[수학적귀납법] 2009학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 10번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 13번

2009학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 10번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 13번

수학적귀납법은 귀납적으로 정의된 점화식이 \(n=1\)(2이상의 자연수가 될 수도 있다)일 때 성립함을 보이고 자연수 \(k\)에 대하여 \(n=k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n=k+1\)일 때 성립함을 보이는 증명방법이다.

수학적귀납법 문제는 과거 수능문제에서 빈칸 채우기 문제로 단골로 출제되었으나 2011학년도 6월 모의평가를 마지막으로 더 이상 출제되지 않고 대신 수열의 일반항을 찾는 과정에서 빈칸 채우기 문제로 교체되었고 교육청 모의고사에 간간히 출제된다. 그렇지만 수학적귀납법은 수리논술 또는 면접에서 출제될 가능성이 있다.

다음은 2009학년도 수능 수리 가, 나형 공통 10번 문제이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이 $$\begin{cases}a_{1}=\frac{1}{2}&\\(n+1)(n+2)a_{n+1}=n^{2}a_{n}\,\,(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)&\end{cases}$$ 일 때, 다음은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 $$\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{n}{n+1}\,\,\,\,\,\cdots\cdots\,(*)$$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1) \(n=1\)일 때, (좌변)\(=\frac{1}{2}\), (우변)\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)이므로 \((*)\)이 성립한다. (2) \(n=m\)일 때, \((*)\)이 성립한다고 가정하면$$\sum_{k=1}^{m}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}$$이다. \(n=m+1\)일 때, \((*)\)이 성립함을 보이자. $$\begin{align*}&\sum_{k=1}^{m+1}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}+a_{m+1}\\=&\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}+[(가)]a_{m}\\=&\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}+\frac{m^{2}}{(m+1)(m+2)}\cdot\frac{(m-1)^{2}}{m(m+1)}\cdot\,\cdots\,\cdot\frac{1^{2}}{2\cdot3}a_{1}\\=&\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}+[(나)]\\=&\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m}{m+1}+\frac{1}{(m+1)^{2}}-[(다)]\\=&\sum_{k=1}^{m+1}{\frac{1}{k^{2}}}-\frac{m+1}{m+2}\end{align*}$$ 그러므로 \(n=m+1\)일 때도 \((*)\)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \((*)\)이 성립한다. 위 증명에서 \((가),\,(나),\,(다)\)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점] 풀이: 우선 \((가)\) 부터 구하자. 문제에서 \((m+1)(m+2)a_{m+1}=m^{2}a_{m}\)이므로$$a_{m+1}=\frac{m^{2}}{(m+1)(m+2)}a_{m}$$이고 따라서 \((가)\)에 들어갈 식은 \(\displaystyle\frac{m^{2}}{(m+1)(m+2)}\)이다. \((나)\)에 들어갈 식은 다음과 같다.$$\begin{align*}\frac{m^{2}}{(m+1)(m+2)}\cdot\frac{(m-1)^{2}}{m(m+1)}\cdot\,\cdots\,\cdot\frac{1^{2}}{2\cdot3}a_{1}&=\frac{m^{2}}{(m+1)^{2}(m+2)}\cdot\frac{(m-1)^{2}}{m(m+1)}\cdot\frac{(m-2)^{2}}{(m-1)m}\cdot\,\cdots\,\cdot\frac{3^{2}}{4\cdot5}\cdot\frac{2^{2}}{3\cdot4}\cdot\frac{1^{2}}{2\cdot3}\cdot\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{(m+1)^{2}(m+2)}\,\left(\because a_{1}=\frac{1}{2}\right)\end{align*}$$ \((다)\)에 들어갈 식은 \(\displaystyle\frac{1}{(m+1)^{2}}\)식을 \((나)\)식으로 뺀 값이다. 즉$$\frac{1}{(m+1)^{2}}-\frac{1}{(m+1)^{2}(m+2)}=\frac{(m+2)-1}{(m+1)^{2}(m+2)}=\frac{m+1}{(m+1)^{2}(m+2)}=\frac{1}{(m+1)(m+2)}$$ 따라서 \((가),\,(나),\,(다)\)에 들어갈 식은 다음과 같다.$$\frac{m^{2}}{(m+1)(m+2)},\,\frac{1}{(m+1)^{2}(m+2)},\,\frac{1}{(m+1)(m+2)}$$

식의 앞뒤를 봐가면서 풀 수 있는 문제다.

다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 가, 나형 공통 13번 문제이다. 이 문제가 마지막으로 출제된 수학적 귀납법 문제이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(a_{1}=\alpha\,(\alpha\neq0)\)이고, 모든 \(n\,(n\geq2)\)에 대하여 \(\displaystyle(n-1)a_{n}+\sum_{m=1}^{n-1}{ma_{m}}=0\)을 만족시킨다. 다음은 $$a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha\,(n\geq1)$$ 임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다. <증명> (1) \(n=1\)일 때, \(\displaystyle a_{1}=\alpha=\frac{(-1)^{1-1}}{(1-1)!}\alpha\)이다. (2) i) \(n=2\)일 때, \(a_{2}+a_{1}=0\)이므로 \(\displaystyle a_{2}=-a_{1}=\frac{(-1)^{2-1}}{(2-1)!}\alpha\)이다. 따라서 주어진 식이 성립한다.    ii) \(n=k\,(k\geq2)\)일 때 성립한다고 가정하고, \(n=k+1\)일 때 성립함을 보이자. $$\begin{align*}0=&ka_{k+1}+\sum_{m=1}^{k}{ma_{m}}\\=&ka_{k+1}+\sum_{m=1}^{k-1}{ma_{m}}+ka_{k}\\=&ka_{k+1}+([(가)])\times a_{k}+ka_{k}\end{align*}$$   이므로$$a_{k+1}=[(나)]\times a_{k}=\frac{(-1)^{k}}{k!}\alpha$$   이다. 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha\)이다.   위의 \((가),\,(나)\)에 알맞은 식의 곱을 \(f(k)\)라 할 때, \(f(10)\)의 값은? [4점] 풀이: 문제에서 \(\displaystyle(k-1)a_{k}+\sum_{m=1}^{k-1}{ma_{m}}=0\)이므로 \(\displaystyle\sum_{m=1}^{k-1}{ma_{m}}=-(k-1)a_{k}\)이고 따라서 \((가)\)에 들어갈 식은 \(-(k-1)\)이다. $$0=ka_{k+1}-(k-1)a_{k}+ka_{k}=ka_{k+1}+a_{k}$$이므로 \(\displaystyle a_{k+1}=-\frac{1}{k}a_{k}\)이고 따라서 \((나)\)에 들어갈 식은 \(\displaystyle-\frac{1}{k}\)이다. 이 결과로부터 \(\displaystyle f(k)=(-(k-1))\times\left(-\frac{1}{k}\right)=\frac{k-1}{k}\)이고 따라서 \(\displaystyle f(10)=\frac{9}{10}\)이다.

이 문제는 기존의 식 찾기 문제에서 끝나는 게 아니라 그 식에 대한 함숫값을 구하는 문제이다. 아마도 기존의 식 찾기 문제가 쉬워서(?) 이렇게 난이도를 올린 거 같다.