[지수함수] 2007학년도 수능(11월) 공통 25번, 2009학년도 수능(11월) 공통 7번

2007학년도 수능(11월) 공통 25번, 2009학년도 수능(11월) 공통 7번

지수함수 단원은 원래는 문과(나형), 이과(가형) 공통으로 배우는 내용이나 지금은 이과만 배운다. 방정식이란 $f(x)=g(x)$(또는 $h(x)=0$)형태의 식을 말하고 방정식의 해는 식 $f(x)=g(x)(h(x)=0)$를 만족하는 $x$를 말한다. 다르게 말하자면 방정식의 해는 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$(또는 함수 $y=h(x)$와 $x$축)의 교점의 $x$좌표라고 할 수 있다.

다음은 2007학년도 수능 25번 문제로 수리영역 가, 나형 공통문제로 출제된 문제이다. 지수함수의 교점을 구해서 푸는 문제인데 그 당시에는 문과도 이과도 이 문제를 풀었으나 지금은 이과생들만의 문제가 된 문제이다.

함수 $y=k\cdot3^{x}(0<k<1)$의 그래프가 두 함수 $y=3^{-x},\,y=-4\cdot3^{x}+8$의 그래프와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P,\,Q}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표의 비가 $1:2$일 때, $35k$의 값을 구하시오. [4점]

먼저 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $\alpha$라고 하자. 그러면 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $2\alpha$이고 지수함수 $y=k\cdot3^{x}$는 $y=3^{-x}$와 점 $\mathrm{P}$에서 만나고 $y=-4\cdot3^{x}+8$과 점 $\mathrm{Q}$에서 만나므로 $$k3^{\alpha}=3^{-\alpha},\,k3^{2\alpha}=-4\cdot3^{2\alpha}+8$$ 이고 $3^{2\alpha}=\frac{1}{k}$이다. $k3^{2\alpha}=1$이므로 $$1=-\frac{4}{k}+8$$ 이고 $\frac{4}{k}=7$이므로 $$k=\frac{4}{7}$$ 이고 따라서 $35k=35\times\frac{4}{7}=20$이다.

이 문제는 겉으로 4점이나 실제 난이도로는 3점 정도이다.

다음은 2009학년도 수능 7번 문제이고 역시 공통으로 출제된 문제이다.

두 지수함수 $f(x)=a^{bx-1},\,g(x)=a^{1-bx}$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=2$에 대하여 대칭이다. (나) $f(4)+g(4)=\frac{5}{2}$ 두 상수 $a,\,b$의 합 $a+b$의 값은? (단, $0<a<1$) [3점]

조건 (가)에 의해 $y=f(x)$와 $y=g(x)$는 $x=2$에 대하여 대칭이고 정의역이 실수 전체이므로 $x=2$에서 만난다. 즉, $f(2)=g(2)$이다. 그러면 $$a^{2b-1}=f(2)=g(2)=a^{1-2b}$$ 이고 $0<a<1$이므로 $2b-1=1-2b$이고 $b=\frac{1}{2}$이다.

그러면 $f(x)=a^{\frac{1}{2}x-1},\,g(x)=a^{1-\frac{1}{2}x}$이고 조건 (나)에서 $f(4)+g(4)=\frac{5}{2}$이므로 $f(4)=a^{2-1}=a,\,g(4)=a^{1-2}=a^{-1}=\frac{1}{a}$이고 $$a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$$ 이므로 $2a^{2}-5a+2=(2a-1)(a-2)=0$이고 $0<a<1$이므로 $a=\frac{1}{2}$이다. 따라서 $a+b=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$이다.