[미적분] 2010학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 28번

2010학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 28번

적분을 배울 때 부정적분과 정적분이라는 개념에 대해 배우게 된다. 이 두 개념의 공통점이라면 '적분'이라는 단어가 포함되어 있으나 이 둘은 다르다. 이 둘의 차이점은 부정적분은 함수이고 정적분은 값을 나타낸다.

부정적분과 정적분에서 치환적분과 부분적분을 적용할 수 있다. 다만 차이가 있다면 부정적분은 함수에만 집중하면 되지만 정적분의 경우는 적분구간(위끝과 아래끝)이 있다는 점에 유의한다.

정적분에서 적분값은 적분변수가 아닌 위끝과 아래끝에 의해 결정된다.

다음은 2010학년도 수능 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다. 정적분의 값을 문자로 나타낸 값에 대한 명제의 참 거짓을 가리는 문제이다. 이 문제를 풀 때, 치환적분과 부분적분을 사용한다.

실수 전체에서 이계도함수를 갖는 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 정적분 $$\int_{0}^{1}{\{f'(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)\}dx}$$ 의 값을 $k$라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]  <보 기> ㄱ. $\displaystyle\int_{0}^{1}{\{f(x)g'(1-x)-g(x)f'(1-x)\}dx}=-k$  ㄴ. $f(0)=f(1)$이고 $g(0)=g(1)$이면, $k=0$이다. ㄷ. $f(x)=\ln(1+x^{4})$이고 $g(x)=\sin\pi x$이면, $k=0$이다. 풀이 ㄱ: $t=1-x$라 하면 $x=1-t,\,\frac{dt}{dx}=-1$이므로 $$\begin{align*}\int_{0}^{1}{\{f(x)g'(1-x)-g(x)f'(1-x)\}dx}&=-\int_{1}^{0}{\{f(1-t)g'(t)-g(1-t)f'(t)\}dt}\\&=\int_{0}^{1}{\{f(1-t)g'(t)-g(1-t)f'(t)\}dt}\\&=-\int_{0}^{1}{\{f'(t)g(1-t)-g'(t)f(1-t)\}dt}=-k\end{align*}$$ ㄴ: $f(0)=f(1),\,g(0)=g(1)$이므로 $$\int_{0}^{1}{f'(x)g(1-x)dx}=\left[f(x)g(1-x)\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}{f(x)g'(1-x)dx}=\int_{0}^{1}{f(x)g'(1-x)dx}\\ \int_{0}^{1}{g'(x)f(1-x)dx}=\left[f(1-x)g(x)\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}{g(x)f'(1-x)dx}=\int_{0}^{1}{g(x)f'(1-x)dx}$$ 이다. 위의 두 식을 서로 빼면 $$\int_{0}^{1}{\{f'(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)\}dx}=\int_{0}^{1}{\{f(x)g'(1-x)-g(x)f'(1-x)\}dx}$$ 이고 $$\int_{0}^{1}{\{f'(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)\}dx}=k,\,\int_{0}^{1}{\{f(x)g'(1-x)-g(x)f'(1-x)\}dx}=-k\,(\because ㄱ)$$ 이므로 $k=-k$이고 따라서 $k=0$이다. ㄷ: $f(0)=0,\,g(0)=g(1)=0$이다. 그러면 $f(0)g(1)-g(0)f(1)=0,\,f(1)g(0)-g(1)f(0)=0$이고 ㄴ과 같은 이유로 $k=0$이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

아마 ㄴ이 가장 어려웠을 것이다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가형 미분과적분 28번 문제이다. 이번 문제는 정적분의 값을 문자로 나타냈을 때, 다른 정적분의 값을 앞에서 언급한 문자로 나타내는 문제이다. 앞의 문제와 달리 3점 문제인데도 엄청난 오답률을 자랑하는(?) 문제이다.

실수 전체에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x)=2f(x)f'(x)$이고, $$f(a)=0,\,\int_{2a}^{4a}{\frac{f(x)}{x}dx}=k\,(a>0,\,0<k<1)$$ 일 때, $\displaystyle\int_{a}^{2a}{\frac{\{f(x)\}^{2}}{x^{2}}}dx$의 값을 $k$로 나타낸 것은? [3점] 풀이: $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^{2}},\,\{f(x)\}'=2f(x)f'(x)=f(2x)$이고 $f(a)=0$이므로 $f(2a)=2f(a)f'(a)=0$이다. 그러면 $$\begin{align*}\int_{a}^{2a}{\frac{\{f(x)\}^{2}}{x^{2}}dx}&=\int_{a}^{2a}{\{f(x)\}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx}=\int_{a}^{2a}{\{f(x)\}^{2}\left(-\frac{1}{x}\right)'dx}\\&=\left[-\frac{\{f(x)\}^{2}}{x}\right]_{a}^{2a}+\int_{a}^{2a}{\frac{2f(x)f'(x)}{x}dx}=\int_{a}^{2a}{\frac{f(2x)}{x}dx}\end{align*}$$ 이다. $t=2x$라 하면 $x=\frac{1}{2}t,\,\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}$이므로 $$\int_{a}^{2a}{\frac{f(2x)}{x}dx}=\int_{2a}^{4a}{\left(\frac{f(t)}{t}2\times\frac{1}{2}\right)dt}=\int_{2a}^{4a}{\frac{f(t)}{t}dt}=k$$ 이다. 따라서 $$\int_{a}^{2a}{\frac{\{f(x)\}^{2}}{x}}=k$$

이 문제에서 $\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^{2}}$와 부분적분을 생각했다면 쉽게 풀린다.