[제어공학] 2. 복소수와 복소함수

[제어공학] 2. 복소수와 복소함수

복소수를 직각좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$z=x+jy$$ 여기서 $j=\sqrt{-1}$(허수단위)이고, $(x,\,y)$는 각각 $z$에 대한 실수부와 허수부이다. 다음의 그림에서처럼 직각좌표계에서 $(x,\,y)$의 한 점으로 나타낼 수 있다.

직각좌표계의 한 점은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$x=R\cos\theta,\,y=R\sin\theta,\,\left(R=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\,\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)$$ 다음의 식은 오일러 공식(Euler formula)이다. $$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$ 이고, 복소수 $z=x+jy$를 다음과 같이 극형식(polar form)으로 나타낼 수 있다. $$z=Re^{j\theta}=R\angle\theta$$ 복소수 $z=x+jy$의 공액복소수는 다음과 같이 정의된다. $$z^{*}=x-jy(=R\cos\theta-jR\sin\theta=Re^{-j\theta})$$ 이때 다음의 등식이 성립한다. $$zz^{*}=R^{2}=x^{2}+y^{2}$$ 다음은 복소수의 기초적인 수학적 특성이다.

예를들어 $\displaystyle j=\sqrt{-1}=\cos\frac{\pi}{2}+j\sin\frac{\pi}{2}=e^{j\frac{\pi}{2}}$이므로 다음이 성립하고 $$j^{2}=(e^{j\frac{\pi}{2}})^{2}=e^{j\pi}=-1,\,j^{3}=j^{2}j=-e^{j\frac{\pi}{2}}=-i,\,j^{4}=(e^{j\pi})^{2}=(-1)^{2}=1$$ 또한 다음이 성립한다. $$z^{n}=(Re^{j\theta})^{n}=R^{n}e^{jn\theta}=R^{n}\angle n\theta$$ 복소변수 $s$는 실수 성분 $\sigma$와 허수 성분 $\omega$를 갖고있다. 즉 $s=\sigma+j\omega$. 아래의 복소 $s$평면에서

$s$의 실수 성분들은 수평방향인 $\sigma$축으로, 허수성분은 수직방향인 $j$축으로 나타낸다. 위의 그림에 있는 임의의 점 $s_{1}$은 좌표 $\sigma=\sigma_{1}$과 $\omega=\omega_{1}$ 또는 간단히 $s_{1}=\sigma_{1}+j\omega_{1}$로 나타낸다.

모든 $s$값에 대해 하나 이상의 대응되는 $G(s)$가 존재하면 $G(s)$를 복소변수 $s$의 함수라고 한다. $s$가 실수부와 허수부를 가지므로 $G(s)$도 다음과 같이 실수부와 허수부로 나누어 나타낼 수 있다. $$G(x)=\text{Re}G(s)+j\text{Im}G(s)$$ 여기서 $\text{Re}G(s)$는 $G(s)$의 실수부, $\text{Im}G(s)$는 $G(s)$의 허수부를 각각 나타낸다. 따라서 함수 $G(s)$는 실수축이 $\text{Re}G(s)$, 허수축이 $\text{Im}G(s)$를 갖는 복소 $G(s)$평면 상에 나타낼 수 있다. 모든 $s$에 대해 단 하나의 $G(s)$값만이 존재하면 $G(s)$를 단가함수(single-value function)라 하고, 이때, $s$평면의 점들이 $G(s)$평면의 점들에 사상(mapping)되는 것을 단가라고 한다.(아래 그림 참고)

$G(s)$평면에서 $s$평면으로의 사상도 단가이면, 이 사상을 일대일이라고 한다. 실제로 함수평면에서 복소평면으로 사상이 단가가 아닌 함수도 많다. 그 예로 다음의 함수 $$G(s)=\frac{1}{s(s+1)}$$ 가 주어질 때 각 $s$에 대해 오직 하나의 $G(s)$가 대응되나 그 역사상은 그렇지가 않은데 그 이유는 $G(x)=\infty$는 $s=0$과 $s=-1$의 두 점에 사상되기 때문이다.

