[공간도형] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 25번, 2013학년도 수능(11월) 수리 가형 28번

2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 25번, 2013학년도 수능(11월) 수리 가형 28번

수능에서 공간도형 문제는 가장 어려운 문제로써 변별력을 위한 문제로 출제된다. 공간도형 문제는 딱 두 가지 뿐이다. '이면각에 대한 삼각함수 값'과 '정사영된 도형의 넓이'이다.

다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가형 25번 문제이다. 가장 어려워서 오답률이 높았던 문제이다.

같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 $l,\,m,\,n$이 있다. 직선 $l$ 위의 두 점 $\mathrm{A,\,B}$, 직선 $m$ 위의 점 $\mathrm{C}$, 직선 $n$위의 점 $\mathrm{D}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{2},\,\overline{\mathrm{CD}}=3$ (나) $\overline{\mathrm{AC}}\perp l$, $\overline{\mathrm{AC}}=5$ (다) $\overline{\mathrm{BD}}\perp l$, $\overline{\mathrm{BD}}=4\sqrt{2}$ 두 직선 $m,\,n$을 포함하는 평면과 세 점 $\mathrm{A,\,C,\,D}$를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $15\tan^{2}\theta$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac{\pi}{2}$) [4점] 풀이: $\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=a,\,\overline{\mathrm{FC}}=b$라 하자. $\overline{\mathrm{ID}}=\sqrt{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=1$이므로 다음이 성립한다. $$a^{2}+(b+1)^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=32\\a^{2}+b^{2}=5^{2}=25$$ 이 두 식을 연립해서 풀면 $b=3,\,a=4$이므로 $\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=4$, $\overline{\mathrm{FC}}=3$, $\overline{\mathrm{ED}}=4$이다. 직선 $\mathrm{CD}$의 연장선과 직선 $\mathrm{EF}$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{A}$의 직선 $\mathrm{EH}$위로의 수선의 발을 $\mathrm{F}$라 하고 $\overline{\mathrm{CH}}=x$라 하자. 그러면 $\displaystyle\frac{\overline{\mathrm{DE}}}{\overline{\mathrm{DH}}}=\frac{\overline{\mathrm{CF}}}{\overline{\mathrm{CH}}}$이므로 $\displaystyle\frac{4}{x+3}=\frac{3}{x}$이고 $4x=3(x+3)=3x+9$이므로 $x=\overline{\mathrm{CH}}=9$이다. 점 $\mathrm{F}$의 직선 $\mathrm{CH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 하자. $\overline{\mathrm{HF}}=\sqrt{9^{2}-3^{2}}=6\sqrt{2}$이고 $\overline{\mathrm{FH}}\times\overline{\mathrm{FC}}=\overline{\mathrm{CH}}\times\overline{\mathrm{FG}}$이므로 $\displaystyle\overline{\mathrm{FG}}=\frac{6\sqrt{2}\times3}{9}=2\sqrt{2}$이다. 이때 $\angle\mathrm{AGF}=\theta$이므로 $\displaystyle\tan\theta=\frac{\overline{\mathrm{AF}}}{\overline{\mathrm{FG}}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$이고 따라서 $15\tan^{2}\theta=15\times2=30$이다. 다른풀이: 공간좌표와 평면의 방정식을 이용한 풀이 $\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}}=4$, $\overline{\mathrm{FC}}=3$, $\overline{\mathrm{ED}}=4$이므로 왼쪽 그림과 같이 $\mathrm{F}(0,\,0,\,0)$, $\mathrm{A}(0,\,0,\,4)$, $\mathrm{C}(0,\,3,\,0)$, $\mathrm{D}(-2\sqrt{2},\,4,\,0)$이라 하자. 또한 직선 $m,\,n$을 포함하는 평면을 $xy$평면이라 하고 세 점 $\mathrm{A,\,C,\,D}$를 포함하는 평면의 방정식을 $ax+by+cz+d=0$이라 하면 $$4c+d=0,\,3b+d=0,\,-2\sqrt{2}a+4b+d=0$$ 이므로 $c=-\frac{1}{4}d,\,b=-\frac{1}{3}d$이고 $2\sqrt{2}a=4b+d=-\frac{1}{3}d$이므로 $a=-\frac{\sqrt{2}}{12}d$이다. 이 식들을 종합하면 세 점 $\mathrm{A,\,C,\,D}$를 포함하는 평면의 방정식은 $\sqrt{2}x+4y+3z=12$이고 $xy$평면을 나타내는 평면의 방정식은 $z=0$이므로 앞의 두 평면의 법선벡터를 각각 $\vec{n_{1}},\,\vec{n_{2}}$라 하면 $\vec{n_{1}}=(\sqrt{2},\,4,\,3),\,\vec{n_{2}}=(0,\,0,\,1)$이므로 $$\cos\theta=\frac{\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}||\vec{n_{2}}|}=\frac{3}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+4^{2}+3^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 이고 $\displaystyle\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\sqrt{3}$이므로 $$\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta-1=(\sqrt{3})^{2}-1=3-1=2$$ 이고 따라서 $15\tan^{2}\theta=30$이다.

먼저 $\overline{\mathrm{AF}}=\overline{\mathrm{BE}},\,\overline{\mathrm{FC}},\,\overline{\mathrm{ED}}$의 값부터 구한다.

다음은 2013학년도 수능 수리 가형 28번 문제이다. 앞 문제와는 다르게 평면(종이)을 접었을 때 접어올린 부분과 접어올려지지 않은 부분이 이루는 각에 대한 삼각함수값을 구하는 문제이다.

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=9,\,\overline{\mathrm{AD}}=3$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$모양의 종이가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{E}$와 선분 $\mathrm{DC}$ 위의 점 $\mathrm{F}$를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 $\mathrm{B}$의 평면 $\mathrm{AEFD}$ 위로의 정사영이 점 $\mathrm{D}$가 되도록 종이를 접었다. $\overline{\mathrm{AE}}=3$일 때, 두 평면 $\mathrm{AEFD}$와 $\mathrm{EFCD}$가 이루는 각의 크기가 $\theta$이다. $60\cos\theta$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac{\pi}{2}$이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점] 풀이: $\overline{\mathrm{AB}}=9,\,\overline{\mathrm{AD}}=3,\,\overline{\mathrm{AE}}=3$이므로 $\mathrm{A}(0,\,0)$, $\mathrm{D}(0,\,3)$, $\mathrm{E}(3,\,0)$, $\mathrm{B}(9,\,0)$이라 하자. 직선 $\mathrm{DB}$의 기울기는 $\displaystyle\frac{0-3}{9-0}=-\frac{1}{3}$이고 점$(0,\,3)$을 지나므로 직선 $\mathrm{DB}$의 방정식은 $y=-\frac{1}{3}x+3$이다. 점 $\mathrm{B}$의 평면 $\mathrm{AEFD}$ 위로의 정사영이 점 $\mathrm{D}$ 이므로 직선 $\mathrm{DB}$와 직선 $\mathrm{EF}$는 서로 수직이다. 그러면 직선 $\mathrm{EF}$의 기울기는 $3$이고 점 $\mathrm{E}(3,\,0)$을 지나므로 직선 $\mathrm{EF}$의 방정식은 $y=3(x-3)=3x-9$이다. 직선 $\mathrm{DB}$와 직선 $\mathrm{EF}$의 교점을 $\mathrm{G}$라 하자. $\overline{\mathrm{DG}}$와 $\overline{\mathrm{GB}}$를 구하면 직선 $\mathrm{EF}$의 방정식이 $3x-y-9=0$이므로 $$\overline{\mathrm{DG}}=\frac{|-3-9|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{12}{\sqrt{10}},\,\overline{\mathrm{GB}}=\frac{|3\times9-9|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{18}{\sqrt{10}}$$ 이다. 직선 $\mathrm{DB}$와 직선 $\mathrm{EF}$는 서로 수직이고 $\angle\mathrm{BGD}=\theta$, 점 $\mathrm{B}$의 평면 $\mathrm{AEFD}$위로의 정사영이 점 $\mathrm{D}$이므로 $\overline{\mathrm{BD}}\perp\overline{\mathrm{DG}}$이다. 그러면 $$\cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{DG}}}{\overline{\mathrm{BG}}}=\frac{2}{3}$$ 이므로 따라서 $60\cos\theta=40$이다.

종이를 접었을 때 $\overline{\mathrm{BD}}\perp\overline{\mathrm{DG}}$임을 파악하는게 핵심이다.