[미적분] 2008학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 27번, 2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 30번

2008학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 27번, 2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 30번

미분가능한 곡선 $y=f(x)$의 $x=a$에서 $x=b$까지의 길이는 다음과 같다 $$\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 또한 두 점 사이의 최단거리는 두 점을 잇는 직선의 길이이다. 현재 수능시험에는 곡선의 길이를 묻는 문제가 거의 출제된 적이 없다. 2008학년도(2007년)에 9월 모의평가, 수능에 출제되었다. 9월 모의평가 문제는 3점이고 수능 문제는 4점이다.

다음은 2008학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 27번 문제이다. 문제의 적분값의 의미를 파악하는 것이 핵심이다.

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 $$f(0)=0,\,f(1)=\sqrt{3}$$ 을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$에 대하여 $$\int_{0}^{1}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 의 최솟값은? [3점] 풀이: $x=0$에서 $x=1$까지 곡선 $y=f(x)$의 길이는 $$\int_{0}^{1}{\sqrt{1+\{f(x)\}^{2}}dx}$$ 이다. 함수 $f(x)$는 정해져 있지 않고 문제에서는 적분의 최솟값을 물었다. 이 문제의 적분은 곡선의 길이이고 이 길이가 최소일 때는 두 점을 잇는 직선일 때이다. 따라서 $$\int_{0}^{1}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}\geq\sqrt{(\sqrt{3}-0)^{2}+(1-0)^{2}}=2$$ 이므로 최솟값은 2이다.

다음은 2008학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번 문제이다. 곡선의 길이를 구하는 문제인데 4점이다.

$x=0$에서 $x=6$까지 곡선 $y=\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{\frac{3}{2}}$의 길이를 구하시오. [4점] 풀이: $$y'=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times(2x)(x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}=x(x^{2}+2)^{\frac{1}{2}}$$ 이므로 $$\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{1+x^{2}(x^{2}+2)}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}=\sqrt{(x^{2}+1)^{2}}=x^{2}+1$$ 이고 따라서 곡선의 길이는 $$\int_{0}^{6}{\sqrt{1+(y')^{2}}dx}=\int_{0}^{6}{(x^{2}+1)dx}=\left[\frac{1}{3}x^{3}+x\right]_{0}^{6}=\frac{1}{3}\times6^{3}+6=72+6=78$$ 이다.

그냥 공식에 대입해서 풀면 되는데도 4점이라면... 출제위원이 인심(?)을 쓴 문제라고 보면 되겠다.