[제어공학] 14. 비선형시스템의 선형화, 유사성

[제어공학] 14. 비선형시스템의 선형화, 유사성

실제로 대부분의 부품이나 동작기는 비선형적 특성을 갖는다. 실제로 어떤 장치는 약간의 비선형적 특성을 갖거나 그 장치가 어떤 동작범위 내에서 구동될 때 비선형 특성이 일어난다. 선형화 모델은 제한된 동작범위에서만 성립되며 때에 따라 선형화가 수행된 동작점에서만 성립된다.   

일반적으로 테일러급수는 비선형함수 $f(x(t))$를 기준 값 또는 동작점 $x_{0}(t)$근방에서 전개하는데 사용된다. 동작점은 스프링-질량-댐퍼 시스템의 평형위치, 전기시스템의 일정한 전압, 유체시스템의 정상상태 압력 등이 될 수 있다. 그러므로 함수 $f(x(t))$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(x(t))=\sum_{i=0}^{n}{\frac{f^{(i)}(x_{0})}{i!}\{x(t)-x_{0}(t)\}^{i}}$$ 위의 급수를 전개하면 다음과 같고 $$\begin{align*}f(x(t))&=f(x_{0}(t))+f'(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}+\frac{1}{2}f''(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}^{2}\\&+\frac{1}{6}f^{(3)}(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\{x(t)-x_{0}(t)\}^{2}\end{align*}$$ 만약 $\Delta x=x(t)-x_{0}(t)$가 작으면 위의 급수는 수렴하고, 위 급수의 처음 두 항을 이용해 다음과 같이 선형화를 할 수 있다. $$\begin{align*}f(x(t))&\approx f(x_{0}(t))+f'(x_{0}(t))\{x(t)-x_{0}(t)\}\\&=c_{0}+c_{1}\Delta x\end{align*}$$ 비선형방정식을 다음과 같이 벡터로 나타내자. $$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\,\mathbf{r}(t))$$ 여기서 $\mathbf{x}(t)$는 $n\times1$상태벡터, $\mathbf{r}(t)$는 $p\times1$입력벡터, $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\,\mathbf{r}(t))$는 $n\times1$함수벡터이다. 

비선형시스템은 해석과 설계가 어렵기 때문에 선형화가 가능한 상황에서 선형화를 하는것이 좋다. 

공칭동작궤적(nominal operating trajectory)을 $\mathbf{x}_{0}(t)$ 라 하자. 이 $\mathbf{x}_{0}(t)$는 공칭입력 $\mathbf{r}_{0}(t)$와 주어진 초기상태에 대응한다. 비선형상태방정식 $\displaystyle\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}$을 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_{0}(t)$에 대해 테일러급수로 전개하고 모든 고차항을 무시하면 다음의 식을 얻는다. $$\dot{x}_{i}(t)=f_{i}(\mathbf{x}_{0},\,\mathbf{r}_{0})+\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial x_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}(x_{j}-x_{0j})}+\sum_{j=1}^{p}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial r_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}(r_{j}-r_{0j})}$$ 여기서 $i=1,\,...,\,n$이고 다음과 같다고 하자. $$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{0i},\,\Delta r_{j}=r_{j}-r_{0j}$$ 그러면 $\Delta\dot{x}_{i}=\dot{x}_{i}-\dot{x}_{0i}$이고 $\dot{x}_{0i}=f_{i}(\mathbf{x}_{0},\,\mathbf{r}_{0})$이므로 $$\Delta\dot{x}_{i}=\sum_{j=1}^{n}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial x_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}\Delta x_{j}}+\sum_{j=1}^{p}{\frac{\partial f_{i}(\mathbf{x},\,\mathbf{r})}{\partial r_{j}}|_{(x_{0},\,r_{0})}\Delta r_{j}}$$ 이고, 위의 식을 다음과 같이 벡터 형식으로 나타낼 수 있다. $$\Delta\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}^{*}\Delta\mathbf{x}+\mathbf{B}^{*}\Delta\mathbf{r}$$ 여기서 $\mathbf{A}^{*},\,\mathbf{B}^{*}$는 다음과 같다.

