[제어공학] 4. 미분방정식과 라플라스 변환

[제어공학] 4. 미분방정식과 라플라스 변환

일반적으로 $n$차 시스템의 미분방정식은 다음과 같고, $$\frac{d^{n}y(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$ $a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}$이 $t$에 대한 함수가 아니면, 선형 상미분방정식(linear ordinary equation)이라고 한다. 

일반적으로 1계 선형 상미분방정식은 다음과 같고, $$\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$ 2계 선형 상미분방정식은 다음과 같다. $$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+a_{1}\frac{dy}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$ 많은 물리시스템은 비선형이므로 비선형미분방정식으로 나타내어진다. 예를들어 질량이 $m$이고, 길이 $l$을 갖는 단진자운동을 나타내는 미분방정식은 다음과 같다. $$m\ell\frac{d^{2}\theta(t)}{dt}+mg\sin\theta(t)=0$$ 위의 미분방정식은 비선형이고, 이 시스템을 비선형시스템(nonlinear system)이라고 한다. 

일반적으로 $n$계 미분방정식은 $n$개의 1계 미분방정식들로 나누어질 수 있다. 1계 미분방정식이 고계 미분방정식보다 풀이가 간단하기 때문에 제어시스템의 해석에 1계 미분방정식을 많이 사용한다. 다음은 RLC(저항-인덕터-커패시터) 직렬회로는 다음의 미분방정식으로 나타낼 수 있다. $$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int{i(t)dt}=e(t)$$ 여기서 $R$은 저항, $L$은 인덕턴스, $C$는 커패시턴스, $i(t)$는 회로의 전류, $e(t)$는 인가된 전압이다. 위의 미분방정식에서 $$x_{1}(t)=\int{i(t)dt},\,x_{2}(t)=\frac{dx_{1}(t)}{dt}$$ 라 하면 RLC회로에 대한 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{dx_{2}(t)}{dt}=-\frac{1}{LC}x_{1}(t)-\frac{R}{L}x_{2}(t)+\frac{1}{L}e(t)$$ 위와 같은 방법으로 $n$계 선형 상미분방정식에서 $$x_{1}(t)=y(t),\,x_{2}(t)=\frac{dy(t)}{dt},\,...,\,x_{n}(t)=\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}$$ 라고 하면, $n$계 미분방정식을 다음과 같이 $n$개의 1계 미분방정식으로 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}&\frac{dx_{1}(t)}{dt}=x_{2}(t)\\&\frac{dx_{2}(t)}{dt}=x_{3}(t)\\&\vdots\\&\frac{dx_{n}(t)}{dt}=-a_{0}x_{1}(t)-a_{1}x_{2}(t)-\cdots-a_{n-2}x_{n-1}(t)-a_{n-1}x_{n}(t)+f(t)\end{align*}$$ 위 식에 있는 1계 미분방정식의 집합을 상태방정식(state equation)이라 하고, $x_{1},\,...,\,x_{n}$을 상태변수(state variable)라고 한다. 상태변수는 다음의 조건을 만족시켜야 한다.

-임의의 초기시각 $t=t_{0}$에서 상태변수 $x_{1}(t_{0}),\,x_{2}(t_{0}),\,...,\,x_{n}(t_{0})$는 그 시스템의 초기상태(initial state)들을 정의한다.

-$t\geq t_{0}$에 대한 그 계의 입력과 위에서 정의된 초기상태가 주어지면, 상태변수는 그 시스템의 미래의 동작을 완전히 정의해야 한다. 

