[제어공학] 13. 열, 유체시스템의 모델링

[제어공학] 13. 열, 유체시스템의 모델링

열시스템에서 주로 사용되는 변수로 온도 $T$와 에너지와 단위가 같은 비축열 $Q$가 있다. 열전달은 동력의 단위를 갖는 열흐름률 $q$와 관계가 있다. 즉 $q=\dot{Q}$

전기시스템처럼 열전달 문제에서 용량의 개념은 물체의 열의 저장(또는 방출)과 관계가 있다. 용량 $C$는 물체의 온도 $T$의 시간에 따른 변화율과 열흐름율 $q$와 관계있다. 즉 $\displaystyle q=C\dot{T}=C\frac{dT}{dt}$

여기서 열용량 $C$는 물체의 밀도 $\rho$, 물체의 비열 $c_{p}$와 부피 $V$의 곱인 $C=\rho c_{p}V$로 주어진다.

열시스템에서 열의 흐름에는 전도, 대류, 방사의 3가지 방법이 있다. 

-전도: 열전도는 어떻게 물체가 열을 전도하는가를 설명한다. 일반적인 열전달은 두 표면의 온도차에 의해 일어나고, 이때 열은 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 이동한다. 이때 에너지의 전달은 분자의 발산에 의해 물체표면에 수직인 방향으로 이루어진다. 다음의 그림과 같이 정상상태 열전도를 고려하면

열전달률은

$$q=\frac{kA}{\ell}\Delta T=D_{1-2}\Delta T$$ 이고 여기서 $q$는 열전달(흐름)률, $k$는 물체의 열전도도, $A$는 열흐름방향 $x$에 수직인 면적, $\Delta T=T_{1}-T_{2}$는 $x=0$에서의 온도 $T_{1}$, $ㅌ=\ell$에서의 온도 $T_{2}$의 차이이다. 이 경우에 절연이 완벽하다고 가정하면 반대방향으로의 열전도는 0이고, 다음이 성립하는데 $$D_{1-2}=\frac{1}{\frac{\ell}{kA}}=\frac{1}{R}$$ 여기서 $R$을 열저항이라고 한다. 따라서 열전달률 $q$는 열저항 $R$을 사용해 $\displaystyle q=\frac{\Delta T}{R}$로 나타낼 수 있다.

-대류: 이러한 형태의 열전달은 다음의 그림과 같이 고체표면과 거기에 닿아 있는 유체 사이에서 발생한다.

유체와 고체 표면이 만나는 경계에서 대류에 의해 열전달이 이루어지고, 유체가 한 번 열에 노출되면, 새로운 유체가 다시 접촉하게 된다. 열대류에서 열전달은 다음과 같다.

$$q=hA\Delta T=D_{0}\Delta T$$ 여기서 $q$는 열전달(또는 열흐름률), $h$는 대류열전달 계수, $A$는 열전달 면적, $\Delta T=T_{b}-T_{f}$는 경계면과 유체온도의 차이이다. $hA$를 $D_{0}$와 같이 놓을 수 있고, 다음과 같다. $$D_{0}=hA=\frac{1}{R}$$ 열전달률 $q$를 열저항 $R$을 이용하여 $\displaystyle q=\frac{\Delta T}{R}$로 나타낼 수 있다.

-방사: 분리된 두 물체 사이의 열방사율은 슈테판-볼츠만 법칙으로 결정된다. 즉

$$q=\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$$ 여기서 $q$는 열전달률, $\sigma$는 슈테판-볼츠만 상수로 그 값은 $5.667\times 10^{-8}\text{W/m}^{2}\,^{\circ}\text{K}^{4}$, $A$는 열흐름에 수직인 면적, $T_{1},\,T_{2}$는 두 물체의 절대온도이다. 슈테판-볼츠만 법칙을 나타내는 공식은 동일한 표면 면적 $A$의 직접 마주보는 이상적인 방사에 적용되며, 반사없이 모든 열을 흡수한다(아래그림 참고).

다음은 열 시스템에서 여러 변수의 단위들이다.

$T_{l}$은 고체의 온도로 온도분포가 균일하고, $T_{f}$는 윗 부분의 유체온도, $\ell$은 물체의 길이, $A$는 물체의 단면적, $\rho$는 물체의 밀도, $c$는 물체의 비열, $k$는 물체의 열전도도, $h$는 대류성 열전달 계수이다.

