[제어공학] 14. 비선형시스템의 선형화, 유사성

[제어공학] 14. 비선형시스템의 선형화, 유사성

실제로 대부분의 부품이나 동작기는 비선형적 특성을 갖는다. 실제로 어떤 장치는 약간의 비선형적 특성을 갖거나 그 장치가 어떤 동작범위 내에서 구동될 때 비선형 특성이 일어난다. 선형화 모델은 제한된 동작범위에서만 성립되며 때에 따라 선형화가 수행된 동작점에서만 성립된다.   

일반적으로 테일러급수는 비선형함수 \(f(x(t))\)를 기준 값 또는 동작점 \(x_{0}(t)\)근방에서 전개하는데 사용된다. 동작점은 스프링-질량-댐퍼 시스템의 평형위치, 전기시스템의 일정한 전압, 유체시스템의 정상상태 압력 등이 될 수 있다. 그러므로 함수 \(f(x(t))\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(x(t))=\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(x_{0})}{i!}\{x(t)-x_{0}(t)\}^{i}}$$위의 급수를 전개하면 다음과 같고$$\begin{align*}f(x(t))&=f(x_{0}(t))+f'(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}+\frac{1}{2}f''(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}^{2}\\&+\frac{1}{6}f^{(3)}(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\{x(t)-x_{0}(t)\}^{2}\end{align*}$$만약 \(\Delta x=x(t)-x_{0}(t)\)가 작으면 위의 급수는 수렴하고, 위 급수의 처음 두 항을 이용해 다음과 같이 선형화를 할 수 있다.$$\begin{align*}f(x(t))&\approx f(x_{0}(t))+f'(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}\\&=c_{0}+c_{1}\Delta x\end{align*}$$비선형방정식을 다음과 같이 벡터로 나타내자.$$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\,\mathbf{r}(t))$$여기서 \(\mathbf{x}(t)\)는 \(n\times1\)상태벡터, \(\mathbf{r}(t)\)는 \(p\times1\)입력벡터, \(\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\,\mathbf{r}(t))\)는 \(n\times1\)함수벡터이다. 

비선형시스템은 해석과 설계가 어렵기 때문에 선형화가 가능한 상황에서 선형화를 하는것이 좋다. 

공칭동작궤적(nominal operating trajectory)을 \(\mathbf{x}_{0}(t)\) 라 하자. 이 \(\mathbf{x}_{0}(t)\)는 공칭입력 \(\mathbf{r}_{0}(t)\)와 주어진 초기상태에 대응한다. 비선형상태방정식 \(\displaystyle\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}\)을 \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_{0}(t)\)에 대해 테일러급수로 전개하고 모든 고차항을 무시하면 다음의 식을 얻는다.$$\dot{x}_{i}(t)=f_{i}(\mathbf{x}_{0},\,\mathbf{r}_{0})+\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial x_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}(x_{j}-x_{0j})}+\sum_{j=1}^{p}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial r_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}(r_{j}-r_{0j})}$$여기서 \(i=1,\,...,\,n\)이고 다음과 같다고 하자.$$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{0i},\,\Delta r_{j}=r_{j}-r_{0j}$$그러면 \(\Delta\dot{x}_{i}=\dot{x}_{i}-\dot{x}_{0i}\)이고 \(\dot{x}_{0i}=f_{i}(\mathbf{x}_{0},\,\mathbf{r}_{0})\)이므로$$\Delta\dot{x}_{i}=\sum_{j=1}^{n}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial x_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}\Delta x_{j}}+\sum_{j=1}^{p}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial r_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}\Delta r_{j}}$$이고, 위의 식을 다음과 같이 벡터 형식으로 나타낼 수 있다.$$\Delta\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}^{*}\Delta\mathbf{x}+\mathbf{B}^{*}\Delta\mathbf{r}$$여기서 \(\mathbf{A}^{*},\,\mathbf{B}^{*}\)는 다음과 같다.

다음의 그림은 질량이 \(m\)이고 질량이 없는 길이 \(\ell\)의 막대로 이루어진 단진자이다.

