[함수의 극한] 2007학년도 수능 수리 가형 9번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번

2007학년도 수능 수리 가형 9번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)의 왼쪽에서 \(x=a\)로 접근해 갈 때의 극한값 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}\)을 함수 \(f(x)\)의 좌극한이라 하고 \(x=a\)의 오른쪽에서 \(x=a\)로 접근해 갈 때의 극한값 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}\)를 함수 \(f(x)\)의 우극한이라 한다. \(x=a\)에서 함수의 극한값이 존재하려면 \(x=a\)에서의 좌극한 값과 우극한 값이 서로 같아야 한다.

2007학년도 수능에서는 어떤 원이 반지름의 길이가 \(r\)이고 \(x\)축에 접할 때, 이 원이 특정한 원과 한 점에서 만나는 개수를 반지름 \(r\)에 대한 함수로 나타내서 이 함수의 성질을 묻는 문제가 출제되었고 2011학년도 6월 수능모의평가에서는 소수의 개수를 나타내는 함수를 이용하여 극한값을 구하는 문제가 출제되었다.

2007학년도 수능 수리 가형 9번

좌표평면에서 중심이 \(0,\,3\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원을 \(C\)라 하자. 양수 \(r\)에 대하여 \(f(r)\)를 반지름의 길이가 \(r\)인 원 중에서, 원 \(C\)와 한 점에서 만나고 동시에 \(x\)축에 접하는 원의 개수라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]   ㄱ. \(f(2)=3\)  ㄴ. \(\displaystyle\small\lim_{r\,\rightarrow\,1+}{f(r)}=f(1)\)  ㄷ. 구간 \((0,\,4)\)에서 함수 \(f(r)\)의 불연속점의 개수는 \(2\)개 이다. 풀이: 왼쪽 그림은 \(r\)값에 따른 원의 형태를 나타낸 것이다. \(0<r<1\)일 때, 반지름의 길이가 \(r\)이고 \(x\)축에 접하는 원은 \(C\)와 만나지 않기 때문에 \(f(r)=0\)이다. \(r=1\)일 때, 문제의 조건을 만족하는 원은 1개이므로 \(f(1)=1\), \(1<r<2\)일 때, 문제의 조건을 만족하는 원은 2개 이므로 \(f(r)=2\), \(r=2\)일 때, 문제의 조건을 만족하는 원은 3개 이므로 \(f(2)=3\), \(r>2\)일 때, 문제의 조건을 만족하는 원은 4개 이므로 \(f(r)=4\)이다. 그러면 \(f(2)=3\)이므로 ㄱ은 옳고, \(f(1)=1\neq2=\displaystyle\small\lim_{r\,\rightarrow\,1+}{f(r)}\)이므로 ㄴ은 옳지 않다. 함수 \(f(r)\)은 \(r=1,\,r=2\)에서만 불연속이므로 함수 \(f(r)\)의 불연속점의 개수는 2개이고 ㄷ은 옳다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

다음은 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번 문제이다. 소수와 관련된 함수의 극한 문제인데 여기서 말하는 소수가 어떤 수인지는 잘 알으리라고 믿는다. (소수는 1과 자기 자신을 약수로 갖는 수를 말한다.)

\(x\)가 양수일 때 \(x\)보다 작은 자연수 중 소수의 개수를 \(f(x)\)라 하고, 함수 \(g(x)\)를$$g(x)=\begin{cases}f(x)\,&(x>2f(x))\\ \frac{1}{f(x)}\,&(x\leq2f(x))\end{cases}$$라고 하자. 예를 들어, \(f\left(\frac{7}{2}\right)=2\)이고 \(\frac{7}{2}<2f\left(\frac{7}{2}\right)\)이므로 \(g\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{1}{2}\)이다. \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,8+}{g(x)}=\alpha,\,\lim_{x\,\rightarrow\,8-}{g(x)}=\beta\)라고 할 때, \(\frac{\alpha}{\beta}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(8\)보다 작은 소수는 \(2,\,3,\,5,\,7\)이므로 \(f(8)=4\)이다. \(0<h<1\)인 양수 \(h\)에 대하여 (1) \(8-h<x\leq8\)일 때, \(f(x)=4,\,x\leq8=2f(x)\)이므로 \(8-h<x\leq8\)일 때, \(g(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{4}\)이다. (2) \(8<x<8+h\)일 때, \(f(x)=4,\,x>8=2f(x)\)이므로 \(8<x<8+h\)일 때, \(g(x)=f(x)=4\)이다. 그러면 \(\alpha=\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,8+}{g(x)}=4,\,\beta=\lim_{x\,\rightarrow\,8-}{g(x)}=\frac{1}{4}\)이고 따라서 \(\frac{\alpha}{\beta}=4\times4=16\)이다.

참고로 이런 문제를 수학 내(內)적 문제라고 한다