다음의 그림은 질량이 $m$이고 질량이 없는 길이 $\ell$의 막대로 이루어진 단진자이다.

위의 오른쪽 그림은 왼쪽 그림의 단진자의 운동에 대한 자유물체도이다. 운동방정식은 다음과 같고 $$\sum{F_{x}}=ma_{x},\,\sum{F_{y}}=ma_{y}$$ 변위를 $\mathbf{x}=(\ell\cos\theta,\,\ell\sin\theta)$라고 하면 속도와 가속도는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mathbf{v}&=(-\ell\dot{\theta}\sin\theta,\,\ell\dot{\theta}\cos\theta)\\ \mathbf{a}&=(-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta,\,\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta)\end{align*}$$ 그러면 $$a_{x}=-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta,\,a_{y}=\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta$$ 이고 질량에 가해진 외부의 힘을 고려하면 $$\sum{F_{x}}=-F_{T}\cos\theta+mg,\,\sum{F_{y}}=-F_{T}\sin\theta$$ 이므로 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}(1)\,-F_{T}\cos\theta+mg&=m\left(-\ell\ddot{\theta}\sin\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)\\(2)\,-F_{T}\sin\theta&=m\left(\ell\ddot{\theta}\cos\theta-\ell\dot{\theta}^{2}\sin\theta\right)\end{align*}$$ 식 (1)에 $(-\sin\theta)$를 곱하고 식 (2)에 $\cos\theta$를 곱해서 위 두 식들을 더하면 다음의 식을 얻고 $$-mg\sin\theta=m\ell\ddot{\theta}$$ 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0$$ 정적 평형위치 $\theta=0$을 동작점으로 하고 $\theta$가 작을 때 근사식 $\theta\approx\sin\theta$를 사용할 수 있으므로 다음과 같이 선형적으로 나타낼 수 있다. $$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{\ell}\theta=0$$ 상태공간에서 $x_{1}=\theta$, $\displaystyle x_{2}=\frac{d\theta}{dt}$를 상태변수로 정의하면, 다음과 같이 상태공간으로 나타낼 수 있고 $$\dot{x}_{1}=x_{2},\,\dot{x}_{2}=-\frac{g}{\ell}\sin x_{1}$$ 이다. 정적 평형위치($\theta=0$이므로 $\mathbf{r}(t)=0$)에서 선형근사를 하면 $$\begin{align*}\Delta\dot{x}_{1}(t)=\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{2}}\Delta x_{2}(t)=\Delta x_{2}(t),\,\Delta\dot{x}_{2}(t)=\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial x_{1}(t)}\Delta x_{1}(t)=-\frac{g}{\ell}\Delta x_{1}(t)\end{align*}$$ 이고 $\Delta x_{1}(t),\,\Delta x_{2}(t)$는 각각 $x_{1}(t)$와 $x_{2}(t)$의 미소변위이다. 앞의 두 방정식은 선형이고, 작은 신호에 대해서만 성립한다. 다음과 같이 벡터 형식으로 나타낼 수 있고 $$\begin{pmatrix}\Delta\dot{x}_{1}(t)\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ \frac{g}{\ell}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x_{1}(t)\\ \Delta x_{2}(t)\end{pmatrix}$$ 다음의 비선형시스템에서 $$\begin{align*}\dot{x}_{1}(t)&=-\frac{1}{\{x_{2}(t)\}^{2}}\\ \dot{x}_{2}(t)&=u(t)x_{1}(t)\end{align*}$$ $x_{1}(0)=x_{2}(0)=1$의 초기조건과 $u(t)=0$일 때 이 식들의 해가 되는 공칭궤적 $(x_{01}(t),\,x_{02}(t))$에 대해 선형화하도록 한다. 