열저장률은 $\displaystyle q=\rho cA\ell\frac{dT}{dt}$이고, 유체로부터 대류에 의한 열전달률은 $q=hA(T_{f}-T_{l})$이다. 시스템의 에너지 평형식으로부터 앞의 두 식들은 서로 같아야 하고, 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다.

$$RC\dot{T}_{\ell}=-T_{\ell}+T_{f}$$ 모든 초기조건이 0일 때 라플라스 영역에서 싯템의 전달함수는 다음과 같다. $$\frac{T_{\ell}(s)}{T_{f}(s)}=\frac{1}{RCs+1}$$ 여기서 $\tau=RC$는 시스템의 시상수이다.      

유체시스템에서 주로 사용되는 5가지 변수로 압력, 유출질량(유출률), 온도, 밀도와 유출체적(체적률), 비압축성 유체시스템이 있다. 전기시스템처럼 저항, 커패시터, 인덕터와 같은 수동소자들로 모델링을 할 수 있다. 비압축 유체에 대해서 체적은 일정하다.

다음의 그림은 제어체적과 순수질량흐름률을 나타낸다.

그러면 $q_{m}=\rho q$, $\displaystyle m=\int{\rho qdt}$, $q=q_{i}-q_{o}$이고 여기서 $m$은 순수질량흐름, $\rho$는 유체의 밀도, $\displaystyle q_{m}=\dot{m}=\frac{dm}{dt}$는 질량흐름률, $q$는 순수유체흐름률(유입유체의 체적흐름률 $q_{i}$-유출유체의 체적흐름률 $q_{o}$)이다.

질량보존의 법칙으로부터

$$\begin{align*}\frac{dm}{dt}&=\rho q=\frac{d}{dt}M_{\text{c.v.}}=\frac{d}{dt}(\rho V)\\&=\rho\frac{dV}{dt}+V\frac{d\rho}{dt}\end{align*}$$ 이고, 이것은 유체의 체적보존이다. 비압축성 유체에서는 $\rho$가 상수이므로 $\displaystyle\frac{dm}{dt}=\rho\frac{dV}{dt}$이다.

용량-비압축성 유체: 전기의 커패시터처럼 유체용량은 유체시스템에 저장될 수 있는 에너지와 관계가 있고, 유체용량 $C$는 유체흐름률 $q$와 압력률 $\displaystyle\frac{dP}{dt}$와의 비 $\displaystyle C=\frac{q}{\dot{p}}\,(q=C\dot{P})$이다. 

다음의 그림에서

탱크(뚜껑이 열린 원통형 컨테이너)의 압력은 수위가 $h$일 때 $\displaystyle P=\frac{\rho V}{A}=\frac{\rho hg A}{A}=\rho hg$이고 $q=\dot{V}$이므로 유체용량은 다음과 같다.

$$C=\frac{\dot{V}}{\rho gh}=\frac{A}{\rho g}$$ 위의 그림과 같은 일반적인 경우, 제어체적에 유체가 유입되면 유체의 질량은 변화되고, 압력 또한 변화한다. 용량은 유체질량의 압력에 대한 변화율이다. 즉 $$C=\frac{\frac{dm}{dt}}{\frac{dP}{dt}}=\frac{dm}{dP}$$ 일반적으로 유체 밀도 $\rho$는 비선형이고 온도와 압력에 의존한다. 이와 같은 상태방정식으로 알려진 비선형 의존성 $\rho_{nl}(P,\,T)$은 다음과 같이 1차 테일러 전개를 통해 선형화 할 수 있다. $$\rho_{nl}=\rho+\frac{\partial\rho_{nl}}{\partial P}_{(P_{\text{ref}},\,T_{\text{ref}})}(P-P_{\text{ref}})+\frac{\partial\rho_{nl}}{\partial T}_{(P_{\text{ref}},\,T_{\text{ref}})}(T-T_{\text{ref}})$$ 여기서 $\rho$는 밀도, $P_{\text{ref}},\,T_{\text{ref}}$는 각각 압력과 온도의 일정 기준치이다. $$\beta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho_{nl}}{\partial P}_{(P_{\text{ref}},\,T_{\text{ref}})},\,\alpha=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho_{nl}}{\partial T}_{(P_{\text{ref}},\,T_{\text{ref}})}$$ 는 각각 체적탄성계수와 열팽창계수이다. 대부분의 경우 탱크로 유입되는 유체와 유출되는 유체의 온도는 거의 같고, 또한 체적 $V$의 컨테이너가 강체이면 $\displaystyle\frac{dm}{dt}=\rho q=V\frac{d\rho}{dt}$ 체적탄성계수를 이용해 질량흐름률을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$q=\frac{V}{\beta}\frac{dP}{dt}=C\frac{dP}{dt}$$ 실제로 축열기는 유체용량이고, 다음의 그림처럼 스프링이 달린 피스톤시스템으로 모델링된다.