어떤 시스템의 상태변수는 임의의 시각 $t_{0}$에서 그 변수들의 값을 알고 그 이후에 가해지는 입력에 대한 정보가 임의의 시각 $t>t_{0}$에서의 시스템의 상태를 결정하기에 충분한 변수 $x_{1}(t),\,x_{2}(t),\,...,\,x_{n}(t)$의 최소집합(minimal set)으로 정의된다. 따라서 $n$개의 상태변수의 상태공간식(space state form)은 다음과 같다. $$\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=\mathbf{Ax}(\mathbf{t})+\mathbf{Bu}$$ 여기서 $$\mathbf{x(t)}=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\ \vdots\\x_{n}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{u(t)}=\begin{pmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\ \vdots\\u_{p}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\,\mathbb{B}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\end{pmatrix}$$ 상태변수들을 그 시스템의 출력과 혼동해서는 안된다. 어떤 시스템의 출력은 측정이 가능하지만 상태변수는 그렇지 않다. 일반적으로 출력변수는 다음과 같이 상태변수들의 대수결합으로 나타낼 수 있다. $$\mathbf{y(t)}=\mathbf{Cx(t)+Du}$$ 여기서 $$\mathbf{y(t)}=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\\ \vdots\\y_{q}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_{q1}&c_{q2}&\cdots&c_{qn}\end{pmatrix},\,\mathbf{D}=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1p}\\d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\d_{q1}&d_{q2}&\cdots&d_{qp}\end{pmatrix}$$ 라플라스 변환은 선형미분방정식의 해를 구하는 데 사용되는 변환이다. 선형미분방정식의 고전적 해법에 비해 라플라스변환은 다음의 두 가지의 장점이 있다.

1. 동차방정식의 해와 특수 적분해가 한 번의 연산으로 얻어진다.

2. 라플라스변환에 의해 미분방정식이 구하고자 하는 함수의 라플라스 변환 $F(s)$에 대한 대수방정식으로 바뀐다. 이 대수방정식에 대수적 연산을 하여 $F(s)$를 구한 다음 역 라플라스 변환을 하여 구하고자 하는 해를 구할 수 있다.

어떤 유한한 실수 $\sigma$에 대해 실함수 $f(t)$가 다음의 조건을 만족한다고 하자. $$\int_{0}^{\infty}{\left|f(t)e^{-\sigma t}\right|dt}<\infty$$ 이러한 함수 $f(t)$에 대한 라플라스 변환 $F(s)$는 다음과 같이 정의된다. $$F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_{0-}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}$$ 변수 $s$는 복소변수 $s=\sigma+j\omega$이고, 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 한다. 여기서 정의된 라플라스 변환은 적분구간이 0에서 무한대($\infty$)이므로 단측 라플라스 변환(one-sided Laplace transform)이라고 한다. 이것은 $t=0$이전의 $f(t)$에 포함된 모든 정보는 무시되거나 0으로 간주되는 것을 의미한다. 

출력은 입력보다 먼저 발생되지 않고, 이러한 시스템을 인과적(casual) 또는 물리적으로 실현적(physically realizable)이라고 한다. 

엄밀한 라플라스 변환은 $t=0-$(좌극한)에서 $t=\infty$까지의 구간에서 정의되지만 여기서 다루는 문제들은 라플라스 변환이 주어지거나 변환표를 찾아 구할 수 있으므로 좌극한, 우극한 같은 미세한 문제를 고려할 필요가 없고 편리함을 위해 $t=0$ 또는 $t=t_{0}(\geq0)$를 초기시각으로 놓는다.

단위계단함수 $u(t)$는 다음과 같이 정의된다. $$u_{s}(t)=\begin{cases}1&\,(t\geq0)\\0&\,(t<0)\end{cases}$$ $u(t)$의 라플라스 변환을 정의를 이용해서 구하면 다음과 같다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty}{u_{s}(t)e^{-st}dt}=\left[-\frac{1}{s}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}$$ 이때 이 라플라스 변환이 정의되려면 다음이 성립해야 한다. $$\int_{0}^{\infty}{\left|u_{s}(t)e^{-\sigma t}\right|dt}=\int_{0}^{\infty}{|e^{-\sigma t}|dt}<\infty$$ 즉, $s$의 실수부 $\sigma$가 0보다 커야 한다.

