[미적분] 2009학년도 수능(11월) 수리 가형 11번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 11번

2009학년도 수능(11월) 수리 가형 11번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 23번

다항함수는 보통 $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{n}\neq0)$의 형태로 나타난다. 수능시험에서는 적당한 조건을 줘서 그 조건을 이용하여 다항함수 또는 그 함수의 도함수를 추론해서 문제를 풀게 한다.

2009학년도 수능 수리 가형 11번 문제와 2011학년도 6월 수능모의평가 23번 문제는 문제의 조건을 이용하여 다항함수의 형태를 추론하는 문제이다.

2009학년도 수능 수리 가형 11번 문제이다.

다항함수 $f(x)$와 두 자연수 $m,\,n$이 $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x^{m}}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x)}{x^{m-1}}}=a\\ \lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x^{n}}}=b,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(x)}{x^{n-1}}}=9$$ 를 모두 만족시킬 때, 옳은 것 만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a,\,b$는 실수이다.) [4점] ㄱ. $m\geq n$ ㄴ. $ab\geq9$ ㄷ. $f(x)$가 삼차함수이면 $am=bn$이다. 풀이: 문제의 조건 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x^{m}}}=1$과 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x^{m}}}=a$로부터 문제의 다항함수 $f(x)$의 최고차항의 계수는 1, 최고차항은 $x^{m}$, 최저차항의 계수는 $b$, 최저차항은 $bx^{n}$임을 알 수 있고 이 사실로부터 $m\geq n$임을 알 수 있다. 또한 문제의 조건 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x)}{x^{m-1}}}=a$과 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(x)}{x^{n-1}}}=9$로부터 $f'(x)=mx^{m-1}+\cdots+nbx^{n-1}$이므로 $a=m$, $nb=9$임을 알 수 있다. $m\geq n$이니 ㄱ은 맞고 $a=m$, $b=\frac{9}{n}$이므로 $ab=\frac{9m}{n}$이고 ㄱ에 의해 $m\geq n$이므로 $\frac{m}{n}\geq 1$이다. 그러면 $ab=9\frac{m}{n}\geq 9$이고 따라서 ㄴ도 맞다. $f(x)$가 삼차함수이면 $a=m=3$이므로 $am=3^{2}=9$이고 $9=nb$이므로 $am=bn$이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 23번 문제이다.

최고차항의 계수가 $1$이 아닌 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f'(1)$의 값을 구하시오. [4점] (가) $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\{f(x)\}^{2}-f(x^{2})}{x^{3}f(x)}}=4$ (나) $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f'(x)}{x}}=4$ 풀이: $f(x)=ax^{n}+\cdots\,(a\neq0,\,a\neq1)$라 하자. 이 함수 $f(x)$를 조건 (가)에 대입하여 최고차항만을 비교하면 $$\frac{\{f(x)\}^{2}-f(x^{2})}{x^{3}f(x)}=\frac{a^{2}x^{2n}-ax^{2n}}{ax^{n+3}}=(a-1)x^{n-3}$$ 이고 $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{(a-1)x^{n-3}}=4$$ 이어야 하므로 $a-1=4,\,n-3=0$, 즉 $a=5,\,n=3$이다. 이제 $f(x)=5x^{3}+ax^{2}+bx+c$라고 하자. $f'(x)=15x^{2}+2ax+b$이므로 이를 조건 (나)에 대입하면 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f'(x)}{x}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{15x^{2}+2ax+b}{x}}=4$$ 이고 $a=2,\,b=0$이다. 그러면 $f'(x)=15x^{2}+4x$이고 따라서 $f'(1)=19$이다.

참고로 이 문제에서 $f(x)$를 구하려고 하지 말자. 이 문제의 정보만으로는 구할 수가 없다.