이 경우 원통 컨테이너 내부의 단면적이 $A$인 스프링이 달린 피스톤으로 가정하면 압력의 변화율은 $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\frac{1}{C}\left(q-\frac{dV}{dt}\right)$이고 여기서 $V=Ax$이므로 $\displaystyle\frac{dV}{dt}=A\frac{dx}{dt}$이다. 

공압시스템에서 기체의 체적은 압력 또는 다른 요인에 의해 변하기 때문에 체적 보존의 법칙이 성립하지 않고 질량 보존의 법칙만 성립한다. 따라서 공압시스템에서 체적유량 $q_{m}$보다 질량유량 $q$를 사용한다. 

-용량-공압시스템: 일정 체적의 용기에 대해 일반적인 기체용량 관계는 다음과 같고

$$C=\frac{dm}{dP}=V\frac{d\rho}{dP}$$ 여기서 용기의 체적 $V$는 일정하다.

정상적인 온도와 압력 하에서 이상기체에 대한 이상기체 법칙은

$$PV=mR_{g}T$$ 이고 $V$는 절대압력이 $P$, 질량이 $m$인 기체의 체적, $T$는 기체의 절대온도, $R_{g}$는 기체상수이고 기체에 따라 다르다. 위의 이상기체 법칙으로부터 하나를 풀기 위해서는 나머지 세 개의 값을 알아야 한다. 

압력, 체적과 질량 사이의 관계에 대한 모든 유체의 일반적인 과정인 폴리트로픽 과정으로부터

$$P\left(\frac{V}{m}\right)^{n}=\frac{P}{\rho^{n}}=\text{constant}$$ 이고 $n$은 0에서부터 무한대 사이의 값을 갖는 폴리트로픽 지수이다. 따라서 기체용량 관계는 다음과 같고 $$C=V\frac{d\rho}{dP}=V\left(\frac{\rho^{n}}{Pn\rho^{n-1}}\right)=V\frac{\rho}{nP}$$ 또는 이상기체 법칙과 $m=\rho V$로부터 $\displaystyle C=\frac{V}{nR_{g}T}$이다. 

폴리트로픽 과정에서 질량 $m$이 일정하고, 상태 1에서 상태 2로의 과정이 주어지면, 일반적인 기체법칙은

$$\frac{P_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}V_{2}}{T_{2}}$$ (보일-샤를의 법칙)이다. 

등온과정의 경우, 임의의 두 순간에서 기체의 온도는 같다. 즉 $T_{1}=T_{2}$, $P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$이고 $n=1$(폴리트로픽 지수)이다.

정압과정의 경우, $P_{1}=P_{2}$, $\displaystyle\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}$이고 $n=0$이다.

정적과정의 경우, $V_{1}=V_{2}$, $\displaystyle\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}$이고 $n=\infty$이다.

가역 단열과정의 경우, $P_{1}V_{1}^{k}=P_{2}V_{2}^{k}$이고 여기서 $n$은 $k$이고, $k$는 비열의 비이다. 즉 $\displaystyle k=\frac{c_{p}}{c_{v}}$. 여기서 $c_{p}$는 일정한 압력 하에서의 기체의 비열, $c_{v}$는 일정한 부피 하에서의 기체의 비열, 공압시스템에서 $k=1.4$(공기)이다.      

-인덕턴스-비압축성 유체: 유체 인덕턴스는 관 내부를 흐르는 유체의 관성과 관련해 유체 이너턴스(inertance)라고도 한다. 이너턴스는 주로 긴 관에서 나타나나 외부의 힘이 흐름률에 큰 변화를 주는 경우에도 발생한다. 다음의 그림과 같이 균일한 속도 $v$로 흐르는 마찰없는 관에서

유체의 가속을 위해 외력 $F$를 가하면 뉴턴의 운동 제 2법칙으로부터

$$F=A\Delta P=M\dot{v}=\rho A\ell\dot{v},\,\Delta P=P_{1}-P_{2}$$ 이고 $\dot{V}=Av=\ddot{q}$이므로 $P_{1}-P_{2}=L\ddot{q}$이고 여기서 $$L=\frac{\rho\ell}{A}$$ 을 유체 인덕턴스라고 한다('인덕턴스'의 개념은 압축성 유체 또는 기체에서 잘 사용되지 않는다).

