2010학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 29번
한 평면위의 점 \((x(t),\,y(t))\)의 속도벡터는 \(\vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\,\frac{dy}{dt}\right)=(x'(t),\,y'(t))\)이고 가속도벡터는 \(\vec{a}=\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\,\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)=(x''(t),\,y''(t))\)이다.
이 점이 시간 \(t=\alpha\)에서 \(t=\beta\)까지 이동한 거리는 \(|\vec{v}|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}\)이므로$$\int_{\alpha}^{\beta}{|\vec{v}|dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}$$이다.
원래는 미적분에 있어야 하는데 교육과정 개편으로 기하와 벡터에 수록되었다. 2010학년도 수능으로 출제된 문제는 이동한 거리만 계산하면 끝이다. 그러나 2017학년도 6월 문제는 추가적으로 가속도를 구해서 문제를 해결해야 한다.
다음은 2010학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번 문제이다. 이동거리만 구하면 끝이다.
좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치 \((x,\,y)\)가$$\begin{cases}x=4(\cos t+\sin t)&\\y=\cos2t&\end{cases}\,(0\leq t\leq 2\pi)$$이다. 점 \(\mathrm{P}\)가 \(t=0\)에서 \(t=2\pi\)까지 움직인 거리(경과거리)를 \(a\pi\)라 할 때, \(a^{2}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이:$$x'(t)=4(\cos t-\sin t),\,y'(t)=-2\sin2t$$이므로 점 \(\mathrm{P}\)의 속도벡터는 \(\vec{v}=(4(\cos t-\sin t),\,-2\sin2t)\)이고 $$|\vec{v}|=\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}=\sqrt{16(1-\sin2t)+4\sin^{2}2t}=\sqrt{4(\sin^{2}2t-4\sin2t+4)}=\sqrt{2^{2}(2-\sin2t)^{2}}=4-2\sin2t$$이다. 따라서 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리는$$\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}=\int_{0}^{2\pi}{(4-2\sin2t)dt}=8\pi$$이고 \(a=8\)이므로 \(a^{2}=64\)이다. |
다음은 2017학년도 6월 모의평가 수학 가형 29번 문제이다. 이동거리에서 끝나는게 아니라 가속도까지 구해야 한다.
양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(t)\)에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t(t\geq1)\)에서의 위치 \((x,\,y)\)가$$\begin{cases}x=2\ln t&\\y=f(t)&\end{cases}$$이다. 점 \(\mathrm{P}\)가 점 \((0,\,f(1))\)로부터 움직인 거리가 \(s\)가 될 때 시각 \(t\)는 \(t=\large\frac{s+\sqrt{s^{2}+4}}{2}\)이고, \(t=2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 속도는 \(\left(1,\,\frac{3}{4}\right)\)이다. 시각 \(t=2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도를 \(\left(-\frac{1}{2},\,a\right)\)라 할 때, \(60a\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 점 \((0,\,f(1))\)은 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t=1\)에서의 점이다. 그러면 점 \(\mathrm{P}\)의 속도벡터는 \(\vec{v}=\left(\frac{2}{t},\,f'(t)\right)\)이고$$t=\frac{s+\sqrt{s^{2}+4}}{2}$$이므로 이 식을 \(t\)에 대한 식으로 바꾸면 \(2t-s=\sqrt{s^{2}+4}\)이고 \(4t^{2}-4st+s^{2}=s^{2}+4\)이므로$$s=t-\frac{1}{t}$$이다.$$s=\int_{1}^{t}{|\vec{v}|dt}=\int_{1}^{t}{\sqrt{\frac{4}{t^{2}}+\{f'(t)\}^{2}}}=t-\frac{1}{t}$$이고 이 식의 양 변을 각각 \(t\)에 대해 미분하면$$\sqrt{\frac{4}{t^{2}}+\{f'(t)\}^{2}}=1+\frac{1}{t^{2}}$$이고$$\frac{4}{t^{2}}+\{f'(t)\}^{2}=1+\frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{t^{4}}$$이다. 식을 정리하면$$\{f'(t)\}^{2}=1-\frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{t^{4}}=\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)^{2}$$이고 \(t=2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 속도가 \(\left(1,\,\frac{3}{4}\right)\)이므로$$\{f'(2)\}^{2}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$이고 \(f'(2)=\frac{3}{4}\)이다.식$$\{f'(t)\}^{2}=1-\frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{t^{4}}$$의 양 변을 각각 \(t\)에 대해 미분하면$$2f'(t)f''(t)=\frac{4}{t^{3}}-\frac{4}{t^{5}}$$이고 이 식에 \(t=2\)를 대입하면 \(f'(2)=\frac{3}{4}\)이므로$$2f'(2)f''(2)=\frac{3}{2}f''(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$이고 \(a=f''(2)=\frac{1}{4}\)이다. 따라서 \(60a=15\)이다. |
앞부분에서 단서를 찾았어도 뒷부분에서 계산실수를 해서 틀릴 수 있으니 계산할 때 실수하면 안된다.
