2011학년도 수능(11월) 수리 가형 14번, 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 28번
이차곡선에는 포물선, 타원, 쌍곡선이 있다. 여기서는 포물선에 관련된 기출문제를 다루려고 한다. 포물선의 정의는 한 점과 한 직선으로부터의 거리가 같은 점들의 집합을 나타낸다. 이를 공식으로 나타내면 \(y^{2}=4px\)이다.
포물선 문제는 공식만 외우는 것에서 끝나는게 아니라 정의도 함께 외워야 한다. 그렇지 않으면 문제를 푸는데 어려움이 있다.
다음은 2011학년도 수능 수리 가형 14번 문제이다. 포물선의 정의를 이용해서 풀어야 한다. 식을 찾아서 문제를 풀으려는 것은 가장 어리석은 짓이다.
그림과 같이 좌표평면에서 \(x\)축 위의 두 점 \(\mathrm{A,\,B}\)에 대하여 꼭짓점이 \(\mathrm{A}\)인 포물선 \(p_{1}\)과 꼭짓점이 \(\mathrm{B}\)인 포물선 \(p_{2}\)가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는? [4점]
풀이: 점 \(\mathrm{C}\)의 포물선 \(p_{1}\)의 준선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{E}\), 점 \(\mathrm{C}\)의 포물선 \(p_{2}\)의 준선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{F}\), 포물선 \(p_{1}\)의 준선과 \(x\)축이 만나는 점을 \(\mathrm{G}\), 포물선 \(p_{2}\)의 준선과 \(x\)축이 만나는 점을 \(\mathrm{H}\)라 하자. 포물선의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AG}}=2,\,\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{BH}}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CE}},\,\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{CF}}\)이다. \(\overline{\mathrm{OB}}=a\,(0<a<2)\)라 하자. 그러면 \(\overline{\mathrm{OA}}=2-a\)이고 \(\overline{\mathrm{CO}}=\overline{\mathrm{CF}}=\overline{\mathrm{OH}}=2a\), \(\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{CE}}=\overline{\mathrm{OG}}=2+(2-a)=4-a\)이다. \(\overline{\mathrm{BC}}^{2}=\overline{\mathrm{OC}}^{2}+\overline{\mathrm{OB}}^{2}\)이므로 \((4-a)^{2}=a^{2}+(2a)^{2}\)이고 \(a^{2}-8a+16=a^{2}+4a^{2}\)이므로 \(4a^{2}+8a-16=4(a^{2}+2a-4)=0\)이고 \(0<a<2\)이므로 \(a=\sqrt{5}-1\)이다. 그러면 \(\overline{\mathrm{OC}}=2a=2(\sqrt{5}-1)\)이고 따라서 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는$$\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{OC}}=\frac{1}{2}\times2\times2(\sqrt{5}-1)=2(\sqrt{5}-1)$$이다. |
이 문제를 풀 때 포물선의 공식이 사용되지 않았다.
다음은 2015학년도 6월 모의평가 수학 B형 28번 문제이다. 문제에는 포물선의 공식이 나오고 이 문제를 풀때는 식에서 준선을 찾고 포물선의 정의를 이용해서 문제를 풀어야 한다.
좌표평면에서 포물선 \(C_{1}:\,x^{2}=4y\)의 초점을 \(\mathrm{F}_{1}\), 포물선 \(C_{2}:\,y^{2}=8x\)의 초점을 \(\mathrm{F}_{2}\)라 하자. 점 \(\mathrm{P}\)는 다음 조건을 만족시킨다.
원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{OP}}^{2}\)의 최댓값을 구하시오. [4점] 풀이: 중심이 \(C_{1}\) 위에 있고 점 \(\mathrm{F}_{1}\)을 지나는 원을 \(\mathrm{O}_{1}\), 중심이 \(C_{2}\)위에 있고 점 \(\mathrm{F}_{2}\)를 지나는 원을 \(\mathrm{O}_{2}\)라 하자. 포물선의 정의에 의해 원 \(\mathrm{O}_{1}\)은 포물선 \(C_{1}\)의 준선 \(y=-1\)에 접하고, 원 \(\mathrm{O}_{2}\)는 포물선 \(C_{2}\)의 준선 \(x=-2\)에 접한다. 포물선 \(C_{1}\)의 준선과 \(C_{2}\)의 준선의 교점은 \((-2,\,-1)\)이고 점 \(\mathrm{P}\)는 제 3사분면 위의 점이므로 점 \(P\)가 존재하는 영역은$$\{(x,\,y)\,|\,-2\leq x<0,\,-1\leq y<0\}$$이다. \(\overline{\mathrm{OP}}^{2}\)의 값이 최대가 될 때는 점 \(\mathrm{P}\)가 두 포물선의 준선의 교점인 \((-2,\,-1)\)이고 따라서 \(\overline{\mathrm{OP}}^{2}\)의 최댓값은$$\overline{\mathrm{OP}}^{2}=(-2)^{2}+(-1)^{2}=4+1=5$$이다. |
문제의 식에서 포물선의 준선을 찾고 그 다음에 포물선의 정의를 이용하여 문제를 푼다.
