2009학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 13번
여기서 다룰 문제는 색다른(?) 확률 문제이다. 2009학년도 수능 공통 17번 문제는 정보이론을 결합한 확률문제이고 2011학년도 수능 공통 13번 문제는 표준정규분포와 조건부확률을 결합한 문제이다. 2009학년도 문제는 문제를 읽기만 하면 풀기가 수월하나 2011학년도 문제는 낮설어서 어렵다고 생각할 수 있는 문제이다.
다음은 확률과 정보이론을 결합한 확률문제인 2009학년도 수능 수리 가, 나형 공통 17번 문제이다.
정보이론에서는 사건 \(E\)가 발생했을 때, 사건 \(E\)의 정보량 \(I(E)\)가 다음과 같이 정의된다고 한다.$$I(E)=-\log_{2}{\mathrm{P}(E)}$$<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 사건 \(E\)가 일어날 확률 \(\mathrm{P}(E)\)는 양수이고, 정보량의 단위는 비트이다.) [4점]
풀이 ㄱ: 주사위에는 1부터 6까지의 숫자가 적혀있고 이 중 홀수는 1, 3, 5이므로 \(\mathrm{P}(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)이다. 따라서 $$I(E)=-\log_{2}{\mathrm{P}(E)}=-\log_{2}{\frac{1}{2}}=\log_{2}2=1$$이다. ㄴ: \(\mathrm{P}(A\cap B)>0\)이고 두 사건 \(A,\,B\)가 독립이므로 \(\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A\cap B)>0\)이다. 따라서$$I(A\cap B)=-\log_{2}{\mathrm{P}(A\cap B)}=-\log_{2}{\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)}=-\log_{2}{\mathrm{P}(A)}-\log_{2}{\mathrm{P}(B)}=I(A)+I(B)$$이다. ㄷ: \(A\subset A\cup B,\,B\subset A\cup B\)이므로 \(\mathrm{P}(A)\leq\mathrm{P}(A\cup B),\,\mathrm{P}(B)\leq\mathrm{P}(A\cup B)\)이다. 그러면 \(\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\leq\{\mathrm{P}(A\cup B)\}^{2}\)이고 이 부등식에 밑이 \(2\)인 로그를 취하면$$\log_{2}{\mathrm{P}(A)}+\log_{2}{\mathrm{P}(B)}=\log_{2}{\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)}\leq\log_{2}{\{\mathrm{P}(A\cup B)\}^{2}}=2\log_{2}{\mathrm{P}(A\cup B)}$$이다. 즉 \(\log_{2}{\mathrm{P}(A)}+\log_{2}{\mathrm{P}(B)}\leq2\log_{2}{\mathrm{P}(A\cup B)}\) 이 부등식의 각 변의 부호를 \((-)\)로 바꾸면 \(-2\log_{2}{\mathrm{P}(A\cup B)}\leq-\log_{2}{\mathrm{P}(A)}-\log_{2}{\mathrm{P}(B)}\)이고 이때$$I(A\cup B)=-\log_{2}{\mathrm{P}(A\cup B)},\,I(A)=-\log_{2}{\mathrm{P}(A)},\,I(B)=-\log_{2}{\mathrm{P}(B)}$$이므로 따라서$$2I(A\cup B)\leq I(A)+I(B)$$이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. |
ㄷ에서 \(\mathrm{P}(A)\leq\mathrm{P}(A\cup B),\,\mathrm{P}(B)\leq\mathrm{P}(A\cup B), \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\leq\{\mathrm{P}(A\cup B)\}^{2}\)를 생각하지 않았다면 문제해결이 어려울 것이다.
다음은 표준정규분포와 조건부확률을 결합한 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 13번 문제이다.
어느 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리는 평균이 \(1740m\), 표준편차가 \(500m\)인 정규분포를 따른다고 한다. 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\) 이상인 고객 중에서 \(15\text{%}\), \(2000m\) 미만인 고객 중에서 \(5\text{%}\)는 자가용을 이용하여 시장에 온다고 한다. 자가용을 이용하여 시장에 온 고객 중에서 임의로 \(1\)명을 선택할 때, 이 고객의 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\) 미만일 확률은? (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(\mathrm{P}(0\leq Z\leq0.52)=0.2\)로 계산한다.) [3점] 풀이: 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리를 \(X\)라고 하면 \(X\,\sim\,\mathrm{N}(1740,\,500^{2})\)이다. 그러면$$\mathrm{P}(X<2000)=\mathrm{P}\left(Z<\frac{2000-1740}{500}\right)=\mathrm{P}\left(Z<\frac{260}{500}\right)=P(Z<0.52)=0.5+0.2=0.7$$이다. 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\)이상일 확률은 \(0.7\)이고 \(2000m\)미만일 확률은 \(1-0.7=0.3\)이다. 이때 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\)미만인 고객이 자가용을 이용할 확률은 \(0.7\times0.05=0.035\)이고 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\)이상인 고객이 자가용을 이용할 확률은 \(0.3\times0.15=0.045\)이다. 따라서 자가용을 이용하여 시장에 온 고객의 집에서 시장까지의 거리가 \(2000m\)미만일 확률은$$\frac{0.035}{0.035+0.045}=\frac{0.035}{0.080}=\frac{7}{16}$$이다. |
먼저 표준정규분포와 관련된 부분을 해결해서 확률을 구한다. 그 다음에 조건부확률을 구한다.