-저항-비압축성 유체: 전기시스템처럼 유체저항은 에너지를 발산한다. 다음의 그림의 시스템에서

관을 따라 유체에 저항하는 힘은 $F_{f}=A\Delta P$이고 $\Delta P=P_{1}-P_{2}$는 압력 강하, $A$는 관의 단면적이다. 흐름의 형태(층류(평행한 층을 이루어 흐름) 또는 난류(무질서하게 흐름))에 따랏 유체의 저항관계는 선형이거나 비선형이고, 압력강하와 질량흐름률 $q_{m}$의 관계를 나타낸다. 층류흐름에 있어서

$$\Delta P=Rq_{m}=R\rho q,\,R=\frac{\Delta P}{q_{m}}$$ 으로 정의되고, $q$는 체적흐름률이다. 다음의 표는 층류흐름에서 다양한 단면적에 따른 저항이다.

흐름이 난류일 때, $\Delta P=R_{T}q_{m}^{n}$이고 여기서 $R_{T}$는 난류저항, $n$은 경계에 따라 달라지는 멱수이다(예: 긴 관에서 $\displaystyle n=\frac{7}{4}$이고, 가장 유용한 밸브에서 $n=2$이다).

다음의 그림은 유체-수위 시스템으로 물 또는 비압축성 유체(유체밀도 $\rho$가 상수)가 탱크의 위에서 유입되고, 아래의 밸브를 통해 유출된다.

유입, 유출밸브에서 체적흐름률은 각각 $q_{i},\,q_{o}$, 탱크의 수위는 $h$, 밸브의 저항은 $R$이다. 질량보존법칙으로부터

$$\frac{dm}{dt}=\frac{d(\rho V)}{dt}=\rho q_{i}-\rho q_{o}$$ 이고 여기서 $\rho q_{i}$, $\rho q_{o}$는 각각 밸브의 입력과 출력에서의 질량흐름률이다. 유체의 밀도 $\rho$가 일정하므로 체적의 보존도 적용되어 탱크내부의 유체부피의 변화는 유입/유출흐름률의 차와 같다. 즉 $$\frac{dV}{dt}=\frac{d(Ah)}{dt}=q_{i}-q_{o}$$ 이 경우 $A$는 탱크의 단면적, $h$는 탱크의 수위이고 가변이다. $\displaystyle C=\frac{dm}{dt}\left(\frac{dp}{dt}\right)^{-1}$이므로 $\displaystyle\frac{dm}{dt}=C\frac{dp}{dt}$이고 다음의 식을 얻는다. $$C\frac{dp}{dt}=\rho q_{i}-\rho q_{o}$$ 층류라고 가정하면 유체밸브저항 $R$은 다음과 같이 정의된다. $$\rho q_{o}=\frac{\Delta p}{R}=\frac{p_{1}-p_{2}}{R}$$ 여기서 $\Delta p$는 밸브에서의 압력강하이고, 가변인 수위 $h$와 압력의 관계로부터 $$p_{1}=p_{\text{atm}}+\rho gh,\,p_{2}=p_{\text{atm}}$$ 여기서 $p_{1}$은 입력밸브의 압력, $p_{2}$는 출력밸브의 압력, $p_{\text{atm}}$은 대기압이다. 앞의 결과들을 종합하면 다음의 방정식을 얻고 $$\rho A=\frac{dh}{dt}=\rho q_{i}-\frac{\rho gh}{R}$$ 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$RC\frac{dh}{dt}+h=\frac{R}{g}q_{i}$$ 여기서 $\displaystyle C=\frac{A}{g}$는 용량, $\rho=R$은 저항이고 따라서 시스템의 시상수는 $\tau=RC$이다. 다음과 같이 탱크 유체-수위 시스템이 2개가 연결되어 있으면

