[제어공학] 12. 전기회로의 모델링

[제어공학] 12. 전기회로의 모델링

다음의 그림은 기본적인 수동 전기소자인 저항, 인덕터, 커패시터이다.

-저항 \(R\) 양단의 전압강하 \(e_{R}(t)\)는 저항에 흐르는 전류 \(i(t)\)에 비례한다. 즉$$e_{R}(t)=Ri(t)$$-인덕터 \(L\) 양단의 전압강하 \(e_{L}(t)\)는 인덕터에 흐르는 전류 \(i(t)\)의 시간에 따른 변화에 비례한다. 즉$$e_{L}(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$-커패시터 \(C\) 양단의 전압강하 \(e_{C}(t)\)는 커패시터에 흐르는 전류 \(i(t)\)의 적분에 비례한다. 즉$$e_{c}(t)=\frac{1}{C}\int{i(t)dt}$$전기회로의 해석은 다음의 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙을 이용한다.

-전류법칙(루프법): 어느 노드에 들어오는 전류의 합은 0이다.

-전압법칙(노드법): 폐루프를 따라 모든 전압강하의 합은 0이다.

다음의 RLC회로에서

키르히흐프의 전압법칙으로부터 \(e(t)=e_{R}(t)+e_{L}(t)+e_{C}(t)\)이고, 여기서 \(e_{R}(t)\)는 저항 \(R\) 양단의 전압, \(e_{L}(t)\)는 인덕터 \(L\) 양단의 전압, \(e_{C}\)는 커패시터 \(C\) 양단의 전압이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$e(t)=L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{i(t)dt}$$위의 미분방정식을 \(t\)에 대해 미분하면 다음과 같고$$L\frac{d^{2}i(t)}{dt^{2}}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=\frac{de(t)}{dt}$$인덕터 \(L\)에 흐르는 전류 \(i(t)\)와 커패시터 \(C\) 양단의 전압 \(e_{C}(t)\)를 상태변수로 지정하는데 상태변수가 시스템의 에너지 저장요소와 직접적인 관련이 있기 때문이다. 인덕터는 전기운동에너지의 저장고이고, 커패시터는 전기위치에너지의 저장고이다.

위의 RLC회로에서 \(C\)에 흐르는 전류와 \(L\)에 걸리는 전압을 인가전압 \(e(t)\)의 항들로 식을 만들어 표현하자. 벡터 형식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{pmatrix}\frac{de_{C}(t)}{dt}\\ \frac{di(t)}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{C}\\-\frac{1}{L}&-\frac{R}{L}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e_{c}(t)\\i(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{L}\end{pmatrix}e(t)$$상태방정식의 형태로 나타내기 위해 \(x_{1}(t)=e_{C}(t)\), \(x_{2}(t)=i(t)\)라고 하면$$\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{C}\\-\frac{1}{L}&-\frac{R}{L}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ \frac{1}{L}\end{pmatrix}e(t)$$이고, 다음은 이 RLC회로에 대한 신호흐름선도와 블록선도이다.

모든 초기조건을 0이라고 하면, 이 시스템의 전달함수는 다음과 같다.$$\begin{align*}\frac{E_{C}(s)}{E(s)}&=\frac{\frac{1}{LC}s^{2}}{1+\frac{R}{Ls}+\frac{1}{LCs^{2}}}=\frac{1}{1+RCs+LCs^{2}}\\ \frac{I(s)}{E(s)}&=\frac{\frac{1}{Ls}}{1+\frac{R}{Ls}+\frac{1}{LCs^{2}}}=\frac{Cs}{1+RCs+LCs^{2}}\end{align*}$$다음의 회로에서

