[미적분] 2010학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 24번

 2010학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 24번

2010학년도 6월 모의평가 수리 가형 24번 문제와 2011학년도 수능 수리 가형 24번 문제는 어딘가가 비슷하다. 두 문제 다 사차함수의 그래프와 관련된 문제이면서 또한 미분과 관련된 문제이다. 또한 함수에 절댓값이 있고 이를 이용하여 문제를 해결해야 한다.

먼저 가능한 모든 사차함수의 그래프의 개형부터 구하자. 사차함수의 최고차항의 계수가 양수라고 가정하자.  

아래의 그림은 최고차항의 계수가 양수인 사차함수가 나타내는 모든 그래프 개형이다.

만약 최고차항의 계수가 음수이면 최고차항의 계수가 양수인 그래프를 \(x\)축에 대해 대칭이동하면 된다.

위의 그래프들은 최고차항의 계수가 음수인 사차함수가 나타내는 모든 그래프의 개형이다.

이제 2010학년도 6월 모의평가 수리 가형 24번 문제를 보자. 이 문제는 주어진 조건을 통해 도함수의 개형을 추론하는 문제이다.

문제:

사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\frac{f'(5)}{f'(3)}\)의 값을 구하시오. [4점]  (가) 함수 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 극값을 갖는다.  (나) 함수 \(|f(x)-f(1)|\)은 오직 \(x=a\,(a>2)\)에서만 미분가능하지 않다.

조건 (가)에서 함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 극값을 갖는다고 했기 때문에 \(f'(2)=0\)이다. \(g(x)=|f(x)-f(1)|\)라고 하자. 조건 (나)에서 함수 \(g(x)\)가 \(2\)보다 큰 \(a\)에 대하여 미분가능하지 않은 점이 \(x=a\)뿐이기 때문에 함수 \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 미분가능해야 한다. 이때 \(g(1)=|f(1)-f(1)|=0\)이고 \(f(x)\geq f(1)\)일 때 \(g(x)=f(x)-f(1)\), \(f(x)<f(1)\)일 때 \(g(x)=f(1)-f(x)\)이므로$$g'(1)=\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{|f(x)-f(1)|}{x-1}}$$이고 이 값이 존재해야 한다. 그렇다면$$g'(1)=\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{|f(x)-f(1)|}{x-1}}=\left(\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\left|\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\right|}\right)\left(\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{|x-1|}{x-1}}\right)$$이고 \(f'(1)=0\)이어야 한다. 그러면$$\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\left|\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\right|}=0$$이고 따라서 \(g'(1)=0\)이다.

이제 사차함수 \(f(x)\)의 그래프로 적절한 것을 고르자. 그 전에 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 양수라고 하자.

①                       ②                       ③                       ④                   ⑤                      ⑥

①번 그래프는 \(f'(x)\)의 값이 \(0\)이 되게 하는 점이 1개 뿐이므로 적절하지 않다. \(f'(1)=f'(2)=0\)이기 때문이다.

②, ③, ⑥번 그래프는 함수 \(g(x)\)의 미분가능하지 않은 점의 개수가 2개 이상 되기 때문에 적절하지 않다. 그렇다면 남은 것은 ④, ⑤번 그래프인데 \(f'(1)=0\)이고 \(x=2\)에서 극값을 가지며 함수 \(g(x)\)는 \(x=a\)에서만 미분가능하지 않기 때문에 적절한 것은 ④번 그래프이다. 따라서 함수 \(f(x)\)의 그래프로 적절한 것은 ④번 그래프이다.

왼쪽의 그래프는 ④번 그래프가 사차함수 \(f(x)\)의 그래프로써 타당함을 보여준다. 이 그래프로부터 사차함수 \(f(x)\)는 \(f'(1)=0\)이나 \(x=1\)에서 극값을 갖지 않고 \(x=2\)에서 극값을 가지므로 \(f'(2)=0\)이고 따라서$$f'(x)=p(x-1)^{2}(x-2)\,(p\neq0)$$

이다.

이 결과에 의해$$\frac{f'(5)}{f'(3)}=\frac{p\times4^{2}\times3}{p\times2^{2}\times1}=4\times3=12$$

이다.

이 문제에서 사차함수 \(f(x)\)를 구하려고는 하지 말자. 이 문제의 정보만으로는 완전히 구할 수 없다. 특히 최고차항에 대한 정보와 함숫값에 대한 정보를 구할 수 없다.

