[함수의 극한] 2007학년도 6월 수능 모의평가 수리 가형 미분과적분 30번, 2011학년도 6월 수능 모의평가 미분과적분 29번

2007학년도 6월 수능 모의평가 수리 가형 미분과적분 30번, 2011학년도 6월 수능 모의평가 미분과적분 29번

값이 \(2.71...\)인 무리수 \(e\)의 정의는 \(\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=e\)이고 이를 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e\)로도 나타낼 수 있다. 이를 이용하여 다음과 같이 로그함수와 지수함수의 극한을 정의할 수 있다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1$$조금 더 일반적으로 나타내자면 \(0\)이 아닌 실수 \(p,\,q\)에 대하여$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{pn}\right)^{qn}}=e^{\frac{q}{p}}\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+px)}{qx}}=\frac{p}{q},\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{px}-1}{qx}}=\frac{p}{q}$$\(a\neq1,\,a>0\)일 때 \(\log_{a}{x}=\frac{\ln x}{\ln a}\)이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\log_{a}(1+x)}{x}}=\frac{1}{\ln a},\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\log_{a}(1+px)}{qx}}=\frac{p}{q\ln a}$$이고 또한$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln a,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{a^{px}-1}{qx}}=\frac{p}{q}\ln a$$이다.

왼쪽 그림을 이용하여 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1\)임을 보일 수 있다. \(\angle\mathrm{BOA}=x\)라 하면

삼각형BOA의 넓이≤부채꼴BOA의 넓이≤삼각형TOA의 넓이

이므로$$\frac{1}{2}\sin x\leq\frac{1}{2}x\leq\frac{1}{2}\tan x$$이고$$\cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\cos x}=1=\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{1}$$이므로 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin x}{x}}=1\)이다. \(t=-x\)로 놓고 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0-}{\frac{\sin x}{x}}=1\)임을 보일 수 있고 따라서 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1\)이다.

(사진출처: http://koc.chunjae.co.kr/Dic/dicDetail.do?idx=32790)

다음은 2007학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 30번 문제이다.

두 양수 \(a,\,b\)가 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-a}}=\frac{b}{2\ln2}\)를 만족시킬 때, \(ab\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\sin7x}=0,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-2}}=\frac{b}{2\ln2}\)이므로 \(\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(2^{x+1}-a)}=2-a=0\)이어야 한다. 따라서 \(a=2\)이다. 그러면$$\frac{\sin7x}{2^{x+1}-2}=\frac{\frac{\sin7x}{7x}\cdot7x}{2\frac{2^{x}-1}{x}\cdot x}=\frac{\sin7x}{7x}\frac{x}{2^{x}-1}\frac{7}{2}$$이고$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-1}}=1\cdot\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{2\ln2}$$ 따라서 \(b=7\)이다. 그러므로 \(ab=2\times7=14\)이다.

다음은 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다. 앞의 문제와 비슷하다.

세 양수 \(a,\,b,\,c\)에 대하여$$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x^{a}\ln\left(b+\frac{c}{x^{2}}\right)}=2$$일 때, \(a+b+c\)의 값은? [4점] 풀이:$$x^{a}\ln\left(b+\frac{c}{x^{2}}\right)=\ln\left(1+\frac{c}{bx^{2}}\right)^{x^{a}}+x^{a}\ln b$$이므로 우선 \(b=1\)이어야 한다. 그러면$$x^{a}\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)=\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)^{c\frac{x^{a}}{c}}=c\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)^{\frac{x^{2}}{c}}$$이므로 \(a=2,\,c=2\)이다. 따라서 \(a+b+c=2+1+2=5\)이다.

이 두 문제 다 4점이지만 기본적인 지수, 로그, 삼각함수의 극한의 성질을 알면 풀 수 있는 문제이다.