2007학년도 수능(11월) 공통 25번, 2009학년도 수능(11월) 공통 7번
지수함수 단원은 원래는 문과(나형), 이과(가형) 공통으로 배우는 내용이나 지금은 이과만 배운다. 방정식이란 f(x)=g(x)(또는 h(x)=0)형태의 식을 말하고 방정식의 해는 식 f(x)=g(x)(h(x)=0)를 만족하는 x를 말한다. 다르게 말하자면 방정식의 해는 함수 y=f(x)와 y=g(x)(또는 함수 y=h(x)와 x축)의 교점의 x좌표라고 할 수 있다.
다음은 2007학년도 수능 25번 문제로 수리영역 가, 나형 공통문제로 출제된 문제이다. 지수함수의 교점을 구해서 푸는 문제인데 그 당시에는 문과도 이과도 이 문제를 풀었으나 지금은 이과생들만의 문제가 된 문제이다.
함수 y=k⋅3x(0<k<1)의 그래프가 두 함수 y=3−x,y=−4⋅3x+8의 그래프와 만나는 점을 각각 P,Q라 하자. 점 P와 점 Q의 x좌표의 비가 1:2일 때, 35k의 값을 구하시오. [4점] |
먼저 점 P의 x좌표를 α라고 하자. 그러면 점 Q의 x좌표는 2α이고 지수함수 y=k⋅3x는 y=3−x와 점 P에서 만나고 y=−4⋅3x+8과 점 Q에서 만나므로k3α=3−α,k32α=−4⋅32α+8이고 32α=1k이다. k32α=1이므로1=−4k+8이고 4k=7이므로k=47이고 따라서 35k=35×47=20이다.
이 문제는 겉으로 4점이나 실제 난이도로는 3점 정도이다.
다음은 2009학년도 수능 7번 문제이고 역시 공통으로 출제된 문제이다.
두 지수함수 f(x)=abx−1,g(x)=a1−bx이 다음 조건을 만족시킨다.
두 상수 a,b의 합 a+b의 값은? (단, 0<a<1) [3점] |
조건 (가)에 의해 y=f(x)와 y=g(x)는 x=2에 대하여 대칭이고 정의역이 실수 전체이므로 x=2에서 만난다. 즉, f(2)=g(2)이다. 그러면a2b−1=f(2)=g(2)=a1−2b이고 0<a<1이므로 2b−1=1−2b이고 b=12이다.
그러면 f(x)=a12x−1,g(x)=a1−12x이고 조건 (나)에서 f(4)+g(4)=52이므로 f(4)=a2−1=a,g(4)=a1−2=a−1=1a이고a+1a=52이므로 2a2−5a+2=(2a−1)(a−2)=0이고 0<a<1이므로 a=12이다. 따라서 a+b=12+12=1이다.
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