어떤 함수와 그 함수의 모든 도함수가 $s$평면의 어떤 영역에서 존재하면, 복소함수 $s$의 함수 $G(s)$는 그 영역에서 해석적(analytic)이라고 한다. 앞에서 다루었던 함수 $\displaystyle G(x)=\frac{1}{s(s+1)}$은 $s=0$, $s=-1$의 두 점을 제외하고 해석적이다. 그 이유는 이들 두 점에서 함수값이 무한대가 되기 때문이다. $H(s)=s+2$는 모든 $s$평면상의 유한영역에서 해석적이다.

어떤 함수의 특이점(singularity)은 그 함수 또는 그 함수의 도함수들이 정의되지 못하는 $s$평면의 점이다. 

극(pole)은 어떤 함수 $G(s)$가 $s=p_{i}$근방에서 해석적이고 단가이며, 극한값 $\displaystyle\lim_{s\,\rightarrow\,p_{i}}{(s-p_{i})^{r}G(s)}$가 0이 아닌 유한한 값을 가지면 이 함수 $G(s)$는 $s=p_{i}$에서 $r$차의 극을 갖는다고 한다. 즉, $G(s)$의 분모에는 $(s-p_{i})^{r}$이 반드시 포함해야 하고, $s=p_{i}$일 때 이 함수는 무한대가 된다. 또한 극은 특이점이다. $r=1$일 경우, $s=p_{i}$의 극은 단순극(simple pole)이라고 한다. 다음의 함수 $$G(s)=\frac{10(s+2)}{s(s+1)(s+3)^{2}}$$ 는 $s=-3$에서 2차 극을 갖고, $s=0$, $s=-1$에서 단순극을 갖는다. 이러한 점들을 제외하고 $s$평면에서 해석적이라고 할 수 있다. 

영점(zero)은 함수 $G(s)$가 $s=z_{i}$에서 해석적이고 극한값 $\displaystyle\lim_{s\,\rightarrow\,z_{i}}{(s-z_{i})^{-r}G(s)}$가 0이 아닌 유한한 값을 가지면, $G(s)$는 $s=z_{i}$에서 $r$차의 영점을 갖는다고 한다. 또한 $\displaystyle\frac{1}{G(s)}$가 $s=s_{i}$에서 $r$차의 극을 가지면, $G(s)$는 $s=z_{i}$에서 $r$차의 영점을 갖는다. 다음의 그림은 앞에서 다룬 함수 $\displaystyle G(s)=\frac{10(s+2)}{s(s+1)(s+3)^{2}}$의 극점과 영점을 $s$평면에 나타낸 것이다.

앞에서 다룬 함수 $G(s)$에서 $s=2j$일 때 $G(s)$의 극좌표 표현(polar representation)을 구하자. $$s=2j=2e^{j\frac{\pi}{2}},\,s+1=1+2j=\sqrt{5}e^{j\tan^{-1}\frac{1}{2}}$$ 이므로 $$G(2j)=\frac{1}{2j(2j+1)}=\frac{1}{2\sqrt{5}}e^{j\left(\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)}$$ 이다. 다음은 $s_{1}=1+2j$를 평면에 나타낸 것이다.

$s=j\omega$이고 $\omega$가 0에서 무한대의 값을 갖는다고 할 때 다음 함수의 극좌표 표현을 구하자. $$G(s)=\frac{16}{s^{2}+10s+16}=\frac{10}{(s+2)(s+8)}$$ 개별적인 요소들을 살펴보면 다음과 같다. $$2+j\omega=\sqrt{\omega^{2}+4}e^{j\tan^{-1}\frac{\omega}{2}},\,8+j\omega=\sqrt{\omega^{2}+64}e^{j\tan^{-1}\frac{\omega}{8}}$$

따라서 $G(j\omega)$는 다음과 같다. $$G(j\omega)=\frac{16}{\sqrt{(\omega^{2}+4)(\omega^{2}+64)}}e^{-j\left(\tan^{-1}\frac{\omega}{2}+\tan^{-1}\frac{\omega}{8}\right)}$$ 다음은 $\omega$가 고정된 값을 가질 때 $\displaystyle G(j\omega)=\frac{10}{(2+j\omega)(8+j\omega)}$의 분자와 분모에 분모의 켤레복소수 $(2-j\omega)(8-j\omega)$를 곱해도 앞과 같은 결과를 얻고, 다음은 $\omega$가 고정된 값을 가질 때 $G(j\omega)$를 $s$평면에 나타낸 것이다.

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley