2010학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 28번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 30번
삼각함수의 극한문제는 거의 수능에서 단골로 출제되는 4점짜리 문제이다. 이러한 문제를 해결할 때 다음의 극한식을 이용하여 해결한다.
$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{1-\cos x}{x}}=0$$
2010학년도 수능 수리 가형 미분과적분 28번 문제로 삼각함수의 극한문제가 출제되었는데 이때는 3점 문제였다. 2011학년도 6월 모의평가에 출제된 삼각함수의 극한문제도 2010학년도 수능 문제와 좀 비슷해 보이는데 이 두 문제 다 원과 원 주변의 도형을 해석하면서 풀어야 하는 문제이다.
다음은 2010학년도 수능 수리 가형 미분과적분 28번 문제이다.
그림과 같이 원 \(x^{2}+y^{2}=1\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 점 \(\mathrm{A}(-1,\,0)\)과 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 \(\angle\mathrm{PAO}=\theta\)라 할 때, \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}-}{\frac{\overline{\mathrm{PQ}}-\overline{\mathrm{OQ}}}{\theta-\frac{\pi}{4}}}\)의 값은? (단, 점 \(\mathrm{P}\)는 제 1사분면 위의 점이다.) [3점] 풀이: 점 \(\mathrm{P}\)는 원 \(x^{2}+y^{2}=1\)위의 점이므로 삼각형 \(\mathrm{OAP}\)는 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OP}}\)인 이등변삼각형이고 따라서 \(\angle\mathrm{OPA}=\theta\)이다. 그러면 \(\angle\mathrm{AOP}=\pi-2\theta,\,\angle\mathrm{POQ}=2\theta\)이고 점 \(\mathrm{Q}\)는 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선 위의 점이므로 \(\overline{\mathrm{OP}}\perp\overline{\mathrm{PQ}}\)이고 \(\displaystyle\angle\mathrm{OPQ}=\frac{\pi}{2}\)이다. $$\tan2\theta=\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{OP}}}=\overline{\mathrm{PQ}}$$이고$$\cos2\theta=\frac{\overline{\mathrm{OP}}}{\overline{\mathrm{OQ}}}=\frac{1}{\overline{\mathrm{OQ}}}$$이므로 \(\displaystyle\overline{\mathrm{PQ}}=\tan2\theta,\,\overline{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{\cos2\theta}=\sec2\theta\)이다. \(\displaystyle t=\theta-\frac{\pi}{4}\)라 하면 \(\displaystyle\theta=t+\frac{\pi}{4}\)이므로$$\overline{\mathrm{PQ}}=\tan2\theta=\tan\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot2t=-\frac{\cos2t}{\sin2t},\,\overline{\mathrm{OQ}}=\sec2\theta=\sec\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)=-\csc2t=-\frac{1}{\sin2t}$$이다. 그러면$$\overline{\mathrm{PQ}}-\overline{\mathrm{OQ}}=-\frac{\cos2t}{\sin2t}+\frac{1}{\sin2t}=\frac{1-\cos2t}{\sin2t}=\frac{1-\cos2t}{\sin2t}\frac{1+\cos2t}{1+\cos2t}=\frac{\sin2t}{1+\cos2t}$$이고 \(\displaystyle\theta\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}-\)일 때 \(t\,\rightarrow\,0-\)이므로 따라서$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}-}{\frac{\overline{\mathrm{PQ}}-\overline{\mathrm{OQ}}}{\theta-\frac{\pi}{4}}}=\lim_{t\,\rightarrow\,0-}{\frac{\sin2t}{t(1+\cos2t)}}=\left(\lim_{t\,\rightarrow\,0-}{\frac{\sin2t}{2t}}\right)\left(\lim_{t\,\rightarrow\,0-}{\frac{2}{1+\cos2t}}\right)=1\cdot\frac{2}{2}=1$$이다. |
다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 가형 미분과적분 30번 문제이다.
좌표평면에서 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\), 점 \(\mathrm{A}(0,\,1)\)과 점 \(\mathrm{P}\)를 지나는 직선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{R}\)라 하자. \(\angle\mathrm{QOP}=\theta\)라 하고 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이를 \(S(\theta)\)라고 하자. \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{S(\theta)}{\theta^{2}}}=\alpha\)일 때, \(100\alpha\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(\mathrm{P}\)는 제 1사분면 위의 점이다.) [4점] 풀이: 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{P}\)는 원 위의 점이므로 삼각형 \(\mathrm{OAP}\)는 \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OP}}\)인 이등변삼각형이고 \(\displaystyle\angle\mathrm{OAP}=\angle\mathrm{OPA}=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\)이다. 점 \(\mathrm{Q}\)는 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선 위에 있는 점이므로 \(\displaystyle\angle\mathrm{OPQ}=\frac{\pi}{2}\)이고 \(\displaystyle\angle\mathrm{QPR}=\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\)이다. 이때 삼각형 \(\mathrm{OAR}\)은 \(\displaystyle\angle\mathrm{AOR}=\frac{\pi}{2}\)인 직각삼각형이고 \(\displaystyle\angle\mathrm{OAR}=\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\)이므로 \(\displaystyle\angle\mathrm{ORA}=\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\)이다. 그러면 \(\angle\mathrm{QPR}=\angle\mathrm{QRP}\)이므로 삼각형 \(\mathrm{QPR}\)은 \(\overline{\mathrm{QP}}=\overline{\mathrm{QR}}\)인 이등변삼각형이고 \(\overline{\mathrm{QR}}=\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OP}}\tan\theta=\tan\theta\)이다.$$S(\theta)=\frac{1}{2}\tan^{2}\theta\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{2}\tan\theta\sin\theta$$이고 따라서$$\alpha=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{S(\theta)}{\theta^{2}}}=\frac{1}{2}\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin\theta\tan\theta}{\theta^{2}}}=\frac{1}{2}$$이고 \(100\alpha=50\)이다. |
무턱대고 삼각형 PQR의 넓이를 구하기 위해 직선 PQ와 QR의 길이를 구하려고 하면 문제가 복잡해진다.