위의 오른쪽 그림은 왼쪽 그림의 단진자의 운동에 대한 자유물체도이다. 운동방정식은 다음과 같고$$\sum{F_{x}}=ma_{x},\,\sum{F_{y}}=ma_{y}$$변위를 \(\mathbf{x}=(\ell\cos\theta,\,\ell\sin\theta)\)라고 하면 속도와 가속도는 다음과 같다.$$\begin{align*}\mathbf{v}&=(-\ell\dot{\theta}\sin\theta,\,\ell\dot{\theta}\cos\theta)\\ \mathbf{a}&=(-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta,\,\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta)\end{align*}$$그러면$$a_{x}=-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta,\,a_{y}=\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta$$이고 질량에 가해진 외부의 힘을 고려하면$$\sum{F_{x}}=-F_{T}\cos\theta+mg,\,\sum{F_{y}}=-F_{T}\sin\theta$$이므로 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}(1)\,-F_{T}\cos\theta+mg&=m\left(-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)\\(2)\,-F_{T}\sin\theta&=m\left(\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)\end{align*}$$식 (1)에 \((-\sin\theta)\)를 곱하고 식 (2)에 \(\cos\theta\)를 곱해서 위 두 식들을 더하면 다음의 식을 얻고$$-mg\sin\theta=m\ell\ddot{\theta}$$다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$$정적 평형위치 \(\theta=0\)을 동작점으로 하고 \(\theta\)가 작을 때 근사식 \(\theta\approx\sin\theta\)를 사용할 수 있으므로 다음과 같이 선형적으로 나타낼 수 있다.$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta=0$$상태공간에서 \(x_{1}=\theta\), \(\displaystyle x_{2}=\frac{d\theta}{dt}\)를 상태변수로 정의하면, 다음과 같이 상태공간으로 나타낼 수 있고$$\dot{x}_{1}=x_{2},\,\dot{x}_{2}=-\frac{g}{\ell}\sin x_{1}$$이다. 정적 평형위치(\(\theta=0\)이므로 \(\mathbf{r}(t)=0\))에서 선형근사를 하면$$\begin{align*}\Delta\dot{x}_{1}(t)=\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{2}}\Delta x_{2}(t)=\Delta x_{2}(t),\,\Delta\dot{x}_{2}(t)=\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial x_{1}(t)}\Delta x_{1}(t)=-\frac{g}{\ell}\Delta x_{1}(t)\end{align*}$$이고 \(\Delta x_{1}(t),\,\Delta x_{2}(t)\)는 각각 \(x_{1}(t)\)와 \(x_{2}(t)\)의 미소변위이다. 앞의 두 방정식은 선형이고, 작은 신호에 대해서만 성립한다. 다음과 같이 벡터 형식으로 나타낼 수 있고$$\begin{pmatrix}\Delta\dot{x}_{1}(t)\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ \frac{g}{\ell}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x_{1}(t)\\ \Delta x_{2}(t)\end{pmatrix}$$다음의 비선형시스템에서$$\begin{align*}\dot{x}_{1}(t)&=-\frac{1}{\{x_{2}(t)\}^{2}}\\ \dot{x}_{2}(t)&=u(t)x_{1}(t)\end{align*}$$\(x_{1}(0)=x_{2}(0)=1\)의 초기조건과 \(u(t)=0\)일 때 이 식들의 해가 되는 공칭궤적 \((x_{01}(t),\,x_{02}(t))\)에 대해 선형화하도록 한다. 

\(u(t)=0\), \(x_{2}(0)=1\)이므로 \(x_{2}(t)=1\), \(\dot{x}_{1}(t)=-1\)이고 \(x_{1}(0)=1\)이므로 \(\displaystyle x_{1}(t)=\int{\dot{x}_{1}(t)dt}=-t+1\)이다. 그러면 이 시스템에 대한 공칭궤적은 다음과 같고$$x_{01}(t)=-t+1,\,x_{02}(t)=1$$테일러 전개를 위한 계수는 다음과 같다.$$\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{1}(t)}=0,\,\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{2}(t)}=\frac{2}{\{x_{2}(t)\}^{3}}=2,\,\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial x_{1}(t)}=u(t)=0,\,\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial u(t)}=x_{1}(t)=1$$그러면$$\begin{align*}\Delta\dot{x}_{1}(t)&=\frac{2}{\{x_{02}(t)\}^{3}}\Delta x_{2}(t)(=2\Delta x_{2}(t))\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)&=u_{0}(t)\Delta x_{1}(t)+x_{01}(t)\Delta u(t)\end{align*}$$이고, 다음의 선형화방정식을 얻는다.$$\begin{pmatrix}\Delta\dot{x}_{1}(t)\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x_{1}(t)\\ \Delta x_{2}(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ 1-t\end{pmatrix}\Delta u(t)$$다음의 그림은 자석-구-현수(magnetic-ball-suspension) 시스템이다.

이 시스템의 목적은 입력전압 \(e(t)\)로 전자석에서의 전류를 조정해 강철 구의 위치를 제어하는 것이다. 이 시스템의 미분방정식은 다음과 같고$$M\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}=Mg-\frac{\{i(t)\}^{2}}{y(t)},\,e(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}$$여기서 \(e(t)\)는 입력전압, \(y(t)\)는 구의 위치, \(i(t)\)는 권선전류, \(R\)은 권선저항, \(L\)은 권선인덕턴스, \(M\)은 구의 질량, \(g\)는 중력가속도이다.

상태변수를 \(x_{1}(t)=y(t)\), \(\displaystyle x_{2}(t)=\frac{dy(t)}{dt}\), \(x_{3}(t)=i(t)\)라 하면 이 시스템의 상태방정식은 다음과 같다.$$\begin{align*}\frac{dx_{1}(t)}{dt}&=x_{2}(t)\\ \frac{dx_{2}(t)}{dt}&=g-\frac{1}{M}\frac{\{x_{3}(t)\}^{2}}{x_{1}(t)}\\ \frac{dx_{3}(t)}{dt}&=-\frac{R}{L}x_{3}(t)+\frac{1}{L}e(t)\end{align*}$$평형점 \(y_{0}(t)=x_{01}\)(일정)을 기준으로 이 시스템을 선형화한다. 그러면$$x_{02}(t)=\frac{dx_{01}(t)}{dt}=0,\,\frac{d^{2}y_{0}(t)}{dt^{2}}=0$$이고 \(i(t)\)의 공칭값은 다음과 같고,$$\begin{align*}e(t)&=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}\\ i_{0}(t)&=x_{03}(t)=\sqrt{Mgx_{01}}\end{align*}$$이 시스템에 대한 계수행렬은 다음과 같다.$$\mathbf{A}^{*}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \frac{x_{03}^{2}}{Mx_{01}^{2}}&0&-\frac{2x_{03}}{Mx_{01}}\\0&0-\frac{R}{L}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \frac{g}{x_{01}}&0&-2\sqrt{\frac{g}{Mx_{01}}}\\0&0&-\frac{R}{L}\end{pmatrix},\,\mathbf{B}^{*}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{1}{L}\end{pmatrix}$$다음은 역학, 전기, 열, 유체시스템의 유사성을 나타낸 것이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley