[지수함수] 2007학년도 수능(11월) 공통 25번, 2009학년도 수능(11월) 공통 7번

2007학년도 수능(11월) 공통 25번, 2009학년도 수능(11월) 공통 7번

지수함수 단원은 원래는 문과(나형), 이과(가형) 공통으로 배우는 내용이나 지금은 이과만 배운다. 방정식이란 \(f(x)=g(x)\)(또는 \(h(x)=0\))형태의 식을 말하고 방정식의 해는 식 \(f(x)=g(x)(h(x)=0)\)를 만족하는 \(x\)를 말한다. 다르게 말하자면 방정식의 해는 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)(또는 함수 \(y=h(x)\)와 \(x\)축)의 교점의 \(x\)좌표라고 할 수 있다.

다음은 2007학년도 수능 25번 문제로 수리영역 가, 나형 공통문제로 출제된 문제이다. 지수함수의 교점을 구해서 푸는 문제인데 그 당시에는 문과도 이과도 이 문제를 풀었으나 지금은 이과생들만의 문제가 된 문제이다.

함수 \(y=k\cdot3^{x}(0<k<1)\)의 그래프가 두 함수 \(y=3^{-x},\,y=-4\cdot3^{x}+8\)의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P,\,Q}\)라 하자. 점 \(\mathrm{P}\)와 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표의 비가 \(1:2\)일 때, \(35k\)의 값을 구하시오. [4점]

먼저 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표를 \(\alpha\)라고 하자. 그러면 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표는 \(2\alpha\)이고 지수함수 \(y=k\cdot3^{x}\)는 \(y=3^{-x}\)와 점 \(\mathrm{P}\)에서 만나고 \(y=-4\cdot3^{x}+8\)과 점 \(\mathrm{Q}\)에서 만나므로$$k3^{\alpha}=3^{-\alpha},\,k3^{2\alpha}=-4\cdot3^{2\alpha}+8$$이고 \(3^{2\alpha}=\frac{1}{k}\)이다. \(k3^{2\alpha}=1\)이므로$$1=-\frac{4}{k}+8$$이고 \(\frac{4}{k}=7\)이므로$$k=\frac{4}{7}$$이고 따라서 \(35k=35\times\frac{4}{7}=20\)이다.

이 문제는 겉으로 4점이나 실제 난이도로는 3점 정도이다.

다음은 2009학년도 수능 7번 문제이고 역시 공통으로 출제된 문제이다.

두 지수함수 \(f(x)=a^{bx-1},\,g(x)=a^{1-bx}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 함수 \(y=g(x)\)의 그래프는 직선 \(x=2\)에 대하여 대칭이다. (나) \(f(4)+g(4)=\frac{5}{2}\) 두 상수 \(a,\,b\)의 합 \(a+b\)의 값은? (단, \(0<a<1\)) [3점]

조건 (가)에 의해 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)는 \(x=2\)에 대하여 대칭이고 정의역이 실수 전체이므로 \(x=2\)에서 만난다. 즉, \(f(2)=g(2)\)이다. 그러면$$a^{2b-1}=f(2)=g(2)=a^{1-2b}$$이고 \(0<a<1\)이므로 \(2b-1=1-2b\)이고 \(b=\frac{1}{2}\)이다.

그러면 \(f(x)=a^{\frac{1}{2}x-1},\,g(x)=a^{1-\frac{1}{2}x}\)이고 조건 (나)에서 \(f(4)+g(4)=\frac{5}{2}\)이므로 \(f(4)=a^{2-1}=a,\,g(4)=a^{1-2}=a^{-1}=\frac{1}{a}\)이고$$a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$$이므로 \(2a^{2}-5a+2=(2a-1)(a-2)=0\)이고 \(0<a<1\)이므로 \(a=\frac{1}{2}\)이다. 따라서 \(a+b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)이다.