[로그함수] 2010학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 15번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 16번

2010학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 15번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 16번

로그함수도 원래 이과 학생들은 물론 문과 학생들의 수능 수학 시험범위였다. 그러나 지금은 이과 학생들만의(가형) 시험범위이다.

다음은 2010학년도 수능 수리 가, 나형 공통 15번 문제이다. 자연수 n의 값에 따른 직선의 위치와 로그함수의 관계를 묻는 문제이다.

자연수 $n(n\geq2)$에 대하여 직선 $y=-x+n$과 곡선 $y=|\log_{2}{x}|$가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$좌표를 각각 $a_{n},\,b_{n}(a_{n}<b_{n})$이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]  <보 기> ㄱ. $a_{2}<\frac{1}{4}$ ㄴ. $0<\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$ ㄷ. $1-\frac{\log_{2}{n}}{n}<\frac{b_{n}}{n}<1$ 풀이: $x=1$에서 $|\log_{2}{x}|=0$이므로 $a_{n}<1<b_{n}<n$이다. ㄱ: $n=2$일 때 $\frac{7}{4}=2-\frac{1}{4}<|\log_{2}{\frac{1}{4}}|=2$이고 $\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2}>|\log_{2}{\frac{1}{2}}|=1$이다. 따라서 $\frac{1}{4}<a_{2}<\frac{1}{2}$이다. ㄴ: $n$이 커질수록 $b_{n}$은 커지고 $a_{n}$은 작아진다. 즉 $a_{n+1}<a_{n}$이고 $b_{n}<b_{n+1}$. $a_{n}>0$이므로 따라서 $0<\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$이다. ㄷ. $n-b_{n}=\log_{2}{b_{n}}$이고 $b_{n}<n$이므로 $n-b_{n}=\log_{2}{b_{n}}<\log_{2}{n}$이고 $n-\log_{2}{n}<b_{n}$이다. 이 부등식의 각 변을 $n$으로 나누면 $1-\frac{\log_{2}{n}}{n}<\frac{b_{n}}{n}$이고 $b_{n}<n$이므로 $\frac{b_{n}}{n}<1$이다. 따라서 $$1-\frac{\log_{2}{n}}{n}<\frac{b_{n}}{n}<1$$ 이다. 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

이 문제에서 ㄴ은 $n$이 커질수록 $a_{n}$이 작아지고 $a_{n}<1$이라는 것만 알면 풀 수 있다. 여기서 ㄷ이 가장 까다로웠을 것이다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 16번 문제이다. 그래프의 교점에 관한 문제이다.

좌표평면에서 두 곡선 $y=|\log_{2}{x}|$와 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 이 만나는 두 점을 $\mathrm{P}(x_{1},\,y_{1}),\,\mathrm{Q}(x_{2},\,y_{2})\,(x_{1}<x_{2})$라 하고, 두 곡선 $y=|\log_{2}{x}|$와 $y=2^{x}$이 만나는 점을 $\mathrm{R}(x_{3},\,y_{3})$이라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]  <보 기> ㄱ. $\frac{1}{2}<x_{1}<1$ ㄴ. $x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}=0$ ㄷ. $x_{2}(x_{1}-1)>y_{1}(y_{2}-1)$ 풀이 다음 그래프는 문제의 그래프를 해석한 것이다. ㄱ: 위 그래프로부터 $\frac{1}{2}<x_{1}<1$이다. ㄴ: 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 직선 $y=x$에 대해 대칭이므로 $x_{2}=y_{3},\,x_{3}=y_{2}$이다. 따라서 $$x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}=x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}=0$$ 이다. ㄷ: 점 $P$는 지수함수 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$와 로그함수 $y=-\log_{2}{x}$의 교점이고 이 두 함수는 서로 역함수 관계에 있으므로 직선 $y=x$위에 있고 따라서 $x_{1}=y_{1}$이다. 점 $(0,\,1)$에서 점 $\mathrm{P}(x_{1},\,y_{1})$까지의 직선의 기울기는 점 $(0,\,1)$에서 점 $\mathrm{Q}(x_{2},\,y_{2})$까지의 직선의 기울기보다 작고 $x_{1}=y_{1}$이므로 $$\frac{y_{1}-0}{x_{1}-0}=\frac{y_{1}-1}{x_{1}}=\frac{x_{1}-1}{y_{1}}<\frac{y_{2}-1}{x_{2}}=\frac{y_{2}-1}{x_{2}-0}$$ 이고 따라서 $$x_{2}(x_{1}-1)<y_{2}(y_{1}-1)$$ 이다. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

지수함수와 로그함수가 서로 역함수 관계에 있다는 것을 이용하여 푸는 문제이다. 이 문제에서도 ㄷ이 가장 어려웠을 것이다.