다음과 같이 정의된 지수함수 $f(t)$에 대한 $$f(t)=e^{-\alpha t}\,(t\geq0)$$ 라플라스 변환을 정의를 이용하여 구하면 다음과 같다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-\alpha t}e^{-st}dt}=\left[-\frac{e^{(s+\alpha)t}}{s+\alpha}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+\alpha}$$ 라플라스 변환 $F(s)$의 역변환 $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))$는 다음과 같이 복소 선적분으로 정의된다. $$f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}{F(s)e^{st}ds}$$ 여기서 $c$는 $F(s)$의 모든 특이점들의 실수부보다 큰 실수 상수이다. 역 라플라스 변환은 대부분 라플라스 변환표를 이용해서 구한다. 다음은 라플라스 변환표이다.

다음은 라플라스 변환의 중요한 성질들이다.

1. 상수와의 곱셈: $k$를 상수, $F(s)$를 $f(t)$의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}(kf(s))=kF(s)$$ 2. $F_{1}(s)$와 $F_{2}(s)$를 각각 $f_{1}(t)$와 $f_{2}(t)$의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}(f_{1}(t)\pm f_{2}(t))=F_{1}(s)\pm F_{2}(s)$$ 3. 미분: $F(s)$를 $f(t)$의 라플라스 변환이라고 하고, $\displaystyle f(0)=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}$라고 하면 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}\left(\frac{d f(t)}{dt}\right)=sF(s)-\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}=sF(s)-f(0)$$ 4. 적분 $F(s)$를 $f(t)$의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)=\frac{F(s)}{s}$$ 5. 시간의 지연(평행이동): 시간이 $T$만큼 지연된 $f(t)$의 라플라스 변환은 $f(t)$의 라플라스 변환 $F(s)$에 $e^{-Ts}$를 곱한것과 같다. 즉 $$\mathcal{L}(f(u-T)u_{s}(t-T))=e^{-Ts}F(s)$$ 여기서 $u_{s}(t-T)$는 $T$만큼 오른쪽으로 이동한 단위계단함수이다.

6. 초기값 정리: $f(t)$의 라플라스 변환이 $F(s)$이고 극한 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}$가 존재하면 다음이 성립한다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,\infty}{F(s)}$$ 7. 최종값 정리: $f(t)$의 라플라스 변환이 $F(s)$이고, $sF(s)$가 허수축과 $s$평면 오른쪽에서 해석적이면, 다음이 성립한다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{sF(s)}$$ 라플라스 변환 $\displaystyle F(s)=\frac{5}{s(s^{2}+s+2)}$에 대해 $sF(s)$는 허수축과 $s$평면 오른쪽에서 해석적(극점이 $s$평면 왼쪽에 있다)이므로 최종값 정리를 적용할 수 있고 다음이 성립한다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{sF(s)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{\frac{5}{s^{2}+s+2}}=\frac{5}{2}$$ 라플라스 변환 $\displaystyle F(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$에 대해 $sF(s)$는 허수축에 극점 $s=\pm j\omega$를 갖기 때문에 최종값 정리를 적용할 수 없다.

8. 복소 평행이동: 상수 $\alpha$에 대해 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}(e^{\mp\alpha t}f(t))=F(s\pm\alpha)$$ 9. 합성곱: $F_{1}(s)$, $F_{2}(s)$가 각각 $f_{1}(t)$, $f_{2}(t)$의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다. $$\begin{align*}F_{1}(s)F_{2}(s)=\mathcal{L}(f_{1}(t)*f_{2}(s))&=\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau}\right)\\&=\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f_{2}(\tau)f_{1}(t-\tau)d\tau}\right)\end{align*}$$ 여기서 기호 $*$는 시간 영역에서의 합성곱(convolution)이다. 이때 다음이 성립한다. $$\mathcal{L}(f_{1}(t)f_{2}(t))=F_{1}(s)*F_{2}(s)$$ 라플라스 변환에 대한 합성곱은 복소적분이고, 여기서는 깊게 다루지 않을 것이다('그런게 있다' 정도로만 알면 된다).

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley