[공간도형-정사영] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 25번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 25번

2007학년도 9월 수능모의평가 25번, 2009학년도 9월 수능모의평가 25번

평면 위에 있지 않은 한 점에서 평면으로 내린 수선의 발을 정사영이라고 한다.

선분 \(\mathrm{AB}\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 각도가 \(\theta\)일 때, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영의 길이는  \(\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta\)이다.

또한 평면\(\alpha\)와 평면\(\beta\)가 이루는 사이각이 \(\theta\)일 때, 평면 \(\alpha\)위에 있는 넓이가 \(S\)인 평면도형 \(\mathrm{ABCD}\)의 평면 \(\beta\)위로의 정사영의 넓이는 \(S\cos\theta\)이다.(정사영할 도형이 직사각형이 아니어도 이 식은 성립한다.)

(사진출처: http://koc.chunjae.co.kr/Dic/dicDetail.do?idx=22599)

태양광선과 판이 있을 때 태양광선에 의한 판의 그림자는 판의 지면으로의 정사영이다.. 2007학년도 9월 수능 모의평가에 태양광선을 받는 판의 그림자의 넓이를 구하는 문제가 출제되었고, 2009학년도 9월 수능 모의평가에 태양광선을 받는 판의 그림자의 넓이의 최댓값을 묻는 문제가 출제되었다

2007학년도 9월 수능 모의평가 수리 가형 25번

서로 수직인 두 평면 \(\alpha,\,\beta\)의 교선을 \(l\)이라 하자. 반지름의 길이가 \(6\)인 원판이 두 평면 \(\alpha,\,\beta\)와  각각 한 점에서 만나고 교선 \(l\)에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 \(\alpha\)와 \(30^{\circ}\)의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 \(\beta\)에 나타나는 원판의 그림자의 넓이를 \(S\)라 하자. \(S\)의 값을 \(a+b\sqrt{3}\)라 할 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\,b\)는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.) [4점]

위의 왼쪽 그림을 보자 이 왼쪽 그림으로부터 원판의 평면 \(\beta\)위로의 정사영은 오른쪽 원판에서 빗금친 부분이 태양광선에 의해 생긴 그림자와 같다. 또한 원판의 평면 \(\beta\)위로의 정사영을 원판으로 다시 정사영하면 그 정사영은 오른쪽 그림의 원판에서 빗금친 부분이다. 오른쪽 그림의 원판에서 빗금 친 부분의 넓이를 구하면 \(\frac{2}{3}\times36\pi+\frac{1}{2}\times3\times2(3\sqrt{3})=24\pi+9\sqrt{3}\)이다. 평면 \(\beta\)와 원판이 이루는 각도가 30º이므로 \(S\cos30\)º\(=\frac{\sqrt{3}}{2}S=9\sqrt{3}+24\pi\)이고 따라서 \(S=18+16\sqrt{3}\pi\), \(a=18,\,b=16\)이고 \(a+b=34\)이다.

2009학년도 9월 수능 모의평가 수리 가형 25번

그림과 같이 태양광선이 지면과 60º의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 \(4\)인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 \(1\)인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광선과 30º의 각을 이루고 있다. 판의 밑면을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 \(S\)라 하자. \(S\)의 값을 \(\frac{\sqrt{3}(a+b\pi)}{3}\)라 할 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\,b\)는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) [4점]

먼저 판의 넓이를 구하자. 판은 한 변의 길이가 \(4\)인 정사각형이고 그 중앙에 반지름이 \(1\)인 원 모양의 구멍이 뚫려 있기 때문에 그 넓이는 \(4^{2}-1^{2}\pi=16-\pi\)이다.

위의 그림을 보면 판이 지면과 이루는 각도가 30º이고 이 때가 그림자의 넓이가 최대이다. 그러면 \(S\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}S=16-\pi\)이고 \(S=\frac{\sqrt{3}(32-2\pi)}{3}\)이므로 \(a=32,\,b=-2\)이고 따라서 \(a+b=30\)이다.