[확률] 2009학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2010학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 확률과통계 28번

2009학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2010학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 확률과통계 28번

$P(A),\,P(B)>0$인 두 사건 $A,\,B$에 대하여 사건 $B$가 일어난 상황에서 사건 $A$가 일어날 확률, 즉 조건부확률은

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ 이다. 반대로 사건 $A$가 일어난 상황에서 사건 $B$가 일어날 조건부확률은 $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$ 이다. 두 사건 $A,\,B$가 동시에 일어날 확률은 사건 $A$가 먼저 일어났다면 $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$이고 반대로 사건 $B$가 먼저 일어났다면, $P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$이다. 만약 $P(A|B)=P(A)$ 이거나 $P(B|A)=P(B)$이면 이때 사건 $A$와 $B$는 서로 독립이라고 한다. 사건 $A$와 $B$가 서로 독립이면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이다.

2009학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 문제로 어떤 함수의 치역이 $Z$가 될 확률을 묻는 문제가 출제되었다.

집합 $X=\{1,\,2,\,3\},\,Y=\{1,\,2,\,3,\,4\},\,Z=\{0,\,1\}$에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$ 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 $g:\,Y\,\rightarrow\,Z$ 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 $g\circ f:\,X\,\rightarrow\,Z$를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 $Z$일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] (가) $X$의 임의의 두 원소 $x_{1},\,x_{2}$에 대하여 $x_{1}\neq x_{2}$이면, $f(x_{1})\neq f(x_{2})$이다. (나) $g$의 치역은 $Z$이다.

사건 $A$를 "조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$ 중에서 임의로 하나를 선택하고 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 $g:\,Y\,\rightarrow\,Z$ 중에서 임의로 하나를 선택한다.", 사건 $B$를 "합성함수 $g\circ f$의 치역은 $Z$이다."라고 하자. 그러면 전체 경우의 수가 $4^{3}\times2^{4}=64\times16$, 사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $_{4}\textrm{P}_{3}\times(2^{4}-2)=24\times14$(2는 조건 (나)를 만족하지 않는 경우의 수이다.)이므로 사건 $A$가 일어날 확률은 $P(A)=\frac{24\times14}{64\times16}$이다. 이때 사건 $A$, $B$가 동시에 일어나는 경우, 즉 사건 $A\cap B$가 일어나는 경우의 수는 $24\times(14-2)=24\times12$인데 $14$에서 $2$를 빼는 이유는 $X$의 원소의 개수가 $3$개이고 $Y$의 원소의 개수가 $4$개 인데 함수 $g$ 중에서 함수 $f$에 대응된 원소들이 $Z$의 한 원소에 대응되는 경우와 $f$에 대응되지 않은 원소가 $Z$의 다른 원소에 대응되는 경우가 있기 때문이다. 이러한 경우를 배제한 것이다. 그러면 $P(A\cap B)=\frac{24\times12}{64\times16}$이다.

 문제에서 요구하는 것은 조건 (가)를 만족하는 함수 $f$와 조건 (나)를 만족하는 함수 $g$를 선택해서 합성함수 $g\circ f$를 만드는데 이때 이 합성함수의 치역이 $Z$가 될 확률이다. 이는 사건 $A$가 일어난 다음에 사건 $B$가 일어날 확률과 같다. 따라서 $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$$ 이고 $p+q=7+6=13$이다.

다음의 문제는 2010학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 '확률과 통계' 28번 문제이다.

어느 질병에 대한 치료법으로 1단계 치료를 하고, 1단계 치료에 성공한 환자만 2단계 치료를 하여 2단계 치료까지 성공한 환자는 완치된 것으로 판단한다. 1단계 치료 결과와 2단계 치료 결과는 서로 독립이며, 1단계 치료와 2단계 치료에 성공할 확률은 각각 $\frac{1}{2}$과 $\frac{2}{3}$이다. 4명의 환자를 대상으로 이 치료법을 적용하였을 때, 완치된 것으로 판단될 환자가 2명일 확률은? [4점]

사건 $A$를 "1단계 치료에 성공한다", 사건 $B$를 "2단계 치료에 성공한다"라고 하자.

(1) 1단계에서 치료에 성공한 환자 수가 2명일 때: $$P(A)=_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{6}{2^{4}},\,P(B)=_{2}\mathrm{C}_{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}$$ 이다. 그러므로 $$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{6}{2^{4}}\times\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{6\times 4}{16\times 9}=\frac{1}{6}$$ 이다.

(2) 1단계에서 치료에 성공한 환자 수가 3명일 때: $$P(A)=_{4}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2^{4}},\,P(B)=_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3\times 2^{2}}{3^{3}}$$ 이다. 그러므로 $$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{4\times12}{16\times27}=\frac{1}{9}$$ 이다.

(3) 1단계에서 치료에 성공한 환자 수가 4명일 때: $$P(A)=_{4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16},\,P(B)=_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{6\times2^{2}}{3^{4}}$$ 이므로 $$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{24}{16\times81}=\frac{1}{54}$$ 이다. 따라서 2명이 완치될 확률은 $$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{54}=\frac{9+6+1}{54}=\frac{16}{54}=\frac{8}{27}$$ 이다.