$u(t)=0$, $x_{2}(0)=1$이므로 $x_{2}(t)=1$, $\dot{x}_{1}(t)=-1$이고 $x_{1}(0)=1$이므로 $\displaystyle x_{1}(t)=\int{\dot{x}_{1}(t)dt}=-t+1$이다. 그러면 이 시스템에 대한 공칭궤적은 다음과 같고 $$x_{01}(t)=-t+1,\,x_{02}(t)=1$$ 테일러 전개를 위한 계수는 다음과 같다. $$\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{1}(t)}=0,\,\frac{\partial f_{1}(t)}{\partial x_{2}(t)}=\frac{2}{\{x_{2}(t)\}^{3}}=2,\,\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial x_{1}(t)}=u(t)=0,\,\frac{\partial f_{2}(t)}{\partial u(t)}=x_{1}(t)=1$$ 그러면 $$\begin{align*}\Delta\dot{x}_{1}(t)&=\frac{2}{\{x_{02}(t)\}^{3}}\Delta x_{2}(t)(=2\Delta x_{2}(t))\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)&=u_{0}(t)\Delta x_{1}(t)+x_{01}(t)\Delta u(t)\end{align*}$$ 이고, 다음의 선형화방정식을 얻는다. $$\begin{pmatrix}\Delta\dot{x}_{1}(t)\\ \Delta\dot{x}_{2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x_{1}(t)\\ \Delta x_{2}(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ 1-t\end{pmatrix}\Delta u(t)$$ 다음의 그림은 자석-구-현수(magnetic-ball-suspension) 시스템이다.

이 시스템의 목적은 입력전압 $e(t)$로 전자석에서의 전류를 조정해 강철 구의 위치를 제어하는 것이다. 이 시스템의 미분방정식은 다음과 같고 $$M\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}=Mg-\frac{\{i(t)\}^{2}}{y(t)},\,e(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}$$ 여기서 $e(t)$는 입력전압, $y(t)$는 구의 위치, $i(t)$는 권선전류, $R$은 권선저항, $L$은 권선인덕턴스, $M$은 구의 질량, $g$는 중력가속도이다.

상태변수를 $x_{1}(t)=y(t)$, $\displaystyle x_{2}(t)=\frac{dy(t)}{dt}$, $x_{3}(t)=i(t)$라 하면 이 시스템의 상태방정식은 다음과 같다. $$\begin{align*}\frac{dx_{1}(t)}{dt}&=x_{2}(t)\\ \frac{dx_{2}(t)}{dt}&=g-\frac{1}{M}\frac{\{x_{3}(t)\}^{2}}{x_{1}(t)}\\ \frac{dx_{3}(t)}{dt}&=-\frac{R}{L}x_{3}(t)+\frac{1}{L}e(t)\end{align*}$$ 평형점 $y_{0}(t)=x_{01}$(일정)을 기준으로 이 시스템을 선형화한다. 그러면 $$x_{02}(t)=\frac{dx_{01}(t)}{dt}=0,\,\frac{d^{2}y_{0}(t)}{dt^{2}}=0$$ 이고 $i(t)$의 공칭값은 다음과 같고, $$\begin{align*}e(t)&=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}\\ i_{0}(t)&=x_{03}(t)=\sqrt{Mgx_{01}}\end{align*}$$ 이 시스템에 대한 계수행렬은 다음과 같다. $$\mathbf{A}^{*}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \frac{x_{03}^{2}}{Mx_{01}^{2}}&0&-\frac{2x_{03}}{Mx_{01}}\\0&0-\frac{R}{L}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\ \frac{g}{x_{01}}&0&-2\sqrt{\frac{g}{Mx_{01}}}\\0&0&-\frac{R}{L}\end{pmatrix},\,\mathbf{B}^{*}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \frac{1}{L}\end{pmatrix}$$ 다음은 역학, 전기, 열, 유체시스템의 유사성을 나타낸 것이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley