2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 25번, 2013학년도 수능(11월) 수리 가형 28번
수능에서 공간도형 문제는 가장 어려운 문제로써 변별력을 위한 문제로 출제된다. 공간도형 문제는 딱 두 가지 뿐이다. '이면각에 대한 삼각함수 값'과 '정사영된 도형의 넓이'이다.
다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가형 25번 문제이다. 가장 어려워서 오답률이 높았던 문제이다.
같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 \(l,\,m,\,n\)이 있다. 직선 \(l\) 위의 두 점 \(\mathrm{A,\,B}\), 직선 \(m\) 위의 점 \(\mathrm{C}\), 직선 \(n\)위의 점 \(\mathrm{D}\)가 다음 조건을 만족시킨다.
두 직선 \(m,\,n\)을 포함하는 평면과 세 점 \(\mathrm{A,\,C,\,D}\)를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(15\tan^{2}\theta\)의 값을 구하시오. (단, \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)) [4점] 풀이: \(\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=a,\,\overline{\mathrm{FC}}=b\)라 하자. \(\overline{\mathrm{ID}}=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=1\)이므로 다음이 성립한다.$$a^{2}+(b+1)^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=32\\a^{2}+b^{2}=5^{2}=25$$ 이 두 식을 연립해서 풀면 \(b=3,\,a=4\)이므로 \(\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=4\), \(\overline{\mathrm{FC}}=3\), \(\overline{\mathrm{ED}}=4\)이다. 직선 \(\mathrm{CD}\)의 연장선과 직선 \(\mathrm{EF}\)의 연장선이 만나는 점을 \(\mathrm{H}\), 점 \(\mathrm{A}\)의 직선 \(\mathrm{EH}\)위로의 수선의 발을 \(\mathrm{F}\)라 하고 \(\overline{\mathrm{CH}}=x\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{\overline{\mathrm{DE}}}{\overline{\mathrm{DH}}}=\frac{\overline{\mathrm{CF}}}{\overline{\mathrm{CH}}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{4}{x+3}=\frac{3}{x}\)이고 \(4x=3(x+3)=3x+9\)이므로 \(x=\overline{\mathrm{CH}}=9\)이다. 점 \(\mathrm{F}\)의 직선 \(\mathrm{CH}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{G}\)라 하자. \(\overline{\mathrm{HF}}=\sqrt{9^{2}-3^{2}}=6\sqrt{2}\)이고 \(\overline{\mathrm{FH}}\times\overline{\mathrm{FC}}=\overline{\mathrm{CH}}\times\overline{\mathrm{FG}}\)이므로 \(\displaystyle\overline{\mathrm{FG}}=\frac{6\sqrt{2}\times3}{9}=2\sqrt{2}\)이다. 이때 \(\angle\mathrm{AGF}=\theta\)이므로 \(\displaystyle\tan\theta=\frac{\overline{\mathrm{AF}}}{\overline{\mathrm{FG}}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)이고 따라서 \(15\tan^{2}\theta=15\times2=30\)이다. 다른풀이: 공간좌표와 평면의 방정식을 이용한 풀이 \(\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=4\), \(\overline{\mathrm{FC}}=3\), \(\overline{\mathrm{ED}}=4\)이므로 왼쪽 그림과 같이 \(\mathrm{F}(0,\,0,\,0)\), \(\mathrm{A}(0,\,0,\,4)\), \(\mathrm{C}(0,\,3,\,0)\), \(\mathrm{D}(-2\sqrt{2},\,4,\,0)\)이라 하자. 또한 직선 \(m,\,n\)을 포함하는 평면을 \(xy\)평면이라 하고 세 점 \(\mathrm{A,\,C,\,D}\)를 포함하는 평면의 방정식을 \(ax+by+cz+d=0\)이라 하면$$4c+d=0,\,3b+d=0,\,-2\sqrt{2}a+4b+d=0$$이므로 \(c=-\frac{1}{4}d,\,b=-\frac{1}{3}d\)이고 \(2\sqrt{2}a=4b+d=-\frac{1}{3}d\)이므로 \(a=-\frac{\sqrt{2}}{12}d\)이다. 이 식들을 종합하면 세 점 \(\mathrm{A,\,C,\,D}\)를 포함하는 평면의 방정식은 \(\sqrt{2}x+4y+3z=12\)이고 \(xy\)평면을 나타내는 평면의 방정식은 \(z=0\)이므로 앞의 두 평면의 법선벡터를 각각 \(\vec{n_{1}},\,\vec{n_{2}}\)라 하면 \(\vec{n_{1}}=(\sqrt{2},\,4,\,3),\,\vec{n_{2}}=(0,\,0,\,1)\)이므로$$\cos\theta=\frac{\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|}=\frac{3}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+4^{2}+3^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$이고 \(\displaystyle\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\sqrt{3}\)이므로$$\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta-1=(\sqrt{3})^{2}-1=3-1=2$$이고 따라서 \(15\tan^{2}\theta=30\)이다. |
먼저 \(\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}},\,\overline{\mathrm{FC}},\,\overline{\mathrm{ED}}\)의 값부터 구한다.
다음은 2013학년도 수능 수리 가형 28번 문제이다. 앞 문제와는 다르게 평면(종이)을 접었을 때 접어올린 부분과 접어올려지지 않은 부분이 이루는 각에 대한 삼각함수값을 구하는 문제이다.
그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=9,\,\overline{\mathrm{AD}}=3\)인 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)모양의 종이가 있다. 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 점 \(\mathrm{E}\)와 선분 \(\mathrm{DC}\) 위의 점 \(\mathrm{F}\)를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 \(\mathrm{B}\)의 평면 \(\mathrm{AEFD}\) 위로의 정사영이 점 \(\mathrm{D}\)가 되도록 종이를 접었다. \(\overline{\mathrm{AE}}=3\)일 때, 두 평면 \(\mathrm{AEFD}\)와 \(\mathrm{EFCD}\)가 이루는 각의 크기가 \(\theta\)이다. \(60\cos\theta\)의 값을 구하시오. (단, \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점] 풀이: \(\overline{\mathrm{AB}}=9,\,\overline{\mathrm{AD}}=3,\,\overline{\mathrm{AE}}=3\)이므로 \(\mathrm{A}(0,\,0)\), \(\mathrm{D}(0,\,3)\), \(\mathrm{E}(3,\,0)\), \(\mathrm{B}(9,\,0)\)이라 하자. 직선 \(\mathrm{DB}\)의 기울기는 \(\displaystyle\frac{0-3}{9-0}=-\frac{1}{3}\)이고 점\((0,\,3)\)을 지나므로 직선 \(\mathrm{DB}\)의 방정식은 \(y=-\frac{1}{3}x+3\)이다. 점 \(\mathrm{B}\)의 평면 \(\mathrm{AEFD}\) 위로의 정사영이 점 \(\mathrm{D}\) 이므로 직선 \(\mathrm{DB}\)와 직선 \(\mathrm{EF}\)는 서로 수직이다. 그러면 직선 \(\mathrm{EF}\)의 기울기는 \(3\)이고 점 \(\mathrm{E}(3,\,0)\)을 지나므로 직선 \(\mathrm{EF}\)의 방정식은 \(y=3(x-3)=3x-9\)이다. 직선 \(\mathrm{DB}\)와 직선 \(\mathrm{EF}\)의 교점을 \(\mathrm{G}\)라 하자. \(\overline{\mathrm{DG}}\)와 \(\overline{\mathrm{GB}}\)를 구하면 직선 \(\mathrm{EF}\)의 방정식이 \(3x-y-9=0\)이므로$$\overline{\mathrm{DG}}=\frac{|-3-9|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{12}{\sqrt{10}},\,\overline{\mathrm{GB}}=\frac{|3\times9-9|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{18}{\sqrt{10}}$$이다. 직선 \(\mathrm{DB}\)와 직선 \(\mathrm{EF}\)는 서로 수직이고 \(\angle\mathrm{BGD}=\theta\), 점 \(\mathrm{B}\)의 평면 \(\mathrm{AEFD}\)위로의 정사영이 점 \(\mathrm{D}\)이므로 \(\overline{\mathrm{BD}}\perp\overline{\mathrm{DG}}\)이다. 그러면$$\cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{DG}}}{\overline{\mathrm{BG}}}=\frac{2}{3}$$이므로 따라서 \(60\cos\theta=40\)이다. |
종이를 접었을 때 \(\overline{\mathrm{BD}}\perp\overline{\mathrm{DG}}\)임을 파악하는게 핵심이다.
