2007학년도 9월 수능 모의평가 수리 가형 미분과적분 27번, 2017학년도 수능(11월) 수학 가형 20번
고등학교에서 배운 사잇값의 정리(중간값의 정리)는 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(y=f(x)\)가 \(f(a)<k<f(b)\)(또는 \(f(b)<k<f(a)\))일 때, \(f(c)=k\)를 만족하는 \(c\)가 구간 \((a,\,b)\)안에 적어도 한개가 존재한다는 정리이고, 평균값의 정리는 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능한 함수 \(y=f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)를 만족하는 \(c\)가 구간 \((a,\,b)\)안에 적어도 한개가 존재한다는 정리이다.
함수 \(\sin(x^{2})\)와 \(e^{x^{2}}\)같은 함수들은 부정적분을 구할 수 없는 함수이다. 그러니 이런 함수들이 문제에 나오면 부정적분을 구할 생각을 하면 안된다.
다음은 2007학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 27번 문제이다. 문제에서 주어진 함수값과 중간값의 정리, 평균값의 정리를 이용하여 해결하는 문제이다.
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)가 \(f(-1)=-1,\,f(0)=1,\,f(1)=0\)을 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]
풀이: 함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 이계도함수를 가지므로 \(f'(x)\)는 실수 전체에서 연속이고 \(f(x)\)도 실수 전체에서 연속이다. ㄱ: \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속이고 \(f(-1)=-1\), \(f(0)=1\), \(\displaystyle-1<0<\frac{1}{2}<1\)이므로 사잇값의 정리에 의해 \(\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}\)인 \(a\)가 구간 \((-1,\,0)\)에 적어도 하나 존재하고 \((0,\,1)\)에 적어도 한개가 존재한다. 따라서 \(\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}\)인 \(a\)가 구간 \((-1,\,1)\)에 두 개 이상 존재한다. ㄴ: \(\displaystyle\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-1}{1-0}=-1\)이므로 평균값의 정리에 의해 \(f'(b)=-1\)인 \(b\)가 구간 \((1,\,0)\)에 적어도 한개가 존재한다. 따라서 \(f'(b)=-1\)인 실수 \(b\)가 구간 \((-1,\,1)\)에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ: \(-1<0<1\)이므로 \(f(-1)<f(1)<f(0)\)이고 함수 \(f(x)\)는 구간 \((-1,\,0)\)에서 증가, \((0,\,1)\)에서 감소한다. 그러면 \((-1,\,0)\)에서 \(f'(x)>0\), \((0,\,1)\)에서 \(f'(x)<0\)이므로 구간 \((-1,\,1)\)에서 \(f''(x)<0\)이다. 그러므로 \(f''(c)=0\)인 \(c\)는 \((-1,\,1)\)에 존재하지 않는다.
옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. |
다음은 2017학년도 수능 수학 가형 20번 문제이다. 평균값의 정리를 이용하여 해결하는 문제이고 이때 \(\sin(x^{2})\)의 부정적분을 구할 수 없기 때문에 적분 안의 함수를 부정적분으로 나타내려고 해서는 안된다.
함수 \(\displaystyle f(x)=e^{-x}\int_{0}^{x}{\sin(t^{2})dt}\)에 대하여 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
풀이 ㄱ: 모든실수 \(x\)에 대하여 \(e^{-x}>0\)이다. 구간 \((0,\,\sqrt{\pi})\)에서 \(\sin(x^{2})>0\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\pi}}{\sin(x^{2})dx}>0\)이고 따라서 \(\displaystyle f(\sqrt{\pi})=e^{-\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\sqrt{\pi}}{\sin(x^{2})dx}>0\)이다. ㄴ: ㄱ에 의해 \(f(\sqrt{\pi})>0\)이고 \(f(0)=0\)이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{f(\sqrt{\pi})-f(0)}{\sqrt{\pi}-0}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(\sqrt{\pi})>0\)이므로 따라서 평균값의 정리에 의해 \(\displaystyle f'(a)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}f(\sqrt{\pi})>0\)인 \(a\)가 열린구간 \((0,\,\sqrt{\pi})\)에 적어도 하나 존재한다. ㄷ: \(\displaystyle f'(x)=e^{-x}\sin(x^{2})-e^{-x}\int_{0}^{x}{\sin(t^{2})dt}=e^{-x}\sin(x^{2})-f(x)\)이고 ㄱ에 의해 \(f(\sqrt{\pi})>0\)이므로 \(\displaystyle f'(\sqrt{\pi})=e^{-\sqrt{\pi}}\sin(\sqrt{\pi})^{2}-f(\sqrt{\pi})=-f(\sqrt{\pi})<0\)이다. 이때 ㄴ에 의해 \(f'(a)>0\)인 \(a\)가 구간 \((0,\,\sqrt{\pi})\)에 적어도 하나 존재하므로 중간값의 정리에 의해 \(f'(b)=0\)을 만족시키는 \(b\)가 열린구간 \((a,\,\sqrt{\pi})\)에 적어도 하나 존재한다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. |