다음의 식으로부터

$$\begin{align*}\rho q_{i}-\rho q_{1}&=\rho q_{i}-\frac{p_{1}-p_{2}}{R_{1}}=\rho q_{i}-\frac{(p_{\text{atm}}+\rho gh_{1})-(p_{\text{atm}}+\rho gh_{2})}{R_{1}}\\ \rho q_{1}-\rho q_{2}&=\frac{p_{1}-p_{2}}{R_{1}}-\frac{p_{2}-p_{3}}{R_{2}}\\&=\frac{(p_{\text{atm}}+\rho gh_{1})-(p_{\text{atm}}+\rho gh_{2})}{R_{1}}-\frac{(p_{\text{atm}}+\rho gh_{2})-p_{a}}{R_{2}}\end{align*}$$ 이므로 다음과 같이 시스템의 방정식을 얻는다. $$\begin{align*}&A_{1}\frac{dh_{1}}{dt}+\frac{gh_{1}}{R_{1}}-\frac{gh_{2}}{R_{1}}=q_{i}\\&A_{2}\frac{dh_{2}}{dt}-\frac{gh_{1}}{R_{1}}+\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)gh_{2}=0\end{align*}$$ -저항-공압시스템: 이상기체법칙 $PV=mR_{g}T$를 따르는 기체에 대해 다음의 그림과 같은 단면적 $A$인 밸브 또는 구멍의 흐름은 출구 압력 $P$와 관계가 있다.

연속성으로부터 밸브 양 쪽의 질량흐름률은 동일하고, $\Delta P=P_{i}-P$가 적은 경우, 층류일 때 $\displaystyle R_{L}=\frac{\Delta P}{q_{m}}$이고 여기서 $P_{i}$는 입구압력, $P$는 출구압력, $q$는 체적흐름률, $R_{L}$은 실험으로 얻어지는 등가저항이다. 난류일 때 $\displaystyle R_{T}=\frac{\Delta P}{q_{m}^{2}}$이다.

다음의 그림처럼 밸브를 통해 강체 컨테이너 시스템으로 들어가는 기체가 있다고 하자.

이 경우 밸브는 구멍으로 모델링되고, 입구 압력은 $P_{i}$, 질량흐름률은 $q_{m}$, 컨테이너 내부의 압력(밸브출구 압력)은 $P$이다. 여기서 밸브 양단의 압력은 보통 일정 압력 $P_{s}$에서의 미소변화로 간주한다. 즉

$$P_{i}=P_{s}+p_{i},\,P=P_{s}+p$$ 위의 그림과 같이 일정 체적 $V$를 갖는 강체 컨테이너에 대해 질량보존의 법칙으로부터 $$\frac{dm}{dt}=\frac{d(\rho V)}{dt}=V\frac{d\rho}{dt}$$ 이고 여기서 $\rho_{i}$는 밸브에 도달하기 직전의 유체밀도이다. 

입력단(밸브의 왼쪽)에서 $\displaystyle\frac{dm}{dt}=\rho_{i}q=q_{m}$이고, $\displaystyle\frac{dm}{dt}=C\frac{dp}{dt}$, 적층류에 대해 $\displaystyle R_{L}=\frac{\Delta P}{q_{m}}$이므로 $\displaystyle q_{m}=\frac{p_{i}-p}{R_{L}}$이다.

그러므로 $\displaystyle C=\frac{dp}{dt}=\frac{p_{i}-p}{R}$이고 다음의 미분방정식을 얻는다.

$$C\frac{dp}{dt}+\frac{p}{R}=\frac{p_{i}}{R}$$ 이 미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$RC\frac{dp}{dt}+p=p_{i}$$ 초기조건을 모두 0이라고 할 때 라플라스 영역에서의 전달함수는 다음과 같다. $$\frac{P(s)}{P_{i}(s)}=\frac{1}{1+RCs}$$ 여기서 $\tau=RC$는 시상수이다.

온도가 일정한 등온과정에서 이상기체법칙 $PV=mR_{g}T$에 시간에 대한 미분을 취하면 $\displaystyle\frac{dp}{dt}V=\frac{dm}{dt}R_{g}T$이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$V\frac{d\rho}{dt}=\frac{1}{R_{g}T}\frac{dp}{dt}=\rho_{i}\frac{p_{i}-p}{R_{L}}$$ 따라서 $\displaystyle\frac{V}{R_{g}T}\frac{dp}{dt}=\rho_{i}\frac{p_{i}-p}{R}$이고 $\displaystyle C=\frac{V}{R_{s}T}$이므로 폴리트로픽 과정을 이용하면 다음의 미분방정식을 얻는다. $$RC\frac{dp}{dt}+p=p_{i}$$ 여기서 $\displaystyle C=\frac{V}{nR_{g}T}$이다. 

다음의 표는 액체 및 기체시스템에서의 SI및 기타 측정단위들이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley