[수열] 2006학년도 9월 수능모의평가 공통 24번, 2010학년도 수능(11월) 수리 나형 25번

2006학년도 9월 수능모의평가 공통 24번, 2010학년도 수능(11월) 수리 나형 25번

수열의 규칙을 이용하여 도형을 채우는 문제가 출제 된 적이 있었다. 2006학년도 9월 모의평가 24번에 공통 문제로 작은 정육면체를 어떤 규칙에 따라 정육면체 상자 안에 채워넣는데 몇번째에 다 채워지는가를 묻는 문제가 출제되었고 2010학년도 수능 수리 나형에 변별력 문제로 내부의 일정 영역이 없는 정사각형 내부에 작은 정사각형을 최대한 몇개 채울 수 있는가를 묻는 문제가 출제되었다.

2006학년도 9월 모의평가 수리 가, 나형 공통 24번. 작은 정육면체를 정해진 규칙에 따라 상자에 채우면 몇 번째에 채워지는가를 묻는 문제이다.

한 변의 길이가 70cm인 정육면체 모양의 상자에 한 변의 길이가 10cm인 정육면체 모양의 나무블록을 다음 규칙에 따라 빈틈없이 가득 채우려고 한다.   $n$번째에 넣는 나무블록의 개수를 $a_{n}$이라 할 때, (가) $a_{1}=10$ (나) $a_{n+1}=\left[\frac{a_{n}}{2}\right]+3$, $n=1,\,2,\,3,\,\cdots$      (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.) (다) 상자를 가득 채우면 나무블록 넣기를 멈춘다. $k$번째에 상자를 가득 채웠다고 할 때, $k$의 값을 구하시오. (단, 상자의 두께는 무시한다.) [4점]

먼저 나무블록과 상자의 부피를 구하자. 나무블록의 부피는 $10\times10\times10=1000\mathrm{cm^{3}}$이고 상자의 부피는 $70\times70\times70=343000\mathrm{cm^{3}}$이다. 그러면 나무블록을 $\frac{343000}{1000}=343$개 넣어야 상자를 가득 채울 수 있다.

문제의 규칙은 첫 번째에 10개의 나무블록을 넣고 그 다음에는 $a_{n+1}=\left[\frac{a_{n}}{2}\right]+3$의 규칙을 따라 나무블록을 넣는다. $a_{1}=10$이므로 $$a_{2}=\left[\frac{a_{1}}{2}\right]+3=\left[\frac{10}{2}\right]+3=5+3=8$$ $a_{2}=8$이므로 $$a_{3}=\left[\frac{a_{2}}{2}\right]+3=\left[\frac{8}{2}\right]+3=4+3=7$$ $a_{3}=7$이므로 $$a_{4}=\left[\frac{a_{3}}{2}\right]+3=\left[\frac{7}{2}\right]+3=3+3=6$$ $a_{4}=6$이므로 $$a_{5}=\left[\frac{a_{4}}{2}\right]+3=\left[\frac{6}{2}\right]=3+3=6$$ 이다.

$a_{1}=10,\,a_{2}=8,\,a_{3}=7$이고 4이상의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n}=6$이다.

나무블록을 3번 넣으면 $343-(10+8+7)=318$이고 $318=6\times53$이므로 $3+53=58$번 블록넣기를 해야 상자를 가득 채울 수 있다. 따라서 $k=58$이다.

4점 짜리 문제이나 싱겁다. 다음의 문제는 2010학년도 수능 수리 나형 25번 문제이고 정사각형을 채우는 문제인데 앞에서 다뤘던 상자채우기 문제보다 난이도가 높다. 즉 상자채우기 문제보다 어렵다.

2010학년도 수능 수리 나형 25번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{A}$와 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $\mathrm{B}$는 변이 서로 평행하고, $\mathrm{A}$의 두 대각선의 교점과 $\mathrm{B}$의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여 있다. $\mathrm{A}$와 $\mathrm{A}$내부에서 $\mathrm{B}$의 내부를 제외한 영역을 $\mathrm{R}$라 하자.  2 이상인 자연수 $n$에 대하여 한 변의 길이가 $\frac{1}{n}$인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 $\mathrm{R}$에 그린다. (가) 작은 정사각형의 한 변은 $\mathrm{A}$의 한 변에 평행하다. (나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다. 이와 같은 규칙에 따라 $\mathrm{R}$에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 $\frac{1}{n}$인 작은 정사각형의 최대 개수를 $a_{n}$이라 하자. 예를들어, $a_{2}=12,\,a_{3}=20$이다. $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{2n+1}-a_{2n}}{a_{2n}-a_{2n-1}}}=c$라 할 때, $100c$의 값을 구하시오. [4점]

 수열 $a_{n}$을 한 번에 구하는게 아니라 홀수항 짝수항 따로 구해야 한다. 먼저 짝수항 $a_{2n}$부터 구하자. $2=2n\times\frac{1}{n},\,1=n\times\frac{1}{n}$이므로 $$a_{2n}=(4n)^{2}-(2n)^{2}=12n^{2}$$ 이다. 사실 짝수일 때는 숫자가 딱 떨어지기(나누어 떨어짐) 때문에 구하기가 가장 쉽다. 그렇다면 홀수항이 남았는데 홀수항 구하는 것이 가장 복잡하다.

위의 왼쪽 그림은 $n=3$일 때를 나타낸 것이고 오른쪽 그림은 $n=5$일 때를 나타낸 것이다. 내부에 있는 큰 정사각형은 한 변의 길이가 1인 정사각형이다. 홀수항을 구할 때 $2n$등분 된 정사각형의 개수를 길이가 1인 정사각형과 겹치는 정사각형의 개수로 빼면 된다.

$n=3$일 때 $$a_{3}=(2(2\times1+1))^{2}-(2\times1+2)^{2}=36-16=20$$ 이고 $n=5$일 때 $$a_{5}=(2(2\times2+1))^{2}-(2\times2+2)^{2}=100-36=64$$ 이다. 그러면 $$a_{2n+1}=(2(2n+1))^{2}-(2n+2)^{2}=(4n+2)^{2}-(2n+2)^{2}=12n^{2}+8n$$ 이다.

이렇게 해서 홀수항, 짝수항 다 구했으니 문제에서 요구하는 극한값만 구하면 된다. $a_{2n}=12n^{2}$, $a_{2n+1}=12n^{2}+8n$이므로 $a_{2n-1}=12(n-1)^{2}+8(n-1)=12n^{2}-16n+4$이고 $$\frac{a_{2n+1}-a_{2n}}{a_{2n}-a_{2n-1}}=\frac{8n}{16n-4}=\frac{2n}{4n-1}$$ 이다. 따라서 $$c=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{2n+1}-a_{2n}}{a_{2n}-a_{2n-1}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{2n}{4n-1}}=\frac{1}{2}$$ 이고 $100c=50$이다.

(원래 이 문제는 수열의 극한 문제이나 문제풀이의 핵심이 수열을 구하는 데 있어서 수열문제라고 했다.)