인덕터에 흐르는 전류 \(i_{1}(t)\), \(i_{2}(t)\)와 커패시터에 걸리는 전압 \(e_{C}(t)\)를 순서대로 상태변수 \(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\)으로 지정하자. 그러면 상태방정식은 다음과 같고$$\begin{align*}L_{1}\frac{di_{1}(t)}{dt}&=-R_{1}i_{1}(t)-e_{C}(t)+e(t)\\L_{2}\frac{di_{2}(t)}{dt}&=-R_{2}i_{2}(t)+e_{C}(t)\\C\frac{de_{C}(t)}{dt}&=i_{1}(t)-i_{2}(t)\end{align*}$$벡터 형식으로 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{R_{1}}{L_{1}}&0&-\frac{1}{L_{1}}\\0&-\frac{R_{2}}{L_{2}}&\frac{1}{L_{2}}\\ \frac{1}{C}&-\frac{1}{C}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{L_{1}}\\0\\0\end{pmatrix}e(t)$$초기상태를 고려하지 않을 때(0이라고 할 때) 신호흐름선도는 다음과 같고

전달함수는 다음과 같다.$$\frac{I_{1}(s)}{E(s)}=\frac{L_{2}Cs^{2}+R_{2}Cs+1}{\Delta},\,\frac{I_{2}(s)}{E(s)}=\frac{1}{\Delta},\,\frac{E_{C}(s)}{E(s)}=\frac{L_{2}s+R_{2}}{\Delta}$$여기서$$\Delta=L_{1}L_{2}Cs^{3}+(R_{1}L_{2}+R_{2}L_{1})Cs^{2}+(L_{1}+L_{2}+R_{1}R_{2}C)s+R_{1}+R_{2}$$이다.

다음의 RC회로에서

키르히호프 전압법칙에 의해 \(e_{\text{in}}(t)=e_{R}(t)+e_{C}(t)\)이고,$$e_{R}(t)=Ri(t),\,e_{o}(t)=e_{C}(t)=\frac{1}{C}\int{i(t)dt}$$이므로 다음이 성립하고$$e_{\text{in}}(t)=RC\dot{e}_{o}(t)+e_{o}(t)$$초기조건이 모두 0일 때 라플라스 영역에서 시스템 전달함수는$$\frac{E_{0}(s)}{E_{\text{in}}(s)}=\frac{1}{RCs+1}$$이다. 여기서 \(\tau=RC\)는 시스템의 시상수이다.

다음의 RC회로에서

키르히호프 전압법칙에 의해 \(e_{\text{in}}(t)=e_{C}(t)+e_{R}(t)\)이고$$e_{\text{in}}(t)=\frac{1}{C}\int{i(t)dt}+Ri(t)$$\(e_{0}(t)=e_{R}(t)=Ri(t)\)이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$e_{\text{in}}(t)=\frac{1}{RC}\int{e_{o}(t)dt}+e_{o}(t)$$위의 미분방정식의 한 번 미분하면 다음과 같고$$\dot{e}_{\text{in}}(t)=\frac{1}{RC}e_{o}(t)+\dot{e}_{o}(t)$$초기조건이 모두 0일 때 라플라스 영역에서 시스템 전달함수는$$\frac{E_{o}(s)}{E_{\text{in}}(s)}=\frac{RCs}{RCs+1}$$이며, 여기서 \(\tau=RC\)는 시상수이다. 

다음의 전압분배기 회로에서

저항의 전류는 \(\displaystyle i_{1}(t)=\frac{e_{o}(t)-e_{1}(t)}{R_{1}}\,i_{2}=\frac{e_{1}(t)}{R_{2}}\), \(e_{1}(t)\)마디의 노드방정식은 \(i_{1}(t)-i_{2}(t)=0\)이므로$$\frac{e_{o}(t)-e_{1}(t)}{R_{1}}-\frac{e_{1}(t)}{R_{2}}=0$$이고 식을 정리하면 다음의 전압분배기 식을 얻는다.$$e_{1}(t)=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}e_{o}(t)$$초기조건이 모두 0일 때 라플라스 영역 에서 시스템 전달함수는 다음과 같다.$$E_{1}(s)=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E_{o}(s)$$전기시스템의 단위는 SI를 비롯한 다른 단위계에서도 동일하다.

 연산증폭기는 s-(라플라스)영역 전달함수를 제작, 설치 또는 실현하는데 편리한 방법을 제공한다. 다음의 그림은 연산증폭기의 회로기호이고

이상적인 연산증폭기의 성질은 다음과 같다.

