[함수의 극한] 2007학년도 6월 수능 모의평가 수리 가형 미분과적분 30번, 2011학년도 6월 수능 모의평가 미분과적분 29번

2007학년도 6월 수능 모의평가 수리 가형 미분과적분 30번, 2011학년도 6월 수능 모의평가 미분과적분 29번

값이 $2.71...$인 무리수 $e$의 정의는 $\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=e$이고 이를 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$로도 나타낼 수 있다. 이를 이용하여 다음과 같이 로그함수와 지수함수의 극한을 정의할 수 있다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1$$ 조금 더 일반적으로 나타내자면 $0$이 아닌 실수 $p,\,q$에 대하여 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{pn}\right)^{qn}}=e^{\frac{q}{p}}\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+px)}{qx}}=\frac{p}{q},\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{px}-1}{qx}}=\frac{p}{q}$$ $a\neq1,\,a>0$일 때 $\log_{a}{x}=\frac{\ln x}{\ln a}$이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\log_{a}(1+x)}{x}}=\frac{1}{\ln a},\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\log_{a}(1+px)}{qx}}=\frac{p}{q\ln a}$$ 이고 또한 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln a,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{a^{px}-1}{qx}}=\frac{p}{q}\ln a$$ 이다.

왼쪽 그림을 이용하여 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1$임을 보일 수 있다. $\angle\mathrm{BOA}=x$라 하면

삼각형BOA의 넓이≤부채꼴BOA의 넓이≤삼각형TOA의 넓이

이므로 $$\frac{1}{2}\sin x\leq\frac{1}{2}x\leq\frac{1}{2}\tan x$$ 이고 $$\cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\cos x}=1=\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{1}$$ 이므로 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin x}{x}}=1$이다. $t=-x$로 놓고 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0-}{\frac{\sin x}{x}}=1$임을 보일 수 있고 따라서 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1$이다.

(사진출처: http://koc.chunjae.co.kr/Dic/dicDetail.do?idx=32790)

다음은 2007학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 30번 문제이다.

두 양수 $a,\,b$가 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-a}}=\frac{b}{2\ln2}$를 만족시킬 때, $ab$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\sin7x}=0,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-2}}=\frac{b}{2\ln2}$이므로 $\displaystyle\small\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(2^{x+1}-a)}=2-a=0$이어야 한다. 따라서 $a=2$이다. 그러면 $$\frac{\sin7x}{2^{x+1}-2}=\frac{\frac{\sin7x}{7x}\cdot7x}{2\frac{2^{x}-1}{x}\cdot x}=\frac{\sin7x}{7x}\frac{x}{2^{x}-1}\frac{7}{2}$$ 이고 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin7x}{2^{x+1}-1}}=1\cdot\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{2\ln2}$$ 따라서 $b=7$이다. 그러므로 $ab=2\times7=14$이다.

다음은 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다. 앞의 문제와 비슷하다.

세 양수 $a,\,b,\,c$에 대하여 $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{x^{a}\ln\left(b+\frac{c}{x^{2}}\right)}=2$$ 일 때, $a+b+c$의 값은? [4점] 풀이: $$x^{a}\ln\left(b+\frac{c}{x^{2}}\right)=\ln\left(1+\frac{c}{bx^{2}}\right)^{x^{a}}+x^{a}\ln b$$ 이므로 우선 $b=1$이어야 한다. 그러면 $$x^{a}\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)=\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)^{c\frac{x^{a}}{c}}=c\ln\left(1+\frac{c}{x^{2}}\right)^{\frac{x^{2}}{c}}$$ 이므로 $a=2,\,c=2$이다. 따라서 $a+b+c=2+1+2=5$이다.

이 두 문제 다 4점이지만 기본적인 지수, 로그, 삼각함수의 극한의 성질을 알면 풀 수 있는 문제이다.