[벡터] 2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 7번

2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 7번

두 벡터의 내적을 구할 때, 내적의 값이 최소일 때는 두 벡터가 서로 반대방향으로 있는 것이고 최대일 때는 두 벡터가 같은방향으로 있는 것이다. 원점 \(\mathrm{O}\)를 시점으로 하는 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)에 대하여 \(|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}\)이므로 이 값이 최대이려면 내적 값이 최대이어야 하고 따라서 두 벡터가 같아야 한다. 반대로 이 값이 최소이려면 내적 값이 최소이어야 하고 따라서 두 벡터가 서로 다른 방향이어야 한다.

2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번 문제이다.

두 평면 \(\alpha,\,\beta\)의 교선을 \(l\)이라 하자. 평면 \(\alpha\)위에 있는 원 \(S_{1}\)과 평면 \(\beta\)위에 있는 원 \(S_{2}\)는 반지름의 길이가 모두 \(2\)이다. 그림과 같이 원 \(S_{1}\)과 원 \(S_{2}\)는 점 \(\mathrm{C}\)에서 직선 \(l\)과 접한다. \(S_{1}\)의 중심 \(\mathrm{O}_{1}\)을 지나고 평면 \(\alpha\)에 수직인 직선과 \(S_{2}\)의 중심 \(\mathrm{O}_{2}\)를 지나고 평면 \(\beta\)에 수직인 직선이 만나는 점을 \(\mathrm{P}\)라 하자. \(\angle\mathrm{O_{1}CO_{2}}=\frac{2}{3}\pi\)일 때, \(S_{1}\)위에 있는 임의의 점 \(\mathrm{A}\)와 \(S_{2}\)위에 있는 임의의 점 \(\mathrm{B}\)에 대하여 \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M+m\)의 값을 구하시오. [4점]

먼저 \(\overline{\mathrm{PA}},\,\overline{\mathrm{PB}}\)의 값을 구하자. 점 \(\mathrm{A,\,B}\)에 관계없이 항상 \(\angle\mathrm{APO_{1}}=\angle\mathrm{BPO_{2}}=\frac{\pi}{6}\)이고 두 원 \(S_{1},\,S_{2}\)의 반지름의 길이가 \(2\)이므로$$\frac{2}{\overline{\mathrm{PA}}}=\frac{2}{\overline{\mathrm{PB}}}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$이고 \(\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}}=4\)이다. \(\angle\mathrm{O_{1}PO_{2}}=\frac{\pi}{3}\)이므로 \(\angle\mathrm{APB}=\frac{2}{3}\pi\)일 때, \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\)의 값은 최소이고 \(\angle\mathrm{APB}=0\)일 때, \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\)의 값은 최대이다.

\(\angle\mathrm{APB}=\frac{2}{3}\pi\)일 때, \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-8\)이므로 $$m=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}+2(-8)}=4$$이다.

\(\angle\mathrm{APB}=0\)일 때 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\)이므로$$M=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2\times4=8$$이다.

\(m=4,\,M=8\)이므로 따라서 \(M+m=12\)이다.

2009학년도 9월 모의평가 수리 가형 7번 문제이다.

평면 위의 두 점 \(\mathrm{O_{1},\,O_{2}}\) 사이의 거리가 \(1\)일 때, \(\mathrm{O_{1},\,O_{2}}\)를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\)인 두 원의 교점을 \(\mathrm{A,\,B}\)라 하자. 호 \(\mathrm{AO_{2}B}\)위의 점 \(\mathrm{P}\)와 호 \(\mathrm{AO_{1}B}\)위의 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}\)의 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)라 할 때, \(M+m\)의 값은? [3점]

점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\)는 각각 호 \(\mathrm{AO_{2}B}\), \(\mathrm{AO_{1}B}\) 위를 움직이는 점이다. 그러면 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}\)가 이룰 수 있는 각 \(\theta\)의 범위는$$\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\pi$$이다. \(\theta=\frac{\pi}{3}\)일 때는 점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\)가 일치하는 경우(또는 점 \(\mathrm{P(=Q)}\)와 \(\mathrm{O_{1},\,O_{2}}\)가 정삼각형의 꼭짓점)이고 \(\theta=\pi\)일 때는 두 벡터의 방향이 서로 다른 경우이다. 두 점 \(\mathrm{O_{1},\,O_{2}}\) 사이의 거리가 \(1\)이므로 두 원의 반지름의 길이도 \(1\)이고

\(\theta=\frac{\pi}{3}\)일 때 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}\)의 내적의 값이 최대이고 \(M=\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_{2}P}}=1\times1\times\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)이다.

\(\theta=\pi\)일 때 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}\)의 내적의 값이 최소이고 \(m=\overrightarrow{O_{1}P}\cdot\overrightarrow{O_{2}Q}=1\times1\times\cos\pi=-1\)이다.

따라서 \(M=\frac{1}{2},\,m=-1\)이고 \(M+m=-\frac{1}{2}\)이다.

이 두 벡터문제는 현재 수능문제 수준에서는 가장 쉬운 축에 속하는 문제이다.