1. +와 -단자 사이의 전압은 0이다. 즉 \(e^{+}=e^{-}\)

2. +와 -입력단자로 들어가는 전류는 0이다. 즉 입력 임피던스는 무한대이다.

3. 출력단자에서 바라본 임피던스는 0이다. 즉 출력은 이상적인 전압원이다.

4. 입력-출력 관계는 \(e_{o}=A(e^{+}-e^{-})\)이고 여기서 이득 \(A\)는 무한대이다.

많은 연산증폭기 입력-출력 관계가 위의 네 가지 성질로부터 결정된다. 실제로 연산증폭기는 위의 그림처럼 사용되지 않고, 출력신호를 (-)입력단자로 피드백함으로써 선형동작이 가능해진다. 

위의 연산증폭기 회로에서 왼쪽 회로의 입력-출력 관계는 \(e_{o}=-(e_{a}+e_{b})\), 가운데 회로의 입력-출력 관계는 \(e_{o}=e_{a}+e_{b}\), 오른쪽 회로의 입력-출력 관계는 \(e_{o}=e_{b}-e_{a}\)이다. 이 회로들의 입력-출력 관계는 모두 이상적인 연산증폭기의 성질로부터 얻어진 것이다.  

연산증폭기는 신호를 더하고 빼는 기능 뿐만 아니라 연속시스템의 전달함수를 구현하는데 사용된다. 다음의 회로는 반전 연산증폭기 회로이다.

위의 그림에서 \(Z_{1}(s)\)와 \(Z_{2}(s)\)는 저항과 커패시터로 구성된 임피던스인데 인덕터는 부피가 크고 비싸기 때문에 잘 사용하지 않는다. 이상적인 연산증폭기의 성질로부터 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E_{i}(s)}=-\frac{Z_{2}(s)}{Z_{1}(s)}=-\frac{Y_{1}(s)}{Y_{2}(s)}$$여기서 \(\displaystyle Y_{1}(s)=\frac{1}{Z_{1}(s)},\,Y_{2}(s)=\frac{1}{Z_{2}(s)}\)는 임피던스의 역수인 어드미턴스이다.

반전 연산증폭기 회로와 \(Z_{1}(s)\), \(Z_{2}(s)\)의 구성요소로서의 저항과 커패시터를 사용하면, 다음의 표와 같이 \(s\)평면의 원점과 음의 실수축에 있는 극점과 영점을 구현하는 것이 가능하다.

다음의 전달함수에서$$G(s)=K_{P}+\frac{K_{I}}{s}+K_{D}s$$\(K_{P},\,K_{I},\,K_{D}\)는 실수 상수이다. 이 전달함수는 "PID제어기"라고 불리고, 첫 번째항은 비례항, 두 번째 항은 적분항, 세 번째 항은 미분항이다. 위의 표에서 비례이득은 (a), 미분이득은 (b), 적분이득은 (c)로부터 실현될 수 있다. 중첩의 원리로부터 \(G(s)\)의 출력은 \(G(s)\)의 각 항의 응답의 합이고, 다음과 같이 PID제어기를 연산증폭기를 이용한 회로로 나타낼 수 있다.

위의 회로에서 왼쪽 부분의 전달함수는 각각 다음과 같다.

비례이득은 \(\displaystyle\frac{E_{P}(s)}{E(s)}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\), 적분이득은 \(\displaystyle\frac{E_{I}(s)}{E(s)}=-\frac{1}{R_{i}C_{i}s}\), 미분이득은 \(\displaystyle\frac{E_{D}(s)}{E(s)}=-R_{d}C_{d}s\)이다.

출력전압은 \(E_{o}(s)=-\{E_{P}(s)+E_{I}(s)+E_{D}(s)\}\)이고 따라서 PID제어기의 전달함수는 다음과 같다.$$G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E(s)}=\frac{R_{2}}{R_{1}}+\frac{1}{R_{i}C_{i}s}+R_{d}C_{d}s$$연산증폭기의 저항과 커패시터의 값을 \(K_{P},\,K_{I},\,K_{D}\)의 값이 되도록 조정하면 설계가 완성되고, 설계할 때는 주어진 표준 커패시터와 표준 저항을 이용해야 한다는 점에 유의한다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley