2010학년도 수능(11월) 수리 나형 30번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 25번
등차수열은 수열을 배울 때 초반부에 나오는 내용이다. 등차수열은 공차 \(d\)만큼 더해지는 수열이다. 첫째항이 \(a\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열은 \(a_{n}=a+(n-1)d\)이다. 2010학년도 수능 수리 나형 30번 문제와 2011학년도 6월 모의평가 수리 가, 나형 공통 25번 문제는 등차수열 문제인데 수능문제는 수열의 합 \(S_{n}\)이 \(n\)이 홀수일 때와 짝수일 때 서로 다른 등차수열일 때 어떤 항을 구하는 문제이고 6월 모의평가 문제는 로그의 가수와 관련된 문제이다.
다음은 2010학년도 수능 수리 나형 30번 문제이다. 성질 \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n\geq2)\)를 이용하여 문제를 해결한다.
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수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_{n}\)이라 하자. 수열 \(\{S_{2n-1}\}\)은 공차가 \(-3\)인 등차수열이고, 수열 \(\{S_{2n}\}\)은 공차가 \(2\)인 등차수열이다. \(a_{2}=1\)일 때, \(a_{8}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(a_{1}=a\)라 하자. 그러면 \(\{S_{2n-1}\}\)과 \(\{S_{2n}\}\)의 공차가 각각 \(-3,\,2\)이므로$$S_{2n-1}=a-3(n-1),\,S_{2n}=a+1+2(n-1)$$이다.$$S_{8}=a+1+2\times(4-1)=a+7,\,S_{7}=a-3(4-1)=a-9$$이므로 따라서$$a_{8}=S_{8}-S_{7}=(a+7)-(a-9)=16$$이다. |
다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 25번 문제이다. 로그의 가수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
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첫째항이 \(16\)이고 공비가 \(2^{\frac{1}{10}}\)인 등비수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(\log{a_{n}}\)의 가수를 \(b_{n}\)이라 하자.$$b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,\cdots,\,b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1$$이 주어진 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(k\)의 값을 구하시오. (단, \(\log2=0.301\)로 계산한다.) [4점] 풀이: \(a_{n}=16\cdot2^{\frac{n-1}{10}}\)이므로 \(\log a_{n}=4\log2+\frac{n-1}{10}\log2=1.204+0.0301(n-1)\)이다. 그러면 \(b_{n}=0.204+0.0301(n-1)\)이고 \(b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1\)이 이 순서대로 등차수열을 이루려면 \(b_{k}\)가 가수 중에서 가장 큰 가수여야 한다. 즉 \(b_{k}<1\)인 \(k\) 중에서 최대인 \(k\)를 구하면 된다. 부등식 \(b_{k}<1\)을 만족하는 가장 큰 \(k\)를 구하면 \(0.0301(k-1)<0.796\)이므로 \(301(k-1)<7960\)이고 \(301k<8261\)이다. 그러면 \(k<27.4\)이고 따라서 \(k=27\)이다. |
\(b_{k-1},\,b_{k},\,b_{k+1}+1\)이 순서대로 등차수열을 이룬다는 것에 주목한다.