마지막으로 2011학년도 수능 수리 가형 24번 문제를 보도록 하자. 이 문제는 앞에서 풀었던 2010학년도 6월 모의평가 24번 문제를 변형시킨것 이다. 앞의 문제가 주어진 조건을 통해 사차함수의 도함수의 개형을 추론하는 문제였다면 이 문제는 주어진 조건을 통해 사차함수를 완전히 구하는 문제이다. 

문제:

최고차항의 계수가 \(1\)이고, \(f(0)=3\), \(f'(3)<0\)인 사차함수 \(f(x)\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 집합 \(S\)를$$S=\{a\,|\,함수\,|f(x)-t|가\,x=a\,에서\,\underline{미분가능하지\,않다}.\}$$라 하고, 집합 \(S\)의 원소의 개수를 \(g(t)\)라 하자. 함수 \(g(t)\)가 \(t=3\)과 \(t=19\)에서만 불연속일 때, \(f(-2)\)의 값을 구하시오. [4점]

이 문제는 앞의 문제와 달리 최고차항의 계수가 \(1\)이라는 정보가 주어져있다. 또한 \(f(0)=3\), \(f'(3)<0\)이라는 정보도 주어져있다. 최고차항의 계수가 양수이므로 적절한 사차함수의 그래프는 다음의 그래프 개형 중 하나이다.

①                       ②                       ③                       ④                   ⑤                      ⑥

적절한 그래프를 찾는 것은 "집합 \(S\)의 원소의 개수를 나타내는 함수 \(g(t)\)가 \(t=3\), \(t=19\)에서만 불연속"이라는 정보와 "\(f(0)=3\), \(f'(3)<0\)"를 이용해서 구하면 된다. 이 정보와 사차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)인 사실로부터 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 극소이며 최솟값 

\(3\)을 갖고 극댓값은 \(19\)이다.

위는 ①번, ②번, ③번 그래프에 대해 함수 \(g(t)\)의 값을 구한 것이다. ①번 그래프는 함수 \(g(t)\)의 불연속점이 1개이고 ②, ③번 그래프는 함수 \(g(t)\)의 불연속점이 3개이므로 ①, ②, ③번 그래프는 함수 \(f(x)\)의 그래프로 적절하지 않다.

마찬가지로 ④번, ⑤번, ⑥번 그래프에 대해 함수 \(g(t)\)의 값을 구한 것이다. 이 그래프들은 "함수 \(g(t)\)는 \(t=3\), \(t=19\)에서만 불연속"이라는 조건을 만족시킨다. 그러나 ④번, ⑤번 그래프에서 \(x>0\)일 때 증가(\(f'(x)\geq0\))하므로 이는 조건 \(f'(3)<0\)에 위배된다. 그러면 남은 그래프는 ⑥번 그래프뿐인데 여기서 \(f(\alpha)=3\)이 되는 \(0\)이 아닌 \(\alpha\)를 \(\alpha>0\)이라고 하면 \(x>0\)에서 함수 \(f(x)\)가 감소하는 구간이 있기 때문에 \(x=3\)이 그 구간에 있다고 하면 되고 따라서 문제의 조건을 만족시키는 그래프가 ⑥번 그래프임을 확인했다.

이제 사차함수 \(f(x)\)를 구하자. 최고차항의 계수가 \(1\)이므로 \(f(x)=x^{2}(x-\alpha)^{2}+3\)이고 \(f'(x)=2x(2x-\alpha)(x-\alpha)\)이므로 \(x=\frac{\alpha}{2}\)에서 극대이고 극댓값이 \(19\)이므로

$$f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}+3=\frac{\alpha^{4}}{16}+3=19$$이므로 \(\alpha^{4}=16^{2}=4^{4}\)이고 \(\alpha>0\)이므로 \(\alpha=4\)이다. 따라서 \(f(x)=x^{2}(x-4)^{2}+3\)이고$$f(-2)=(-2)^{2}(-6)^{2}+3=144+3=147$$이다.

이 문제는 2011학년도 수능 수리 가형 문제 중에서 가장높은 오답률을 자랑한 문제다. 2011학년도 수능은 처음으로 EBS연계를 한 해인데 문제의 난이도가 엄청 높았다. 내가 2011학년도에 고3으로 수능을 보고 어려운 난이도에 망치는 바람에 2012학년도 수능으로 한번 더 보게 되었다.