[등차수열] 2010학년도 수능(11월) 수리 나형 30번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 25번

2010학년도 수능(11월) 수리 나형 30번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 25번

등차수열은 수열을 배울 때 초반부에 나오는 내용이다. 등차수열은 공차 $d$만큼 더해지는 수열이다. 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열은 $a_{n}=a+(n-1)d$이다. 2010학년도 수능 수리 나형 30번 문제와 2011학년도 6월 모의평가 수리 가, 나형 공통 25번 문제는 등차수열 문제인데 수능문제는 수열의 합 $S_{n}$이 $n$이 홀수일 때와 짝수일 때 서로 다른 등차수열일 때 어떤 항을 구하는 문제이고 6월 모의평가 문제는 로그의 가수와 관련된 문제이다.

다음은 2010학년도 수능 수리 나형 30번 문제이다. 성질 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n\geq2)$를 이용하여 문제를 해결한다.

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_{n}$이라 하자. 수열 $\{S_{2n-1}\}$은 공차가 $-3$인 등차수열이고, 수열 $\{S_{2n}\}$은 공차가 $2$인 등차수열이다. $a_{2}=1$일 때, $a_{8}$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: $a_{1}=a$라 하자. 그러면 $\{S_{2n-1}\}$과 $\{S_{2n}\}$의 공차가 각각 $-3,\,2$이므로 $$S_{2n-1}=a-3(n-1),\,S_{2n}=a+1+2(n-1)$$ 이다. $$S_{8}=a+1+2\times(4-1)=a+7,\,S_{7}=a-3(4-1)=a-9$$ 이므로 따라서 $$a_{8}=S_{8}-S_{7}=(a+7)-(a-9)=16$$ 이다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 25번 문제이다. 로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

첫째항이 $16$이고 공비가 $2^{\frac{1}{10}}$인 등비수열 $\{a_{n}\}$에 대하여 $\log{a_{n}}$의 가수를 $b_{n}$이라 하자. $$b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,\cdots,\,b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1$$ 이 주어진 순서대로 등차수열을 이룰 때, $k$의 값을 구하시오. (단, $\log2=0.301$로 계산한다.) [4점]  풀이: $a_{n}=16\cdot2^{\frac{n-1}{10}}$이므로 $\log a_{n}=4\log2+\frac{n-1}{10}\log2=1.204+0.0301(n-1)$이다. 그러면 $b_{n}=0.204+0.0301(n-1)$이고 $b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1$이 이 순서대로 등차수열을 이루려면 $b_{k}$가 가수 중에서 가장 큰 가수여야 한다. 즉 $b_{k}<1$인 $k$ 중에서 최대인 $k$를 구하면 된다. 부등식 $b_{k}<1$을 만족하는 가장 큰 $k$를 구하면 $0.0301(k-1)<0.796$이므로 $301(k-1)<7960$이고 $301k<8261$이다. 그러면 $k<27.4$이고 따라서 $k=27$이다.

$b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1$이 순서대로 등차수열을 이룬다는 것에 주목한다.