[벡터] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2007학년도 수능(11월) 수리 가형 24번

2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번, 2007학년도 수능(11월) 수리 가형 24번

2007학년도 9월 모의평가 벡터문제 21번과 2007학년도 수능 벡터문제 24번은 배점이 서로 다르지만(모평이 3점, 본 수능이 4점) 푸는 방법은 비슷하다. 벡터를 분해하여 서로 수직인 벡터의 합으로 나타내고 그 크기를 구하는 문제이다.

벡터의 분해: 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}}$

다음은 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 21번 문제이다.

그림은 모든 모서리의 길이가 $2$인 두 개의 정사각뿔 $\mathrm{O-ABCD},\,\mathrm{O-DCEF}$에 대하여 모서리 $\mathrm{CD}$를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. $\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|^{2}$의 값을 구하시오. (단, 면 $\mathrm{ABCD}$와 면 $\mathrm{DCEF}$는 한 평면 위에 있다. [3점]

두 정사각뿔의 꼭짓점 $\mathrm{O}$와 $\mathrm{O'}$을 각각 평면 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{DCEF}$로의 정사영(수선의 발)을 각각 $\mathrm{P,\,Q}$라 하자. 그러면

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}},\,\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PF}}$$ 이다.

그러면 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PF}}$이고 이때

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PF}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$ 이므로(왼쪽 그림 참고) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$이다. 이때 점 $\mathrm{P,\,Q}$는 평면 $\mathrm{ABEF}$위의 점이므로 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$는 서로 수직인 벡터이고 $\overline{\mathrm{PQ}}=2$, 정사각뿔의 높이는 $$\overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{\overline{\mathrm{OB}}^{2}-\overline{\mathrm{PB}}^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2}$$ 이므로 따라서 $$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|^{2}=\left|2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}=4\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|^{2}=4\times2+4=12$$ 이다.

마지막으로 4점 문제이나 앞의 문제와 풀이가 비슷한 2007학년도 수능 수리 가형 24번 문제를 보도록 하자. 이 문제도 벡터의 분해를 이용하여 푸는 문제이다.

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있고, 반지름의 길이가 $2$인 구 $S$는 점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\alpha$에 접한다. 구 $S$위의 점 $\mathrm{D}$에 대하여 선분 $\mathrm{AD}$가 구 $S$의 중심 $\mathrm{O}$를 지날 때, $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}\right|^{2}$의 값을 구하시오. [4점]

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$이고 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$는 한 평면 위에 있는 벡터이다.

벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$의 종점을 $\mathrm{E}$라고 하자. 그러면

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$ 이고 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 한 변의 길이가 $3$이므로 $\left|\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right|=\overline{\mathrm{AE}}=2\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, 구 $S$의 반지름의 길이가 $2$이므로 $\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|=\overline{\mathrm{DA}}=2\times2=4$이다. $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$는 평면 $\alpha$에 수직이고 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$는 평면 $\alpha$위에 있으므로 이 두 벡터는 서로 수직이다. 따라서 $$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}\right|^{2}=\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right|^{2}=\left|\overrightarrow{\mathrm{DC}}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right|^{2}=4^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=16+27=43$$ 이다.

수능문제는 해를 거듭할 수록 난이도가 진화한다. 이 문제들은 2014, 2015, 2016학년도의 벡터 문제와는 비교도 안된다.