[벡터] 2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 7번

2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 7번

두 벡터의 내적을 구할 때, 내적의 값이 최소일 때는 두 벡터가 서로 반대방향으로 있는 것이고 최대일 때는 두 벡터가 같은방향으로 있는 것이다. 원점 $\mathrm{O}$를 시점으로 하는 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}$에 대하여 $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$이므로 이 값이 최대이려면 내적 값이 최대이어야 하고 따라서 두 벡터가 같아야 한다. 반대로 이 값이 최소이려면 내적 값이 최소이어야 하고 따라서 두 벡터가 서로 다른 방향이어야 한다.

2006학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번 문제이다.

두 평면 $\alpha,\,\beta$의 교선을 $l$이라 하자. 평면 $\alpha$위에 있는 원 $S_{1}$과 평면 $\beta$위에 있는 원 $S_{2}$는 반지름의 길이가 모두 $2$이다. 그림과 같이 원 $S_{1}$과 원 $S_{2}$는 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $l$과 접한다. $S_{1}$의 중심 $\mathrm{O}_{1}$을 지나고 평면 $\alpha$에 수직인 직선과 $S_{2}$의 중심 $\mathrm{O}_{2}$를 지나고 평면 $\beta$에 수직인 직선이 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 하자. $\angle\mathrm{O_{1}CO_{2}}=\frac{2}{3}\pi$일 때, $S_{1}$위에 있는 임의의 점 $\mathrm{A}$와 $S_{2}$위에 있는 임의의 점 $\mathrm{B}$에 대하여 $|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M+m$의 값을 구하시오. [4점]

먼저 $\overline{\mathrm{PA}},\,\overline{\mathrm{PB}}$의 값을 구하자. 점 $\mathrm{A,\,B}$에 관계없이 항상 $\angle\mathrm{APO_{1}}=\angle\mathrm{BPO_{2}}=\frac{\pi}{6}$이고 두 원 $S_{1},\,S_{2}$의 반지름의 길이가 $2$이므로 $$\frac{2}{\overline{\mathrm{PA}}}=\frac{2}{\overline{\mathrm{PB}}}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$ 이고 $\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}}=4$이다. $\angle\mathrm{O_{1}PO_{2}}=\frac{\pi}{3}$이므로 $\angle\mathrm{APB}=\frac{2}{3}\pi$일 때, $|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 값은 최소이고 $\angle\mathrm{APB}=0$일 때, $|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$의 값은 최대이다.

$\angle\mathrm{APB}=\frac{2}{3}\pi$일 때, $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PA}}\,\overline{\mathrm{PB}}\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-8$이므로 $$m=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}+2(-8)}=4$$ 이다.

$\angle\mathrm{APB}=0$일 때 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}$이므로 $$M=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2\times4=8$$ 이다.

$m=4,\,M=8$이므로 따라서 $M+m=12$이다.

2009학년도 9월 모의평가 수리 가형 7번 문제이다.

평면 위의 두 점 $\mathrm{O_{1},\,O_{2}}$ 사이의 거리가 $1$일 때, $\mathrm{O_{1},\,O_{2}}$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 두 원의 교점을 $\mathrm{A,\,B}$라 하자. 호 $\mathrm{AO_{2}B}$위의 점 $\mathrm{P}$와 호 $\mathrm{AO_{1}B}$위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}$의 내적 $\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$라 할 때, $M+m$의 값은? [3점]

점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$는 각각 호 $\mathrm{AO_{2}B}$, $\mathrm{AO_{1}B}$ 위를 움직이는 점이다. 그러면 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}$가 이룰 수 있는 각 $\theta$의 범위는 $$\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\pi$$ 이다. $\theta=\frac{\pi}{3}$일 때는 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$가 일치하는 경우(또는 점 $\mathrm{P(=Q)}$와 $\mathrm{O_{1},\,O_{2}}$가 정삼각형의 꼭짓점)이고 $\theta=\pi$일 때는 두 벡터의 방향이 서로 다른 경우이다. 두 점 $\mathrm{O_{1},\,O_{2}}$ 사이의 거리가 $1$이므로 두 원의 반지름의 길이도 $1$이고

$\theta=\frac{\pi}{3}$일 때 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}$의 내적의 값이 최대이고 $M=\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O_{2}P}}=1\times1\times\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$이다.

$\theta=\pi$일 때 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{O_{1}P}},\,\overrightarrow{\mathrm{O_{2}Q}}$의 내적의 값이 최소이고 $m=\overrightarrow{O_{1}P}\cdot\overrightarrow{O_{2}Q}=1\times1\times\cos\pi=-1$이다.

따라서 $M=\frac{1}{2},\,m=-1$이고 $M+m=-\frac{1}{2}$이다.

이 두 벡터문제는 현재 수능문제 수준에서는 가장 쉬운 축에 속하는 문제이다.