{1}\theta_{1}=T_{2}\theta_{2}$$두 톱니의 각속도 \(\omega_{1},\,\omega_{2}\)까지 고려하면 앞에서의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있다.$$\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{\theta_{2}}{\theta_{1}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}$$실제로 톱니는 결합된 톱니의 사이에 무시할 수 없는 관성모멘트와 마찰이 존재한다. 다음은 점성마찰, 쿨롱마찰, 관성모멘트를 갖는 톱니열의 등가표현이다.

여기서 \(T\)는 인가된 토크, \(T_{1},\,T_{2}\)는 전달된 토크, \(F_{c1},\,F_{c2}\)는 쿨롱마찰계수, \(B_{1},\,B_{2}\)는 점성마찰계수이다. 다음은 톱니 2에 대한 토크방정식이고$$T_{2}(t)=J_{2}\frac{d^{2}\theta_{2}(t)}{dt^{2}}+B_{2}\frac{d\theta_{2}(t)}{dt}+F_{c2}\frac{\omega_{2}}{|\omega_{2}|}$$톱니 1에서의 토크방정식은 다음과 같다.$$T(t)=J_{1}\frac{d^{2}\theta_{1}(t)}{dt^{2}}+B_{1}\frac{d\theta_{1}(t)}{dt}+F_{c1}\frac{\omega_{1}}{|\omega_{1}|}+T_{1}(t)$$앞에서 두 톱니에 대한 관계식으로부터 다음의 식을 얻는다.$$T_{1}(t)=\frac{N_{1}}{N_{2}}T_{2}(t)=\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}J_{2}\frac{d^{2}\theta_{1}(t)}{dt^{2}}+\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}B_{2}\frac{d\theta_{1}(t)}{dt}+\frac{N_{1}}{N_{2}}F_{c2}\frac{\omega_{2}}{|\omega_{2}|}$$위의 식은 관성모멘트, 마찰, 토크, 속도 및 변위를 톱니의 한 쪽에서 다른 쪽으로 반영하는 것이 가능하다는 것을 보여준다. 다음의 양들은 톱니 2에서 톱니 1로 반영될 때 얻어진다.

관성모멘트는 \(\displaystyle\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}J_{2}\), 점성마찰계수는 \(\displaystyle\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}B_{2}\), 토크는 \(\displaystyle\frac{N_{1}}{N_{2}}T_{2}\), 각변위는 \(\displaystyle\frac{N_{1}}{N_{2}}\theta_{2}\), 각속도는 \(\displaystyle\frac{N_{1}}{N_{2}}\omega_{2}\), 쿨롱마찰토크는 \(\displaystyle\frac{N_{1}}{N_{2}}F_{c2}\frac{\omega_{2}}{|\omega_{2}|}\)이다. 

마찬가지로 위의 식에서 첨자를 바꾸면 톱니 1에서 톱니 2로의 파라미터 변수들을 반영할 수 있다. 위의 토크방정식을 다음과 같이 정리할 수 있고$$T(t)=J_{1e}\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+B_{1e}\frac{d\theta_{1}(t)}{dt}+T_{F}$$여기서$$J_{1e}=J_{1}+\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}J_{2},\,B_{1e}=B_{1}+\left(\frac{N_{1}}{N_{2}}\right)^{2}B_{2},\,T_{F}=F_{c1}\frac{\omega_{1}}{|\omega_{1}|}+\frac{N_{1}}{N_{2}}F_{c2}\frac{\omega_{2}}{|\omega_{2}|}$$이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley